Teoría de Juegos

Isabella Suárez Artunduaga Jhónatan Alexander Ramírez Veloza Álgebra Matricial Docente: José Alfredo Jiménez Moscoso

TEORÍA DE JUEGOS

Gottfried Leibniz

1704

John Nash

1994

Oskar Morgenstern

1944

John Von Neuman

1928

1713

Monsieur Waldegrave

Un poco de historia

¿Cómo gano frente a esto?

Teoría de Juegos

Ja, Este es mi mejor movimiento!

Mis acciones dependen de las decisiones de otros

Análisis de comportamientos competitivos

Situaciones de interdependencia estratégica

...

¿?

Pero... ¿qué es?

¿Cara o Sello?¿Cuál debería elegir?

Si

R vs

Jugador C Recibe:

$8

Jugador RRecibe:

$8

MONEDAS EMPAREJADAS

Miremos la representación matricial

Jugador R

Jugador C

Si

Jugador C Recibe:

$8

Jugador RRecibe:

$8

MONEDAS EMPAREJADAS

MATRIZ DE PAGOS

Jugador Fila

Jugador columna

Pagos de aij

Elección Simultánea

JUEGOS DE MATRIZ

Y ENTONCES... ¿CÓMO DEBO JUGAR?

FilaRecesiva

Recesiva

Columna

PUNTO SILLA

Mín

Máx

Mín

Mín

Máx

Máx

Máx

Mín

MAXIMIN

MINIMAX

ESTRATEGIA PURA

¿Aumento, Mantengo o disminuyo precios?

¿Qué deberían hacer las empresas de cosméticos?

Armony World

Pretty Life

ESTRATEGIA PURA

Pero... ¿qué significa esto?

PUNTO SILLA

Armony World

Pretty Life

Armony World

Pretty Life

Armony World

Pretty Life

ESTRATEGIA PURA

No cambiaré mi jugada

Esta es mi decisión final

Estrategias Puras

La opción elegida por cada jugador es óptima dada la opción elegida por alguien más.

Combinación de Estrategias

Equilibrio de Nash

Subóptimo

Frontera de Pareto

Pareto Óptimo

Velocidad

Peso

La mejora de una variable no empeora ninguna de las demás

MEJORA DE PARETO

pAq

Ganancias Esperadas

Jugador Fila

Jugador columna

Estrategia q

Estrategia p

Eventos Independientes

ESTRATEGIAS MIXTAS

Jugador C

Jugador R

¿Qué quiere decir esto?

máx

mín

ESTRATEGIAS MIXTAS

Entonces, ¿Cuál es el equilibrio de Nash?

PJ2=q(3p-2)+[2-2p]

PJ2=1pq+0p(1-q)+0(1-p)q+2(1-p)(1-q)=3pq-2q+[2-2p]

PJ1=p(1-2q)+[1-q]

PJ1=2pq+2p(1-q)+3(1-p)q+1(1-p)(1-q)

Estrategias Mixtas

Equilibrio de Nash

Y así hayamos el equilibrio de Nash en estrategias mixtas

[(2/3A + 1/3B), (1/2X + 1/2Y)]

2/3

1/2

Estrategias Mixtas

Equilibrio de Nash

VS

Si aij es un punto silla, entonces el valor del juego es aij y las estrategias óptimas son estrategias puras de jugar el renglón i y la columna j con probabilidad de 1

Teorema de Von Neumann

Para un juego cuya matriz de m x n es A, existen estrategias p0 y q0 y un número v tal que E(p0, q) ≥ v para cualquier estrategia q y E(p, q0) ≤ v para cualquier estrategia p. Las estrategias p0 y q0 se llaman estrategias óptimas para R y C respectivamente y el número v se llama valor del juego

¿CÓMO ESCOGER ESTRATEGIAS?

¿!?

El valor del juego es:

¿Cómo se calcula el valor del juego?

¿Cómo se calcula?

¿Cuál es el valor del juego?

¿Cuál es la estrategia óptima?

Teorema de Von Neumann:

¿CÓMO ESCOGER ESTRATEGIAS?

Pero... ¿qué significa esto?

El valor del Juego es:

Número de dias de Bombardeo

Batalla del Mar de Bismarck

JUEGO DE GUERRA

Mínimos dual

¡Debo Maximizar!

ESTRATEGIAS MIXTAS

vs

Jugador C

Jugador R

Este juego apenas comienza y los vectores ya están en posición!

ESTRATEGIAS MIXTAS

¿+ o - ?

¿Es evidente que el valor del juego es positivo?

Jugador C

Jugador R

Sea un juego definido por la siguiente matriz de pagos

ESTRATEGIAS MIXTAS

ESTRATEGIAS MIXTAS

Juego A

Juego B

ESTRATEGIAS MIXTAS

Entonces ¿Quién ganará?

Tercero en preferencia

Segundo en preferencia

Candidato de mayor preferencia

Clasificación

Asignación de puntajes

1770

Jean-Charles de Borda

Sistema de Votaciones

MÉTODO DE BORDA

24

29

25

+2

+1

+2

+1

+2

+1

+3

+3

+3

=14

MÉTODO DE BORDA

• La teoría de juegos es crucial para entender las decisiones estratégicas en situaciones de competencia y cooperación. Nos proporciona las herramientas para analizar y predecir el comportamiento de individuos y organizaciones en conflictos de interés. Su aplicación facilita la toma de decisiones informadas, ahora, a jugar de forma inteligente!!Listado de puntos

• El álgebra matricial proporciona las herramientas matemáticas necesarias para representar, analizar y resolver juegos en la teoría de juegos. Esta interrelación permite modelar de manera eficiente las interacciones estratégicas y encontrar soluciones óptimas en diversos contextos económicos, sociales y científicos.

CONCLUSIONES

• https://repositorio.unal.edu.co/handle/unal/61897
• https://www.youtube.com/watch?v=vBgrvVY1jGo&t=453
• https://www.youtube.com/watch?v=pS5Gkre8iUk&t=23s
• Aplicaciones de Álgebra Lineal.Grossman
• Theory of games and economic Behavior. Morgenstern, von Neumann

BIBLIOGRAFÍA

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