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Alvarez Alvarez Andrea 821-M

calculo integral

Presentación

Empezar

ÍNDICe

1- NOTACION SIGMA

2- SUMAS DE RIEMANN

3- INTEGRAL

4- TEOREMA FUNDAMENTAL DE CALCULO PARTE 1 Y 2

NOTACIÓN SIGMASe emplea para trabajar con la suma de una serie de números y resolver una amplia gama de problemas de series, ayuda a presentar expresiones matemáticas complejas. Se denota con la letra griega Σ.ESTRUCTURA BÁSICA1. El símbolo de suma: este símbolo es la letra griega sigma, que representa la idea de sumar una secuencia de términos. 2. ⁠El índice de la suma: suele estar representado por una variable (a menudo una letra) que toma valores enteros. Define los términos que se suman y varía desde el valor inicial hasta un valor final.3. ⁠La expresión del término: Está es la expresión matemática que define cada término en la secuencia, por lo general, involucra la variable de índice. 4. ⁠Los límites de la suma: Estos límites representan los valores inicial y final de la variable de índice. la variable de índice toma valores dentro de este rango y los términos se suman en consecuencia.

Propiedades

LINEALIDAD: La notación sigma es lineal, lo que significa que puedes dividir sumas complejas en partes más simples, por ejemplo, puedes escribir la suma de dos series como la suma de cada serie por separado Σ k i =j ( a i + b i ) = Σ k i =j a yo + Σ k yo =j segundo yoLIMITES CAMBIANTES: puedes cambiar los límites de la suma sin alterar la sumaΣ norte yo = 1 un yo = Σ metro yo = k un yoREORGANIZACIÓN DE TERMINOS: El orden en que se suman los términos no afecta el resultado: Σ norte yo = 1 una yo = Σ norte yo =1 una norte–i+1CONSTANTES: la constante se puede escribir como Σ k i =j (cx a i ) = cx Σ k i =j un yo

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Podemos también usar trapecios para aproximar el área (esto se llama regla del trapecio). En este caso, cada trapecio toca la curva en sus dos vértices superiores.

En una suma de Riemann de punto medio la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el punto medio de su base.

En una suma de Riemann derecha la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo derecho de su base.

En una suma de Riemann izquierda aproximamos el área con rectángulos (normalmente de ancho igual), donde la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo izquierdo de su base.

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Formulas

METODOS

En una suma de Riemann de punto medio la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el punto medio de su base.

En una suma de Riemann de punto medio la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el punto medio de su base.

En una suma de Riemann derecha la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo derecho de su base.

En una suma de Riemann izquierda aproximamos el área con rectángulos (normalmente de ancho igual), donde la altura de cada rectángulo es igual al valor de la función en el extremo izquierdo de su base.

SUMAS DE RIEMANN

La suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo la curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el teorema fundamental del cálculo.

∫ a b f ( x ) d x ∼ ∑ n = 0 N − 1 h f ( ξ n ) = h ∑ n = 0 N − 1 f ( ξ n ) . Esta suma recibe el nombre de suma de Riemann.

FORMULAS

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Integral

Es un proceso que permite restituir una función que ha sido previamente derivada, es decir, la operación opuesta de la derivada, así como la suma es de l resta, el procedimiento para hallarla se llama integración. A este grifo ∫ se le llama “símbolo de integral” y a la notación ∫f(x) de se le llama integral definida de f(x) con respecto a x Se forman tablas de integrales conocidas , que se llaman “tablas de integrales inmediatas”. Para hacer una integración cualquiera, comparamos la expresión diferencial dada con las tablas, si se encuentra registrada en ellas, se sabe la integral, si no está registrada, se ven varios métodos para rehacerla a una de las formas registradas. De todo resultado de diferenciación puede reducirse siempre una formula para la integral.

INDEFINIDAS si F(x)= f(x) ñara todo x es el dominio de f, decimos que F(x) es una antiderivada, una peomitiva o una integral de f(x) Por otro lado, observamos que F(x)+ c)= F’(x) = f(x), lo cual implica que la integral de una función no es única, pues debido a diferentes valores a la constante C obtendremos diferentes antiderivadas, por esta razón F(x) + c es llamada la integral indefinida de f(x) y C es llamada constante de integración y se escribe de la siguiente manera

TIPOS

DEFINIDAS Sea y=f(x) una función real continua en un intervalo cerrado [a , b], y sea F (x) una antiderivada de f(x). se llama integral definida de f(x) entre los límites a y b al número F(b) - F(a), y se denota como: Esta fórmula es mejor conocida como el “Teorema Fundamental del Cálculo”, aquí “a” es llamado límite inferior y “b” es llamado el límite superior. La integral definida de una función es un número. Una de las aplicaciones más útiles que posee este tipo de integral es que permite calcular el área (volumen) de una figura plana (de un sólido de resolución, estableciendo funciones y límites de integración adecuados y un eje que gira. Dentro de las integrales definidas podemos encontrar diversas extensiones de esta como por ejemplo integrales de línea, de superficie, impropias, múltiples, entre otros

PARTE 2 Establece que si tiene una función continua f es el intervalo [a,b] y se deja que F sea cualquier antiderivada de f, entonces la integral definida de f en el intervalo [a , b] es igual a la diferencia dentre los valores F en los extremos del intervalo [a,b] es igual a la diferencia entre los valores F en los extremos del intervalo, es decir: Esta parte del teorema es crucial para calcular integrales definidas y relaciona el cálculo de áreas bajo la curva con las antiderivadas.

Teorema Fundamental del Cálculo

PARTE 1 Establece que si se define una función como la integral definida de otra función f(x) es decir F(x) = entonces la derivada de esta función es igual a la función original, es decir, F’(x)=f(x), en otras palabras si F(x) es una antiderivada de f(x), la derivada de F(x) es igual a f(x). Fundamental para las integrales definidas con antiderivadas y permite calcular áreas bajo las curvas, volúmenes sólidos y otras aplicaciones matemáticas.

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