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LE EQUAZIONI

2. monomi e polinomi

1. insiemi N,Z e Q

Prerequisiti:

Un’identità è un’uguaglianza fra due espressioni letterali vera per qualsiasi valore attribuito alle lettere.

Identità

Un’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni letterali per la quale cerchiamo gli eventuali valori che, sostituiti a una o più lettere, dette incognite, la rendono vera.

Equazioni

Per verificare se un numero è soluzione, basta sostituirlo all’incognita, e controllare se si ottiene un’identità.
Chiamiamo soluzioni o radici di un’equazione i valori che, attribuiti alle incognite, rendono uguali il primo e il secondo membro dell’equazione. Risolvere un’equazione vuol dire trovarne tutte le soluzioni: le soluzioni vanno cercate nell’insieme di definizione o dominio dell’equazione

Risolvere un'equazione

PP&S - Problem posing & solvingChe cos'è un'equazione? Cosa vuol dire risolvere un'equazione?Cerchiamo di scoprirlo?Seleziona la lampadina e svolgi l'attività proposta.

Equazioni

In un’equazione possono essere presenti lettere diverse, ma non è detto che siano tutte incognite. Le incognite sono le lettere rispetto a cui l’equazione va risolta. Diciamo che un’equazione è numerica se non contiene altre lettere oltre alle incognite, altrimenti è letterale. Le lettere che non sono incognite sono dette parametri e possono assumere qualsiasi valore nell’insieme numerico considerato.

Equazioni numeriche e letterali

Possiamo classificare le equazioni in base al numero di soluzioni. Diremo che un’equazione è:
  • determinata se ha un numero finito di soluzioni;
  • indeterminata se le soluzioni sono infinite;
  • impossibile se non ha soluzioni.

Classificazione delle equazioni in base al numero di soluzioni

Di solito sottintendiamo che l’insieme numerico in cui consideriamo vera un’identità o in cui cerchiamo le soluzioni di un’equazione è ℝ. Se esistono dei valori per cui le espressioni letterali non hanno significato dobbiamo scrivere le condizioni di esistenza (C.E.).

Condizioni di esistenza

Due equazioni nelle stesse incognite sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Equazioni equavalenti

Due equazioni nelle stesse incognite sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Equazioni equivalenti

Per passare da un’equazione a un’altra equivalente più semplice, utilizziamo due princìpi di equivalenza.
  • Per risolvere un’equazione, cerchiamo di sostituirla con una equivalente più semplice.
  • Ripetiamo questo procedimento fino a ottenere un’equazione con soluzione immediata.

Principi di equivalenza

Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero, o espressione letterale, otteniamo un’equazione equivalente.

Primo principio di equivalenza

Dal primo principio possiamo derivare la regola del trasporto: Data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se trasportiamo un termine da un membro all’altro cambiandogli segno.

Regola del trasporto

Dal primo principio possiamo derivare la regola di cancellazione: Data un’equazione, ne otteniamo una equivalente se in entrambi i membri cancelliamo termini uguali.

Regola di cancellazione

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero o espressione letterale diversi da zero, otteniamo un’equazione equivalente.

Secondo principio di equivalenza

Dal secondo principio possiamo derivare la regola del cambio di segno: Da un’equazione otteniamo un’equazione equivalente se cambiamo segno a tutti i suoi termini.

Regola del cambio di segno

  • Quando ci sono termini con coefficienti frazionari e vogliamo ottenere coefficienti interi.
  • Quando tutti i termini di un’equazione hanno un fattore comune.
Oltre alla regola del cambio di segno ci sono altre applicazioni utili del secondo principio di equivalenza.

Applicazioni del secondo principio di equivalenza

Se i membri di un’equazione nell’incognita x sono polinomi possiamo riscrivere l’equazione come un solo polinomio P(x) ridotto a forma normale e uguagliato a zero: P(x) = 0. In questo modo si ottiene la forma normale dell’equazione

Forma normale di un’equazione

Se i membri di un’equazione nell’incognita x sono polinomi, chiamiamo grado dell’equazione il grado del polinomio P(x) ridotto a forma normale.

Grado di un’equazione

Per risolvere un’equazione numerica intera di primo grado, svolgiamo i calcoli nei due membri e utilizziamo i principi di equivalenza fino a giungere alla forma ax = b. Poi distinguiamo tre casi:
  • equazione determinata, a ≠ 0;
  • equazione indeterminata, a = 0 e b = 0;
  • equazione impossibile, a = 0 e b ≠ 0.

Risoluzione di un’equazione lineare

Se i membri di un’equazione nell’incognita x sono polinomi, chiamiamo grado dell’equazione il grado del polinomio P(x) ridotto a forma normale.

Grado di un’equazione

Se i membri di un’equazione nell’incognita x sono polinomi, chiamiamo grado dell’equazione il grado del polinomio P(x) ridotto a forma normale.

Grado di un’equazione

Per risolvere un’equazione numerica intera di primo grado ax = b determinata (a ≠ 0) dividiamo ambedue i membri per a ottenendo la soluzione: x = b/a

Equazione determinata

Un’equazione numerica intera di primo grado ax = b indeterminata(a = 0 e b = 0) ha per soluzione tutti i numeri reali, infatti 0x = 0 è un’identità.

Equazione indeterminata

Un’equazione numerica intera di primo grado ax = b impossibile (a = 0 e b ≠ 0) non ha soluzione; nessun numero reale x risolve l’equazione 0x = b.

Equazione impossibile

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