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Probabilidades

Estatística Aplicada aos Recursos Humanos

CTESP – Gestão Administrativa de Recursos Humanos

Doutora Altina Cunha

Revisões

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Propriedades das Operações sobre Conjuntos

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Revisões

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Experiência Aleatória e Espaço Amostral

Experiência aleatória e Espaço Amostral

Uma experiência é um processo que conduz a um resultado pertencente a um conjunto previamente fixado, designado por universo dos resultados ou espaço amostral. Este conjunto representa-se por 𝑆, Ω ou 𝐸 e os seus elementos designam-se por casos possíveis. Uma experiência determinista é uma experiência com um único caso possível. Uma experiência aleatória é uma experiência com mais do que um caso possível, não sendo possível prever com exatidão o seu resultado, mesmo quando realizada nas mesmas condições.

Definição:

Exemplo

1

Experiência aleatória: "Lançar um dado equilibrado, numerado de 1 a 6, e verificar a face que fica voltada para cima".

O conjunto E tem 6 elementos.

Cardinal do conjunto E

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

# E = 6

Exemplo

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Experiência aleatória: "Lançar uma moeda e, de seguida, lançar um dado equilibrado, numerado de 1 a 6, e verificar as faces que ficam voltadas para cima”.

Um esquema útil para se determinar o espaço amostral desta experiência aleatória é a tabela de dupla entrada (esquema que facilita a contagem dos casos). Consideremos 𝑁: “face nacional” e 𝐸: “face europeia”.𝐸 = { (𝑁,1), (𝑁,2), (𝑁, 3), (𝑁, 4), (𝑁, 5), (𝑁, 6), (𝐸, 1), (𝐸, 2), (𝐸, 3), (𝐸, 4), (𝐸, 5), (𝐸, 6)} #𝐸 = 2 × 6 = 12

Exemplo

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Experiência aleatória: Escolher ao acaso uma família com três filhos e anotar o sexo destes, considerando a ordem pela qual nasceram.

Para determinar o espaço amostral desta experiência aleatória vamos recorrer a um diagrama de árvore. Seja 𝐹: “o filho é do sexo feminino” e 𝑀: “o filho é do sexo masculino”. 𝐸 = { (𝐹,𝐹,𝐹), (𝐹,𝐹, 𝑀), (𝐹, 𝑀,𝐹), (𝐹, 𝑀,𝑀), (𝑀,𝐹,𝐹), (𝑀,𝐹, 𝑀), (𝑀, 𝑀,𝐹), (𝑀, 𝑀,𝑀) } #𝐸 = 2 × 2 × 2 = 8

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Acontecimentos

Acontecimentos

Cada um dos subconjuntos do espaço amostral de uma experiência aleatória designa-se por acontecimento. Os elementos de um acontecimento designam-se por casos favoráveis a esse acontecimento Vejamos algumas definições sobre a classificação de acontecimentos. O conjunto vazio designa-se por acontecimento impossível. O espaço amostral designa-se por acontecimento certo. Se existir apenas um caso que lhe seja favorável, o acontecimento designa-se por elementar. Se existir mais do que um caso que lhe seja favorável, o acontecimento designa-se por composto.

Definição:

Exemplo

1

Experiência aleatória: "Lançar um dado dodecaédrico equilibrado, numerado de 1 a 12, e verificar a face que fica voltada para cima”.𝐸 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } # 𝐸 = 12

Em relação a esta experiência aleatória, podem ser definidos vários acontecimentos, tais como: 𝐴: “sair um número negativo.” 𝐴 = ∅ #𝐴 = 0 𝐵: “sair um número múltiplo de 1.” 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} = 𝐸 #𝐵 = 12 = #𝐸

O acontecimento 𝐴 é impossível.

O acontecimento B é certo..

Exemplo

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Continuação

𝐶: “sair um número múltiplo de 7.”𝐶 = { 7 } #𝐶 = 1 𝐷: “sair um número quadrado perfeito.” 𝐷 = {1, 4, 9}#𝐷 = 3 > 1

O acontecimento C é elementar.

O acontecimento D é composto.

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Operações comAcontecimentos

Operações com acontecimentos

Em relação à experiência: “Lançar um dado dodecaédrico equilibrado, numerado de 1 a 12, e verificar a face que fica voltada para cima”, vamos definir os seguintes acontecimentos:𝐴: “sair um número primo.” 𝐴={2, 3, 5, 7, 11} 𝐵: “sair um número ímpar.” 𝐵={1, 3, 5, 7, 9, 11} 𝐶: “sair um número par.” 𝐶={2, 4, 6, 8, 10, 12}𝐷: “sair um número múltiplo de 6.” 𝐷={6, 12} Designa-se por acontecimento reunião (ou união) de 𝐴 com 𝐵 ao acontecimento que se realiza quando se verifica 𝐴 ou 𝐵 e representa-se por 𝐴∪𝐵.

Definição:

Operações com acontecimentos

Designa-se por acontecimento interseção de 𝐴 com 𝐵 ao acontecimento que se verifica quando se realiza 𝐴 e 𝐵 em simultâneo e representa-se por 𝐴∩𝐵. 𝐴∩𝐵: “sair um número primo e um número ímpar.” 𝐴∩𝐵 = {2, 3, 5, 7, 11}∩{1, 3, 5, 7, 9, 11} = {𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟏}

Definição:

𝐴∪𝐵: “sair um número primo ou um número ímpar.” 𝐴∪𝐵 = {2, 3, 5, 7, 11}∪{1, 3, 5, 7, 9, 11} = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟗, 𝟏𝟏}

Operações com acontecimentos

𝐵∩𝐷 : “sair um número ímpar e um número múltiplo de 6.” 𝐵∩𝐷 = {1, 3, 5, 7, 9, 11}∩{6, 12}

Definição:

Acontecimentos disjuntos, incompatíveis ou mutuamente exclusivos são acontecimentos que nunca ocorrem em simultâneo, isto é, a realização de um deles implica a não realização do outro. Os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são disjuntos se e só se 𝐴∩𝐵=Ø.

Os acontecimentos 𝐵 e 𝐷 são disjuntos.

Operações com acontecimentos

𝐵∩𝐶 : “sair um número ímpar e um número par.” 𝐵∩𝐶 = {1, 3, 5, 7, 9, 11}∩{2, 4, 6, 8, 10, 12} = ∅𝐵∪𝐶 : “sair um número ímpar ou um número par.” 𝐵∪𝐶 = {1, 3, 5, 7, 9, 11}∪{2, 4, 6, 8, 10, 12} = 𝑬

Definição:

Os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 dizem-se contrários se 𝐴∩𝐵 = Ø e 𝐴∪𝐵 = 𝐸.

Os acontecimentos 𝐵 e 𝐶 são contrários.

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Lei de LaPlace

Lei de LaPlace

Numa experiência aleatória onde os casos possíveis são em número finito e equiprováveis, a probabilidade de um acontecimento 𝐴 é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis.

Definição:

Exemplo 1

Na experiência aleatória que consiste em lançar um dado equilibrado, numerado de 1 a 6, e verificar a face que fica voltada para cima, a probabilidade de sair a face com o número 2 é .

Exemplo 2

Na experiência aleatória que consiste em extrair ao acaso uma carta de um baralho completo de 52 cartas e anotar a cor dessa carta, a probabilidade de sair a cor preta é

Exemplo 3

Na experiência aleatória que consiste em lançar uma moeda e, de seguida, lançar um dado equilibrado, numerado de 1 a 6, e verificar as faces que ficam voltadas para cima, a probabilidade de sair face europeia e número par em simultâneo é Neste caso, tem-se que:

Lei de LaPlace

Exemplo 2

Na experiência aleatória que consiste em extrair ao acaso uma carta de um baralho completo de 52 cartas e anotar a cor dessa carta, a probabilidade de sair a cor preta é

Exemplo 3

Na experiência aleatória que consiste em lançar uma moeda e, de seguida, lançar um dado equilibrado, numerado de 1 a 6, e verificar as faces que ficam voltadas para cima, a probabilidade de sair face europeia e número par em simultâneo é Neste caso, tem-se que:

Lei de LaPlace

Propriedades das Operacões sobre Conjuntos

Revisões

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Propriedades das Operações sobre Conjuntos

Propriedades das Operacões sobre Conjuntos

Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, tem-se que:

  • 𝐴⊂𝐵 se e somente se 𝐴∩𝐵=𝐴.
  • 𝐴⊂𝐵 se e somente se 𝐴∪𝐵=𝐵.

Teorema

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto 𝐴, ou seja, ∅⊂𝐴.

Teorema

Propriedades das Operacões sobre Conjuntos

Dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵, tem-se que:Dados dois subconjuntos 𝐴 e 𝐵 de um conjunto 𝑈, tem-se que:

Teorema

Propriedades das Operacões sobre Conjuntos

Consideremos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 três conjuntos de um universo 𝑈.Tem-se que:

  • Propriedade comutativa
  • Propriedade associativa

Interseção𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴

Interseção(𝐴∩𝐵)∩𝐶 =𝐴∩(𝐵∩𝐶)

Reunião 𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴

Reunião (𝐴∪𝐵)∪𝐶 =𝐴∪(𝐵∪𝐶)

Propriedades das Operacões sobre Conjuntos

  • Existência de elemento neutro
  • Propriedade associativa

Interseção𝑈 é o elemento neutro da interseção 𝐴∩𝑈 = 𝑈∩𝐴 = 𝐴

Interseção∅ é o elemento absorvente da interseção 𝐴∩∅ = ∅∩𝐴 = ∅

Reunião ∅ é o elemento neutro da reunião 𝐴∪∅ = ∅∪𝐴 = 𝐴

Reunião 𝑈 é o elemento absorvente da reunião 𝐴∪𝑈 = 𝑈∪𝐴 = 𝑈

Propriedades das Operacões sobre Conjuntos

  • Idempotência
  • Distributividade da interseção em relação à reunião
  • Distributividade da reunião em relação à interseção
  • Leis de De Morgan para conjuntos

Interseção𝐴∩𝐴 = 𝐴

Reunião 𝐴∪𝐴=𝐴

𝐴∩(𝐵∪𝐶) = (𝐴∩𝐵)∪(𝐴∩𝐶)

𝐴∪(𝐵∩𝐶) = (𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶)

Propriedades das Operacões sobre Conjuntos

Dados os conjuntos 𝐴, 𝐵 e 𝐶, tem-se que:

  • (𝐴∪𝐵)×𝐶=(𝐴×𝐶)∪(𝐵×𝐶);
  • 𝐶×(𝐴∪𝐵)=(𝐶×𝐴)∪(𝐶×𝐵).

Teorema

Probabilidade Condicionada

Probabilidade Condicionada

Dados um conjunto finito, não vazio, 𝐸, uma probabilidade 𝑃 no conjunto 𝒫(𝐸) e dois acontecimentos 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(𝐸), com 𝑃 (𝐵)≠0, designa-se por probabilidade de 𝑨 se 𝑩 ou probabilidade de 𝑨, sabendo que ocorreu 𝑩, ou probabilidade condicionada de 𝑨 se 𝑩, e representa-se por 𝑃 (𝐴|𝐵), a quantidade . Desta forma, tem-se que: A probabilidade da interseção de dois acontecimentos é igual ao produto de probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, sabendo que o primeiro ocorreu.

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Probabilidade Condicionada

Exemplo

Uma turma tem 12 rapazes e 10 raparigas. Escolhem-se, ao acaso, dois alunos. Para determinar a probabilidade de serem escolhidas duas raparigas, começa-se por definir os seguintes acontecimentos:

𝐴: “O primeiro aluno escolhido é uma rapariga” 𝐵: “O segundo aluno escolhido é uma rapariga” O que se pretende é calcular 𝑃 (𝐴∩𝐵). Caso se pretenda determinar a probabilidade de os alunos serem do mesmo sexo, é necessário calcular a probabilidade de serem ambos raparigas ou serem ambos rapazes

Probabilidade Condicionada

Vejamos que a probabilidade condicionada é uma probabilidade em 𝒫(𝐸). Seja 𝐵∈𝒫(𝐸) tal que 𝑃(𝐵)>0. Consideremos a função 𝑃 definida pela expressão .

Probabilidade Condicionada

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Exemplo

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Probabilidade Condicionada

Exemplo

Um saco tem cinco bolas azuis e duas bolas vermelhas, enquanto outro saco tem duas bolas azuis e três vermelhas. De um baralho de 52 cartas tira-se uma carta ao acaso. Se sair uma carta do naipe copas, tira-se uma bola do primeiro saco, caso contrário, tira-se uma bola do segundo saco. Qual é a probabilidade de tirar uma bola azul?

Consideram-se os seguintes acontecimentos: 𝐴: “Tirar bola azul” 𝑃 (𝐴) = 𝑃 (𝐴∩𝑆1 ) + 𝑃 (𝐴∩𝑆2 )⇔𝑃 (𝐴) = 𝑃 (𝐴|𝑆1 )×𝑃 (𝑆1 )+𝑃 (𝐴|𝑆2 )×𝑃 (𝑆2 )𝑆1: “Tirar a bola do primeiro saco” 𝐴 = (𝐴∩𝑆1 )∪(𝐴∩𝑆2 )𝑆2: “Tirar a bola do segundo saco”

Probabilidade Condicionada

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Probabilidade Condicionada

Exemplo

𝑃 (𝐴) = 𝑃 (𝐴∩𝑆1 ) + 𝑃 (𝐴∩𝑆2 )⇔𝑃 (𝐴) = 𝑃 (𝐴|𝑆1 )×𝑃 (𝑆1 )+𝑃 (𝐴|𝑆2 )×𝑃 (𝑆2 )

Probabilidade Condicionada

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Probabilidade Condicionada

Exemplo

Numa determinada empresa 40% dos trabalhadores são do sexo masculino.A probabilidade de um funcionário do sexo masculino renovar o seu contrato de trabalho é 55%, enquanto que 20% das mulheres terão o seu contrato renovado. Escolhe-se, ao acaso, um trabalhador da empresa.

Qual é a probabilidade de:

  1. ser homem e ter o seu contrato renovado?
  2. ter o seu contrato renovado?
  3. ser mulher, sabendo que não vai ter o seu contrato renovado?
Consideram-se os seguintes acontecimentos: 𝐻: “O trabalhador é do sexo masculino” 𝑅: “O trabalhador vai renovar contrato com a empresa” De acordo com o enunciado, sabe-se que:

Probabilidade Condicionada

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Probabilidade Condicionada

Exemplo

  1. k

Probabilidade Condicionada

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Probabilidade Condicionada

Exemplo

2.º Processo

  1. 𝑃 (𝐻∩𝑅) = 0,4 × 0,55 = 𝟎,𝟐𝟐
  2. 𝑃 (𝑅) =𝑃 (𝐻∩𝑅) + 𝑃 (𝐻 ̅∩𝑅) = 0,22 + 0,12 = 𝟎,𝟑𝟒

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Propriedades das Operações sobre Conjuntos

Acontecimentosindependentes

Probabilidade Condicionada

Dados um espaço amostral 𝐸 e uma probabilidade 𝑃 no conjunto 𝒫(𝐸), dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵 dizem-se independentes se:

Dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵, com 𝑃(𝐵)≠0, são independentes se e só se:

Teorema

Probabilidade Condicionada

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Probabilidade Condicionada

Exemplo

Probabilidade Condicionada

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Probabilidade Condicionada

Exemplo

Agora ficha de trabalho n.º 4!