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CALCOLO INTEGRALE

ESCAPE ROOM DI ANALISI MATEMATICA II

Domande di teoria e Quiz sul calcolo integrale

In ogni stanza troverai un argomento diverso: integrali curvilinei, integrali doppi, integrali superficiali e integrali tripli. Rispondi a tutte le domande correttamente per riuscire a trovare la via di fuga.

ROOM 3

ROOM 1

ROOM 2

PRIMA STANZA: INTEGRALI CURVILINEI

room 4

i

Come si calcola l'integrale curvilineo di f lungo una curva parametrizzata r(t) con a≤t≤b e una funzione f(r(t))?

Domanda 1

1/8

A. ∫ab​ f(r(t)) dt

B. ∫ab​ f(r(t)) llr'(t)ll dt

C. ∫ab ​f(r(t)) r'(t) dt

INTEGRALI CURVILINEI

L'equazione parametrica della frontiera della superficie z = 1-x2-y2 con x≥0 , y≥0 e z=0 rappresenta

Domanda 2

A. una circonferenza

B. una parabola

C. 1/4 di circonferenza

INTEGRALI CURVILINEI

2/8

Nell'equazione ρ(θ) = R sin(kθ) della rodonea, cosa determina k?

Domanda 3

A. k determina la lunghezza dei petali

B. k determina la forma dei petali

C. k determina il raggio della curva

INTEGRALI CURVILINEI

3/8

Quale delle seguenti curve parametriche NON è regolare per per t∈[-1,1] ?

Domanda 4

A. γ(t)=(sin(t), π−t)

B. γ(t)=(log(1+t), t−t2, et)

C. γ(t)=(t2, t3)

INTEGRALI CURVILINEI

4/8

Come viene rappresentato un campo NON conservativo?

Domanda 5

A. tangente ad almeno una linea di livello della funzione potenziale

B. ortogonalmente ad almeno una linea di livello della funzione potenziale

C. nessuna delle opzioni precedenti è corretta

INTEGRALI CURVILINEI

5/8

Se la funzione è costante, ossia f(r)=c, qual è l’integrale curvilineo di f lungo una curva qualsiasi?

Domanda 6

A. c

B. c volte la lunghezza della curva

C. dipende dalla forma della curva

6/8

INTEGRALI CURVILINEI

Se la curva è una linea retta e la funzione è f(r)= ll r ll, qual è l’integrale curvilineo di f lungo la curva?

Domanda 7

A. La distanza media dall’origine

B. La lunghezza della linea

C. lunghezza della linea moltiplicata per la distanza media dall’origine

INTEGRALI CURVILINEI

7/8

Se la funzione è f(r)= ll r ll2 e la curva è un cerchio di raggio R, qual è l’integrale curvilineo di f lungo la curva?

Domanda 8

A. 2πR

B. 2πR2

C. 2πR3

INTEGRALI CURVILINEI

8/8

Hai completato questa stanza!

CONTINUA

INTEGRALI CURVILINEI

8/8

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Risposta errata!

INTEGRALI CURVILINEI

room 3

room 1

ROOM 2

Domande di teoria e Quiz sul calcolo integrale

In ogni stanza troverai un argomento diverso: integrali curvilinei, integrali doppi, integrali superficiali e integrali tripli. Rispondi a tutte le domande correttamente per riuscire a trovare la via di fuga.

SECONDA STANZA: INTEGRALI DOPPI

room 4

wc

i

Domanda 1

Cosa rappresenta l’integrale doppio di una funzione positiva su una regione R?

B. L’area della regione R

A. Il volume sotto la superficie z=f(x,y) e sopra la regione R

INTEGRALI doppi

1/8

C. La lunghezza della curva definita da f(x,y) sulla regione R

Domanda 2

Per quale delle seguenti funzioni si può ricorrere all’utilizzo delle coordinate polari nel calcolo di un integrale doppio?

C. f(x,y)=2x2-y2-3x

B. f(x,y)=sin⁡(x2+y2)

INTEGRALI doppi

2/8

A. f(x,y)=ex+y

Domanda 3

Quanto vale l’integrale doppio ∫∫R x2y dxdy dove R è il rettangolo definito dai punti (0,0), (1,0), (0,2), (1,2) ?

A. 1/3

B. 2/3

INTEGRALI doppi

3/8

C. 1

Domanda 4

Quanto vale l’integrale doppio ∫∫R xy dxdy dove R è il rettangolo definito dai punti (0,0), (2,0), (0,1), (2,1)?

A. 1

C. 3

4/8

INTEGRALI doppi

B. 2

Domanda 5

Qual è la condizione per poter scambiare l’ordine di integrazione in un integrale doppio?

C. La regione di integrazione deve essere semplice rispetto a entrambe le variabili

B. La regione di integrazione deve essere un rettangolo

INTEGRALI doppi

5/8

A. La funzione deve essere continua

Domanda 6

Quanto vale l’integrale doppio ∫∫R x2+y2 dxdy dove R è il cerchio di raggio 1 centrato nell’origine.

B. π

A. π/2

INTEGRALI doppi

6/8

C. 2π

Domanda 7

Cosa rappresenta l’integrale doppio di una funzione f(x,y) su una regione R se f(x,y) non è sempre positiva?

B. L’area della regione R

C. La somma algebrica dei volumi dei solidi sopra e sotto il piano xy, definiti dalla funzione f(x,y) sulla regione R

7/8

INTEGRALI doppi

A. Il volume del solido compreso tra la superficie z=f(x,y) e il piano xy, sopra la regione R

Domanda 8

8. Calcola l’integrale doppio ∫∫R x2−y2 dxdy dove R è il quadrato di lato 2 centrato nell’origine.

A. 0

C. 4

INTEGRALI doppi

8/8

B. 2

CONTINUA

Hai completato questa stanza!

INTEGRALI doppi

8/8

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Risposta errata!

INTEGRALI doppi

room 3

room 1

room 2

Domande di teoria e Quiz sul calcolo integrale

In ogni stanza troverai un argomento diverso: integrali curvilinei, integrali doppi, integrali superficiali e integrali tripli. Rispondi a tutte le domande correttamente per riuscire a trovare la via di fuga.

TERZA STANZA: INTEGRALI SUPERFICIALI

room 4

wc

i

Cosa rappresenta l’integrale superficiale di una funzione su una superficie?

Domanda 1

INTEGRALI SUPERFICIALI

1/8

C. La “somma pesata” dei valori della funzione sulla superficie

B. Il volume del solido sotto la superficie

A. L’area della superficie

Qual è la formula per l’integrale superficiale di una funzione f(x,y,z) su una superficie parametrizzata da r(u,v)?

Domanda 2

INTEGRALI SUPERFICIALI

2/8

B. ∫∫D f(r(u,v)) llru×rvll dudv

C. ∫∫D f(r(u,v)) llru+rvll dudv

A.∫∫D f(r(u,v)) dudv

Cosa rappresenta l’integrale superficiale del campo vettoriale F sulla superficie S con orientazione n?

Domanda 3

INTEGRALI SUPERFICIALI

3/8

A. Il flusso del campo vettoriale attraverso la superficie

B. La circolazione del campo vettoriale lungo il bordo della superficie

C. Il lavoro compiuto dal campo vettoriale sulla superficie

Supponiamo che F sia un campo vettoriale dato da F(x, y, z) = (y, x, z), e S sia la superficie di un cubo unitario nel primo ottante. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

Domanda 4

INTEGRALI SUPERFICIALI

4/8

A. L’integrale di superficie del rotore di F su S è uguale all’integrale di linea di F lungo il bordo di S

B. L’integrale di superficie del rotore di F su S è sempre zero

C. L’integrale di linea di F lungo il bordo di S è sempre zero

Cosa succede all’integrale superficiale di un campo vettoriale se si cambia l’orientazione della superficie?

Domanda 5

INTEGRALI SUPERFICIALI

5/8

B. L’integrale cambia segno

C. L’integrale rimane invariato

A. L’integrale diventa zero

Qual è l’integrale superficiale del campo vettoriale F(x,y,z) = xi+yj+zk sulla sfera di raggio 1 centrata nell’origine?

Domanda 6

INTEGRALI SUPERFICIALI

6/8

Right answer

Wrong answer

Wrong answer

C. 4π

B. π

A. π/2

Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

Domanda 7

INTEGRALI SUPERFICIALI

7/8

A. Una superficie è orientabile solamente se n è positivo

B. La scelta di -n o n determina l’orientazione di una superficie

C. I vettori grazie ai quali ricavo n sono i vettori colonna della matrice Jacobiana

Quanto vale l’integrale superficiale del campo vettoriale F(x,y,z) = xi + yj sulla superficie z = x2 + y2 con 0 ≤ z ≤ 1?

Domanda 8

INTEGRALI SUPERFICIALI

8/8

A. 0

B. π/2

C. π

CONTINUA

Hai completato questa stanza!

INTEGRALI SUPERFICIALI

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INTEGRALI SUPERFICIALI

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QUARTA STANZA: INTEGRALI TRIPLI

wc

i

Se la funzione è costante, diciamo f(x,y,z)=c, qual è l’integrale triplo di f su un parallelepipedo qualsiasi?

Domanda 1

INTEGRALI TRIPLI

1/5

A. c

B. c volte il volume del parallelepipedo

C. c volte l’area della superficie del parallelepipedo

Se la funzione è f(x,y,z)=x2+y2+z2 e il parallelepipedo è P=[−1,1]×[−1,1]×[−1,1], quanto vale l’integrale triplo di f su P?

Domanda 2

A. 16

B. 16/3

C. 16/2

INTEGRALI TRIPLI

2/5

Quando si esegue l’integrazione per fili, cosa rappresenta l’integrale lungo un “filo”?

Domanda 3

A. L’integrale di una funzione lungo una linea retta nello spazio

B. L’integrale di una funzione lungo una curva nello spazio

C. L’integrale di una funzione lungo un piano nello spazio

INTEGRALI TRIPLI

3/5

Quanto vale l’integrale triplo di (y + sen(z)) su E, dove E è il parallelepipedo definito dai punti (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 0, 2)?

Domanda 4

A. 2 – sen(2)

B. 2 – cos(2)

C. sen(2) + cos(2)

INTEGRALI TRIPLI

4/5

Supponiamo che F sia un campo vettoriale dato da F(x, y, z) = xi+ yj+ zk e V sia il volume di un cubo unitario nel primo ottante. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

Domanda 5

A. L’integrale di superficie del flusso di F attraverso il bordo di V è uguale all’integrale triplo della divergenza di F su V

B. L’integrale di superficie del flusso di F attraverso il bordo di V è sempre zero

C. L’integrale triplo della divergenza di F su V è sempre zero

INTEGRALI TRIPLI

5/5

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Congratulazioni!

Hai completato con successo tutte le stanze

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Università degli Studi di Udine Elisa CorenDipartimento Politecnico di Ingegneria e Architettura mat. 162858Corso di Laurea in Ingegneria Civile a.a. 2023/2024

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