DM maths

• La méthode de la sécante est une méthode comparable à celle de Newton.
• But : obtenir une valeur approchée de x pour f(x)=0

La méthode de la sécante

b-a f(b)-f(a)

b-a f(b)-f(a)

f(b)-f(a) b-a

f(b)-f(a) b-a

f(b)-f(a) b-a

1) (AB) = pente (x-point) + f(point) y = ----------- (x-a) + f(a) Si la droite coupe l'axe des abscisses au point d''abscisse a' : y = 0 <=> ----------- (a'-a) + f(a) = 0 <=> ----------- (a'-a) = -f(a) <=> a'-a = -f(a) ---------- <=> a' = a - ---------- f(a)

f(b)-f(a )

b- a

= - ___________ f(a ) > 0

f(b)-f(a )

b-a

n+1 n n n n

a -a = a - __________ f(a )-a

n+1

n+1

Démontrer que la suite (a ) est croissante : a > a <=> a - a > 0

n+1

2.a) a = a et a' = a donc : a = a et a' = a

Démontrer que la suite (a ) est majorée :

n n+1 n

• la suite (a ) est donc croissante car a >a

f(b) - f(a )

b-a

- ___________ f(a ) > 0

et f(a )<0

f est croissante, donc la pente est positive !

f(b)-f( )

0 = - _______ f( )

f(b)-f( )

b-

= - ________ f( )

f(b)-f(a )

b-a

n+1 n n

a = a - __________ f(a )

b-

n n+1

Théorème de la convergente monotone : Si n --> + ∞ : a --> et a -->

1)

=> La fonction f(x) est strictement décroissante dans l'intervalle [0;1]. De plus, f(x) =0 est compris entre f(0) et f(1). f(x)=0 admet alors une unique solution α dans l'intervalle [0;1].

3 2

f(x)= x - 4x +1 f'(x)= 3x - 8x = x (3x-8)