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Numeri in virgola mobile
Previtali Andrea
Created on December 4, 2023
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Transcript
Rappresentazione In Virgola Mobile Nello Standard IEE-P754
Codifica Binaria Dei Numeri RealiIn Virgola Mobile
Rappresentazione Dei Numeri In Virgola Mobile(floating point)
Cosa Sono I Numeri In Virgola Mobile
Final Project
Autori: Previtali Andrea, Cantamessa Luca, Lazzaroni Cristian,Pellegrini Matteo, Carrara Michele
Numeri Binari In Virgola Mobile
01. Numeri In Virgola Mobile
Cosa sono?
I numeri reali in virgola mobile sono numeri che possono avere una parte intera ed una decimale, possono essere di dimensioni maggiori o minori in base a dove viene spostato il punto decimale.Sono usati principalmente in ambito informatico e nelle scienza per rappresentare valori precisi con una vasta gamma di grandezze.
01. Numeri In Virgola Mobile
Particolarità
Essi costituiscono un soprainsieme dei numeri interi, quindi alcune proprietà dei numeri interi possono non essere più verificate.Un numero reale può non essere finitamente rappresentabile, qualunque siano le cifre a disposizione, per esempio i numeri irrazionali ed i numeri razionali periodici.
Il numero può essere rappresentato come:
02. Floating Point
In particolare per ogni numero reale N, data una base B si possono determinare:- una mantissa m (reale) di n cifre- resto r (reale)- un esponente esp (intero)Esistono infinite triple(m,r,esp) in grado di rappresentare lo stesso valore.
Quando la mantissa è minore di 1 e la prima cifra dopo la virgola è diversa da 0, il numero si dice normalizzato
Numeri in virgola mobile normalizzati
N=r+m x Besp
Dati un numero reale N,una base B e un numero naturale n, è sempre possibile rappresentare il valore reale N come la somma di due contributi, di cui il primo costituito da n cifre
Mantissa e resto
Tra tutte le possibili rappresentazioni in virgola mobile viene adottata la notazione normalizzata, in modo da avere una sola rappresentazione per ogni dato, che ci permette di trascurare il resto in modo che sia significativo solo il primo termine, cioè N=m x Besp.
esp=70.00005 x 107 + resto di 32.4321 non trascurabile
esp=50.00532 x 105 + resto di 0.4321 non trascurabile
esp=30.53243 x 103 + resto di 0.0021 trascurabile
esp=60.00004 x 106+ resto di 5.6768 ossia quasi tutto il numero da rappresentare
esp=40.00456 x 104 + resto di 0.0768 non trascurabile
Codifica numero: 45.6768
02. Floating Point
esempio 2
esempio 1
Codifica numero: 532.4321
esp=20.45676 x 102 + resto di 0.0008 trascurabile
Dove:- SM = il segno della mantissa;- NM = il numero di bit riservati alla mantissa;- mantissa = la codifica binaria della mantissa;- SE = il segno dell'esponente;- NE = il numero di bit riservati all'esponente;- esponente =la codifica binaria dell'esponente
SM SE nM bit nE bit
Codifica binaria dei numeri reali in virgola mobile
03. Codifica Binaria
Per scrivere un numero in virgola mobile è necessario memorizzare due numeri, uno per la mantissa ed uno per l'esponente con il loro segno
ESPONENTE
MANTISSA
Successivamente verranno trattate:- codifica della mantissa;- codifica dell'esponente.
Sia la mantissa che l'esponente hanno un numero di cifre, quindi gli intervalli rappresentati saranno sempre limitati, in funzione del numero dei bit (32,64...); in ogni caso, avremo degli errori dovuti all'arrotondamento.
La codifica con mantissa denormalizzata viene utilizzata contemporaneamente a quella normalizzata per estendere la capacità di rappresentare numeri molto piccoli, in questo caso non vengono effettuate operazioni sui numeri da codificare.es 0.000x (sempre numeri decimali <0)
03. Codifica Della Mantissa
Mantissa Denormalizzata
La mantissa è normalizzata quando si trasla la virgola in modo da togliere gli zeri in prossimità della virgola.es 1.xxxxx opppure 0.1xxxxxIl formato più utilizzato che useremo negli esempi è quello che normalizza la mantissa in modo da avere un solo bit uguale a 1 a sinistra della virgola. Dato che il numero a sinistra della virgola nella forma normalizzata è uguale a 1 che può essere sottointeso (bit hidden). Le codifiche con bit hidden codificano solo la parte decimale della mantissa.
Mantissa Normalizzata
Esistono due modalità di codifica della mantissa: - (1) mantissa normalizzata;- (2) mantissa denormalizzata;
Modi di codifica
03. Codifica Dell'Esponente
H4
H3
H2
H1
In eccesso P
Complemento a 1
Complemento a 2
Modulo e segno
L'esponente può essere codificato in una delle forme viste per la codifica dei numeri ralativi, ossia:
SM = segno della mantissa;nM = numero di bit riservati alla mantissa;mantissa normalizzata = codifica binaria della mantissa normalizzata;nE =numero di bit risservati all'esponente; esp eccesso P(detto BIAS) = codifica binaria dell'esponente P.
mantissa normalizzata
esponente eccesso P
SM nE bit nM bit
03. Codifica In Eccesso P
Cosa è?
La forma più utilizzata della codifica dell'esponente è quella in eccesso P dove è una costante che prende il nome di polarizzazione, per risparmiare bit di segno dell'esponente in quanto trasla i numeri negativi in P posizioni.
04. Rappresentazione in IEEE-754
Doppia Precisione
Precisione Estrema
Singola Precisione
Essa è la rappresentazione standard utilizzata per codificare numeri reali nei processori della famiglia Intel 8086. Sono presenti 3 formati:- A singola precisione: 32 bit;- B doppia precisione: 64 bit;- C precisione estrema: 80 bit.
Cosa è?
Analogo al metodo precedente, cambia solo il numero di bit utilizzati, 80(10byte), divisi in;- 1 bit per il segno del numero (0 positivo, 1 negativo);- 15 bit per l'esponente intero esp;- 64 bit per la codifica della mantissa m nell'ordine dal meno al più significativo.
Precisione Estrema
Singola precisione
04. 3 Tipi
Doppia precisione
Analogo al metodo precedente, cambia solo il numero di bit utilizzati, 64(8 byte), divisi in;- 1 bit per il segno del numero (0 positivo, 1 negativo);- 11 bit per l'esponente intero esp;- 52 bit per la codifica della mantissa m nell'ordine dal meno al più significativo.
Questa codifica utilizza 32 bit(4 byte), per rappresentare i numeri, mentre la mantissa viene rappresentata normalizzata con la prima cifra significativa diversa da 0 alla sinistra del punto radice:N = 1.xxxxxxxxx x 2espe viene sottintesa codificando solo la quantità a destra della virgola.i 32 bit sono usati:- 1 bit per il segno del numero (0 positivo, 1 negativo);- 8 bit per l'esponente intero esp- 23 bit per la codifica della mantissa m nell'ordine dal meno al più significativo.
Libro
Fonti