Соотношения в прямоугольном треугольнике

СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Интерактивный плакат

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Решение прямоугольного треугольника

Тригонометри-ческие формулы

Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла

Формулы площади треугольника и площади параллелограмма

Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике

cos(180°-𝛼)= - cos𝛼

Кроссворд

ТЕСТ

Автор: Евсеенко Дарья Олеговна учитель математики Государственное учреждение образования "Негорельская средняя школа №1"

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

45°

1

Задание 3

Задание 2

Задание 1

1

√2

1

2

Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Решение прямоугольного треугольника

Под решением прямоугольного треугольника понимают нахождение его неизвестных сторон и углов по некоторым элементам, определяющим этот треугольник.

Задачи

Задание

Пример:

Найдите неизвестные стороны треугольника ABC (∠C=90°), если:

Задача 1

а) AB = 10, sinB = 3/5;б) AB = 8, cosВ = 0,75.

Задача 2

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, синус острого угла при вершине равен 0,8. Вычислите площадь треугольника.

Задача 3*

В прямоугольном треугольнике АВС ∠С=90°, высота СН равна 12, медиана СМ равна 15. Найдите синус меньшего острого угла треугольника АВС.

Ответ: а) АС = 6, ВС = 8; б) АС = 2√7, ВС = 6.

Ответ: 90 см^2.

Ответ: √5/5.

Используем отношение сторон для синуса / косинуса.

Проводим высоту к боковой стороне треугольника, через синус находим высоту и по формуле S = (a*h) / 2 находим площадь треугольника.

1) треугольник CHM прямоугольный, находим MH по теореме Пифагора. 2) СМ - медиана, СМ=АМ=МВ=R (радиус описанной окружности около треугольника АВС). АН= АМ+МН. 3) По теореме Пифагора для треугольника АСН находим АС. 4) Находим синус меньшего угла.

Тригонометрические формулы

Задания

Задание

Задание 1

Задание 2

Задача

Ответ: а) 4/5; б) 1/2.

Ответ: а) 3/4; б) 2√2.

Ответ: 8 см.

Используя: а) основное тригонометрическое тождество. б) выражение тангенса и котангенса через синус и косинус.

Используя основное тригонометрическое тождество, выражение тангенса и котангенса через синус и косинус.

1) треугольник АВС прямоугольный ( угол АСВ опирается на диаметр окружности). 2) через косинус найдем сторону АС. 3) по теореме Пифагора находим ВС.

Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла

1

y

x

M (x; y)

sin 𝛼 = y (ордината)

cos 𝛼 = x (абсцисса)

180°-𝛼

sin(180°-𝛼)= sin𝛼

Задания

cos(180°-𝛼)= - cos𝛼

tg(180°-𝛼)= - tg𝛼

ctg(180°-𝛼)= - ctg𝛼

Задачи

Задание 1

Задание 2

Ответ: а) sin120°=√3/2, cos120°= -1/2, tg120°= -√3, ctg120°= -√3/3; б) sin135°=√2/2, cos135°= -√2/2, tg135°= -1, ctg135°= -1; в) sin150°=1/2, cos150°= -√3/2, tg150°= -√3/3, ctg150°= -√3.

Ответ: а) -0,8 б) -√2/2.

Ответ: а) 6 см, 30 см^2; б) 4 см, 24 см^2.

Используя основное тригонометрическое тождество.

Синус тупого угла равен синусу острого угла смежного с ним ( косинус тупого угла = - косинус острого угла смежного с ним). Находим высоту через синус / косинус. По формуле S=(a*h)/2 находим площадь треугольника; S=a*h находим площадь параллелограмма.

Формулы площади треугольника и площади параллелограмма

a

b

h

Задания

A

B

C

D

K

x

y

m

n

S1

S2

S3

S4

A

B

C

D

O

1) Площадь параллелограмма равна 18√3 см2, одна из его сторон на 5 см больше другой, а один из углов равен 60°. Найдите периметр параллелограмма. 2) Стороны параллелограмма относятся как 3:5, площадь равна 30 см2, а тупой угол параллелограмма равен 150°. Найдите периметр параллелограмма.3) Найдите площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной 6,2 см, и углом при основании, равным 75°. 4) Площадь равнобедренного треугольника равна 16 см2, угол при основании 15°. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Задачи

Ответ: 26 см.

Ответ: 32 см.

Ответ: 18 см^2.

Ответ: 8 см.

х- АВ, то (х+5) - АD. Составляем уравнение для площади параллелограмма. Находим стороны и далее находим периметр параллелограмма.

3х- АВ, то 5х - АD. Составляем уравнение для площади параллелограмма. Находим стороны и далее находим периметр параллелограмма.

Находим угол между боковыми сторонами. По формуле S = 1/2 *(a*b*sinB).

Находим угол между боковыми сторонами. Из формулы площади выражаем боковую сторону.

Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике

Теорема (о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике). а) Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т.е. 𝐶𝐾=√(𝐴𝐾∙𝐾𝐵) (рис.).

б) Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу, т.е. 𝐴𝐶=√(𝐴𝐵∙𝐴𝐾 ), 𝐵𝐶=√(𝐴𝐵∙𝐾𝐵 ).

Задания

x=√(mn)

В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС равен 8 см, а проекция катета АС на гипотенузу АВ равна 12 см. Найдите длину гипотенузы.

Дан прямоугольник ABCD. Перпендикуляр BK, опущенный на диагональ АС, делит ее на отрезки, равные 2 см и 6 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

Задача 1

Задача 2

Ответ: 4 см.

Ответ: 16 см.

По теореме о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике находим ВК. По теореме Пифагора находим АВ (треугольник АВС).

Используем теорему о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике.