Système Hexadécimal
Mathis Denglos
Created on October 2, 2023
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Transcript
Le Système hexadécimal
Par Mathis Denglos
Plan
1. Qu'est-ce que le système Hexadécimal ?2. Comment convertir... a) ...du binaire en hexadécimal ? b) ...de l'hexadécimal en binaire ? c) ...de l'héxadécimal en décimal ? d) ...du décimal en hexadécimal ?3. Pour aller plus loin... a) ...additions entre membres hexadécimaux.
Source utilisée : https://www.ionos.fr/digitalguide/serveur/know-how/systeme-hexadecimal/#:~:text=Le%20syst%C3%A8me%20hexad%C3%A9cimal%20est%20donc,d%C3%A9cimal%20(0%20%C3%A0%209
1. Qu'est-ce que le système hexadécimal ?
Comme son nom l'indique, le système hexadécimal est composé de 16 symboles numériques ("hexa" pour 6 et "déci" pour 10). Il est utilisé pour faciliter la lecture de grands nombres dans de longues chaînes de bits, là où les sytèmes décimaux et binaires sont gênés par leur manque de symboles numériques (10 et 2 respectivement). Il est notamment utilisé dans les adresses IP d'appareils numériques.Ex : C0 A8 00 0C en hexadécimal, qui donne 192.168.0.12 en décimal et 11000000.10101000.00000000.00001100 en binaire. On remarque facilement la différence de taille.Ce système va utiliser les 10 symboles du système décimal (chiffres de 0 à 9) et les six lettres majuscules A,B,C,D,E et F, ce dans ce même ordre de grandeur, pour écrire de grandes chaînes de bits abrégées.
2. Conversions :
Pour convertir, on se référera souvent à ce tableau pour connaître les équivalences des 16 symboles de l'hexadécimal dans les autres systèmes. On va essayer d'au maximum s'en passer pour les recherches qui vont suivre, mais certaines méthodes peuvent être simplifiées par son utilisation.
(PS : Ici, le C a une puissance différent du 9 :Le C a une puissance se rapportant à 160Le 9 a une puissance de 161Il ne faut donc surtout pas les mélanger !!!On reparlera des puissances dans la conversion décimal-hexadécimal)
Source : http://www.elektronique.fr/cours/code/convertir_binaire-hexadecimal.php
1001 1101(binaire) = 1001 en décimal puis 1101 en décimal1001 1101(binaire) = 1* 23 + 1*20 puis 1*23 + 1*22 + 1*20 1001 1101(binaire) = 8(décimal) + 1(décimal) puis 8 + 4 1001 1101(binaire) = 9(décimal) puis 12(décimal) Maintenant, on converti les symboles décimaux en hexadécimaux, ce qui donne :1001 1101(binaire) = 9C(hexadécimal)
Exemple : Convertir 1001 1101 en hexadécimal.
Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, il suffit de regrouper les symboles binaires par paquets de 4 en les traitant séparément. On peut très facilement associer un groupe de 4 binaire à son équivalent hexadécimal en utilisant seulement le tableau. Mais si on veut faire un calcul pour convertir, on va devoir convertir les symboles binaires en décimal avant tout. Pour cela, on va multiplier le symbole binaire par deux à la puissance de son positionnement dans le groupe de 4 (allant de droite à gauche, de 0 à 3) :
a) Convertir du binaire en hexadécimal :
Pour convertir un nombre plus long, on peut essayer sur 9CE1(hexadécimal) :On prend 9 puis C puis E puis 1On convertit chacun par leur équivalent binaire :9 => 1001 puis C => 1100 puis E => 1110 puis 1 => 0001On trouve que 9CE1(hexadécimal) = 1001 1100 1110 0001(binaire).
Il faut noter que chaque élément possède une puissance propre à sa position, il faut faire très attention à l'ordre de départ.
Pour convertir un nombre hexadécimal en binaire, il suffit d'associer le symbole hexadécimal à sa valeur binaire, sachant que chaque équivalent binaire est un groupe de 4 symboles. Si on n'a que un ou deux symboles, on rajoute alors des zéros pour avoir la forme souhaitée : 1(binaire) se marque 0001(binaire) et donne 1(hexa).
Sources :
- http://www.elektronique.fr/cours/code/convertir_binaire-hexadecimal.php
- https://www.youtube.com/watch?v=3UjD6kYt6jQ
b) Convertir de l'hexadécimal en binaire :
Ex : On traite 4DC5(hexadécimal). On fait 5*160 + C*161 + D*162 + 4*163 (On associe les lettres à leurs valeurs décimales pour effectuer le calcul)Donc 5*160 + 12*161 + 13*162 + 4*163On obtient 5 + 192 + 3328 + 16384 = 19909(décimal)
Source : http://www.science-du-numerique.fr/comment-convertir-un-nombre-hexadecimal-en-decimale
Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, il faut écrire le nombre hexadécimal en traitant chacun de ses éléments individuellement de droite à gauche et en les multipliant par 16 à la puissance de leur position, la première étant 0, puis 1, ect...
c) Convertir de l'héxadécimal en décimal.
2000(décimal) = 7D0(hexadécimal)
Ex : On traite 2000(décimal), On regarde quelle puissance de 16 est la plus proche de 2000 en dessous avec la liste qui suit :160 = 1, 161 = 16, 162 = 256, 163 = 4096 (163 est plus élevé que le nombre traité donc on s'arrête là)On utilise donc 162 = 256 pour diviser 2000, on tombe sur 7 reste 208. (On tombe en vérité sur 7.8125 mais on veut que le quotient soit entier, arrondie à sa valeur la plus basse, donc ici 7. De plus on peut calculer le reste en multipliant le quotient trouvé, ici 7, par la puissance de 16 utilisée, ici 162 = 256, puis on soustrait ce résultat au nombre de départ, donc 7*256 = 1792, puis 2000 - 1792 = 208)On a ce qui se rapporte à la position 3 (ou 2 si on part de 0) du résultat hexadécimal.Maintenant, on prend la puissance de 16 la plus proche en dessous du reste 208, ici 161. On le divise par ceci.Cela nous fait 208 ÷ 16 = 13, et ce sans reste. On trouve donc le résultat final, 7 étant à la place du paquet de 162, 13 donc D à la place de 161, et 0 (car pas de reste, mais nécessité d'avoir un nombre à chaque place pour respecter les puissances des autres) à la place de 160 :
Source : https://fr.khanacademy.org/math/algebra-home/alg-intro-to-algebra/algebra-alternate-number-bases/v/decimal-to-hexadecimal
Pour convertir un nombre décimal en hexadécimal, on doit faire une division sucessive entière, c'est-à-dire à quotient entier, par 16 à la puissance de 16 la plus grande sous le nombre traité. On le refait avec le reste trouvé jusqu'à ce qu'on arrive à 160.
d) Convertir du décimal en hexadécimal.
Pour additionner des nombres hexadécimaux, on doit s'aider de ce tableau d'additions de base 16. Cela se passe comme une addition basique de base 10 en colonnes, avec retenues lorsque les élément additionnés dépassent 15 (donc F), passant à une puissance de 16 supérieure.(Ex page suivante)
Source : https://tuto.pages-informatique.com/math-addition-en-base-16.php
a) Additions entre membres hexadécimaux.
3. Pour aller plus loin...
B + 5 + 1 (la retenue) = 11
C + 7 = 13
8BC+ 57
On additionne 8BC16 avec 5716.- On pose : - On commence par additionner la colonne des "unités" (donc des puissances de 160) :On se réfère au tableau d'addition pour cela et on garde le 9 pour la première colonne et le 1 en retenue pour la seconde ;- On fait ensuite les "dizaines" (puissances de 161) :On a 7 qui reste à la colonne de 161 et la retenue du 1 qui passe à la colonne de 162.- On obtient alors au final que 8BC16 + 5716 = 11316