I ROMBI

I ROMBI: DEFINIZIONE, TEOREMI ED ESERCIZI

Presentazione di Maria Cianchetti, Samuele De Ciantis, Francesca Lucchetti e Giulia Mauti

Inizia!

In particolare, in un rombo sono congruenti i lati opposti, quindi è classificato come parallelogramma.Il quadrilatero ABCD è un rombo perchè i suoi lati sono raggi congruenti agli archi tracciati; poichè un rombo è un parallelogramma, le diagonali si tagliano a metà, formando i due segmenti AM e MB, che sono congruenti. (AM≅ MB) Concludiamo quindi che M è il punto medio medio di AB.

Come sono definiti i rombi?

Un rombo è un quadrilatero in cui tutti i lati sono congruenti.

Problemi geometrici

Esercizi

Teoria

Indice

Le proprietà: primo Teorema

Condizioni sufficienti: secondo teorema

Vero o falso?

Dimostrazioni

Determina le ampiezze

01

Teoremi e dimostrazioni

DIMOSTRAZIONE: ABCD è un parallelogramma e le sue diagonali si tagliano a metà. BD è la diagonale che divide il rombo in due triangoli isosceli perché i lati ABCD sono congruenti. AM e MC sono mediane, altezze e bisettrici, quindi AC⊥BD e AC è bisettrice di BA^D e BC^D. Nella diagonale AC si prendono i triangoli isosceli ABC e ACD e otteniamo AC⊥BD e BD è bisettrice di AB^C e AD^C. In un rombo le diagonali formano quattro triangoli: rettangoli, essendo diagonali perpendicolari, e con i cateti congruenti, perché le diagonali di un parallelogramma si tagliano a metà quindi, per il primo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli, un rombo è diviso dalle diagonali in quattro triangoli rettangoli congruenti.

Ipotesi: ABCD rombo; Tesi: AC⊥BD; AC e BD bisettrici degli angoli;

TEOREMA

In un rombo le diagonali sono perpendicolari tra loro e bisettrici degli angoli.

DIMOSTRAZIONE 1. Se un parallelogramma ha le diagonali perpendicolari, è un rombo. HP: ABCD parallelogramma; AC⊥BD TH: ABCD rombo - Abbiamo il parallelogramma ABCD ( e M, punto centrale) che ha BM≅MD, perché M è un punto medio e AM^B≅AM^D Quindi per il 1° criterio sono congruenti >> in particolare AB≅AD, e in più il parallelogramma ha due lati consecutivi congruenti e quindi è un rombo.

Un parallelogramma è un rombo se ha: 1. le diagonali perpendicolari, OPPURE 2. una diagonale bisettrice di un angolo

Condizioni sufficienti

TEOREMA

DIMOSTRAZIONE 2. Se un parallelogramma ha una diagonale bisettrice di un angolo,è un rombo. HP: ABCD parallelogramma; BD bisettrice di AB^C TH: ABCD rombo -Abbiamo CD^B ≅ AB^D perchè angoli alterni interni sono formati da rette parallele AB e CD, tagliate da BD; - AB^D ≅ DB^C perchè BD è bisettrice di AB^C; - CD^B ≅ DB^C per proprietà transitiva. Quindi il triangolo CBD è isoscele con BC≅CD, in più il parallelogramma ABCD ha due lati consecutivi congruenti e quindi è un rombo.

Un parallelogramma è un rombo se ha: 1. le diagonali perpendicolari, OPPURE 2. una diagonale bisettrice di un angolo

Condizioni sufficienti

TEOREMA

02

Esercizi

Un quadrilatero con le diagonali perpendicolari può non essere un rombo

Le diagonali di un rombo lo dividono in quattro triangoli rettangoli congruenti.

Un parallelogramma è un rombo, ma un rombo non è un parallelogramma.

FALSO

vero

vero

FALSO

Un quadrilatero con le diagonali congruenti è un rombo

VERO O FALSO?

es.82

• α ≅ β perchè angoli alterni interni delle rette parallele PQ e AR tagliate da AP
• α ≅ γ perchè angoli tagliati dalla bisettrice AP
• β ≅ γ per la proprietà transitiva ⇒ il triangolo APQ è isoscele
• il parallelogramma ha due lati consecutivi conguenti, quindi è un rombo c.v.d.

Secondo un teorema, un parallelogramma è un rombo se ha una diagonale bisettrice di un angolo. AP bisettrice del triangolo e del parallelogramma al suo interno;

DIMOSTRAZIONE:

• AQPR rombo

TH:

• AP bisettrice
• ABC triangolo
• PQ // AR
• PR // AQ

HP:

La bisettrice dell'angolo  di un triangolo ABC interseca il lato opposto BC nel punto P. Conduci per P le rette parallele ai lati del triangolo che intersecano AB in Q e AC in R. Dimostra che AQPR è un rombo.

es. 87

DIMOSTRAZIONi

• β ≅ γ perchè angoli tagliati dalla bisettrice BD
• α ≅ γ per la proprietà transitiva ⇒ BPV è un triangolo isoscele
• PB≅PV c.v.d.

BC e PV sono paralleli per ipotesi, di conseguenza α ≅ β perchè sono angoli alterni interni delle due rette tagliate da BD.

DIMOSTRAZIONE:

• PB≅PV

TH:

• ABCD rombo
• V punto d'incontro e punto medio
• BC // PV

HP:

es. 91

Indicato con V il punto d'incontro delle diagonali del rombo ABCD, conduci per V le parallele al lato BC che incontra AB in P. Dimostra che PB≅PV.

DIMOSTRAZIONi

90°

38°

125°

Angolo complementare (congruente ad un angolo retto, 90°

Teorema "somma degli angoli interni di un triangolo", (congruente ad un angolo piatto,180°)

Angolo supplementare (congruente ad un angolo piatto, 180°)

es. 96

es. 95

Con le misure

• Il trianglo è equilatero, di conseguenza L=P/2:3 (Misura del lato, 24cm:3=8cm)
• BD è bisettrice di un triangolo equilatero, quindi è anche mediana e altezza; AD≅DC e AC≅AD+DC (Il lato AD, 8cm:2=4cm)
• BC//DF, quindi Ĉ≅α perchè angoli corrispondenti delle due rette tagliate da AC
• BC//DF quindi β ≅ γ perchè angoli corrispondenti tagliati da AB
• Di conseguenza, ADF è equilatero e AD≅ FD (P/2 rombo, FDx4; 4cmx4= 16cm)

SVOLGIMENTO:

• P/2 DEBF?

RICHIESTA:

• P/2: 24cm
• BD bisettrice
• DE // BF
• DF // BE
• BEBF rombo
• ABC triangolo equilatero

DATI:

Considera il triangolo equilatero ABC di perimetro 24cm e la bisettrice BD dell'angolo in B. Conduci da D le parallele ai lati CB e AB che incontrano i lati stessi in E e F. Determina il perimetro del rombo DEBF.

es. 99

PROBLEMI GEOMETRICI

M I

• 2δ e 2ε?

• Chiamando M il punto d'incontro delle parallele e I il punto d'intersezione, notiamo che DMI è un triangolo rettangolo: β= π-( π/2 + α) per la proprieta degli angoli di un poligono.

β= 180-(90+28) = 62°

• β ≅ γ perchè opposti al vertice, δ= π-( π/2 + γ ) per la proprietà precedente.

δ = 180-(90+62) = 28°, 2δ = 28x2= 56°

• ε = π-( π/2 + δ) per la stessa proprietà.

ε = 180-(90+28) = 62° , 2ε = 62x2= 124°

SVOLGIMENTO:

RICHIESTA:

• ABCD rombo
• AC>BD
• α ≅ 28°

DATI:

es. 101

In un rombo ABCD la diagonale AC è maggiore della diagonale BD. Sapendo che l'altezza DH forma con BD un angolo di 28°, determina le ampiezze degli angoli del rombo.

PROBLEMI GEOMETRICI

Il rombo è incluso nella categoria dei parallelogrammi, ma è errato affermare che ogni tipo di parallelogramma sia un rombo.

FALSO!

Ed è dimostrabile tramite il primo criterio di congruenza: Il puntro d'incontro tra le diagonali di un rombo forma quattro lati congruenti a coppie. Essendo perpendicolari, avranno ordinatamente congruenti i due lati e l'angolo compreso tra essi.

VERO!

La domanda ha come obbiettivo finale quello di far confondere il quadrilatero (poligono con quattro lati e quattro angoli) con il parallelogramma (quadrilatero con i lati opposti paralleli).In questo caso la frase è vera perchè un altro quadrilatero con questa caratteristica è il quadrato.

VERO!

Per definizione, un quadrilatero con le diagonali congruenti è un quadrato o un rettangolo. Le diagonali di un rombo sono invece perpendicolari.

FALSO!