Twierdzenie Pitagora

Autor - Antoni Spych

start

Twierdzenie

Pitagorasa

11. Źródła

8. Twierdzenie odwrotne

9. Sanah - Pitagoras

10. Quiz

D. Dowód Garfielda

C. Z przystawania

B. Przez Podobieństwo

A. Układanka

3. Dowody:

2. Ciekawostki o Pitagorasie

1. Pitagoras

Spis treści

Pitagoras

Grecki matematyk, filozof, mistyk kojarzony ze słynnym twierdzeniem matematycznym nazwanym jego imieniem. Urodził się w 572 r. p.n.e. na Samos lub w Sydonie. Założył w Krotonie szkołę pitagorejczyków w roku 529 p.n.e., będąc m.in. spadkobiercą idei Ferekydesa z Syros i Hermodamasa z Samos.Zmarł w 497r. p.n.e. w Metaponcie.

572 r. p.n.e. - 497 r. p.n.e.

Niektóre źródła donoszą, że tak zaciekle bronił swych teorii, iż gotów był do zabójstwa, byle by jego równania okazały się być tymi jedynymi słusznymi. Ponoć zabił swego ucznia, gdy ten napisał równanie udowadniające, że pierwiastek kwadratowy z dwóch może być niewymierny.

Pitagoras nie wymyślił jako pierwszy twierdzenia Pitagorasa. Jednak rozsławił go na tyle, że utrwaliła się nazwa od jego imienia. Twierdzenie pitagorasa znano już wcześniej na przykład w Chinach, Indiach, czy Egipcie.

Pitagoras miał żonę, o imieniu Teano. Ona również umiłowała naukę. Zajmowała się filozofią, matematyką, czy astronomią, ale najbardziej zasłynęła z napisania książki o swoim mężu zatytułowanej „Życie Pitagorasa”.

Niektóre źródła donoszą, że Pitagoras ofiarował dla bogów aż sto wołów, gdy odkrył własności trójkąta prostokątnego. Był to w tamtych czasach niezwykły wyraz wdzięczności.

Film o Pitagorasie

2.

1.

4.

ciekawostki o pitagorasie

3.

Twierdzenie pitagorasa:

• z przystawania

• dowód Garfielda

• przez podobieństwo

A²+b²=c²

• układanka

Przykładowe dowody na istnienie Twierdzenia Pitagorasa:

dowody

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze. Opublikowano przynajmniej 118 geometrycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa, , a Friedrichs udowodnił, że jest ich nieskończenie wiele.

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a,b i c jak na rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości a+b w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

układanka

przez podobieństwo

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: ABC, ADC i DBC. Niech |AB| to c, |BC| - a i |AC| - b. Dzięki temu możemy zapisać proporcje: |DB|/a = a/c|AD|/b = b/cWięc:a² = c * |DB|b² = c * |AD|Dodajemy obustronnie:a² + b² = c * |DB| + c * |AD| = c * ( |DB| + |AD| ) = c²

Analogicznie, rozważając trójkąty △ CBF i △ HBA można udowodnić, że pole kwadratu ◻ CBHI jest równe polu prostokąta BFGD. Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu◻ AEFB.

Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego△ABC są równe polom odpowiednich prostokątów, na jakie wysokość CD dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu◻ACJK jest równe podwojonemu polu trójkąta△ KAB – podstawą trójkąta △ KAB jest bokKA kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi CA tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta AEGD jest równe podwojonemu polu trójkąta △ CAE – podstawą trójkąta △ CAE jest bok AE prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi EG prostokąta. Jednak trójkąty △ KAB i △ CAE są przystające, co wynika z cechy „bok-kąt-bok” –|KA|=|CA|,|AB|=|AE| i kąt ∢ KAB jest równy kątowi ∢ CAE – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu ◻ ACJK jest równe polu prostokąta AEGD.

z przystawania

Na przyprostokątnej |BC| = a danego trójkąta prostokątnego △ ABC odkładamy |CD|=|AB|=b, a następnie na prostej ED równoległej do AB odkładamy |ED|=|BC|=a. Trójkąt △ ACE jest prostokątny ( ∢ ACE = 180° - ∢ACB - ∢ECD = 180° ∢ACB - ∢CAB = ∢ABC = 90° i równoramienny, a jego pole wynosi: |AC|²/2 = c²/2. Pola trójkątów △ ABC i △ CDE są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie 2 *(ab/2) .} Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez ABDE o polu (b+a)(a+b)/2. Stąd równości: (b+a)(a+b)/2= c²/2 + 2*(ab/2)(b+a)(a+b) = c² + 2*aba² + 2ab + b² = c² + 2aba² + b² = c²

dowód Garfielda

twierdzenie odwrotne

Jeśli dane są trzy dodatnie liczby a,b i c takie, że a a²+b²=c², to istnieje trójkąt o bokach długości a,b i c, a kąt między bokami o długości a i b jest prosty. To twierdzenie służy do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5

Sanah - Twierdzenie pitagorasa

Quiz

4. Film o Pitagorasie - https://www.youtube.com/watch?v=sT0yhP3DCeQ

3. Sanah - https://www.youtube.com/watch?v=LwlLaiE5etE

2. Ciekawostki - https://fajnepodroze.pl/ciekawostki-o-pitagorasie/

1. Wikipedia - https://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Strona_g%C5%82%C3%B3wna

Źródła