Mooc 3- Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas

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Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se utilizan para describir comportamientos periódicos, estos movimientos se pueden comprender a través del estuidio del movimiento de un punto alrededor de un círculo. Esto produce que tengan propiedades geométricas interesantes.

Funciones trigonométricas

Pero, antes de continuar: ¿cuántos radianes tendría que moverse un punto para llegar a las coordenadas (-1, 0)?

Primero, vimos cómo las funciones trigonométricas identifican las coordenadas de un punto en el círculo unitario. El punto que está a 1 radián del punto (1,0) tiene las coordenadas (cos(1), sen(1))

Sabemos que un radián es el ángulo que cubre un punto que ha viajado 1 unidad de distancia por la circunferencia. Cuando un punto viaja de (1, 0) a (-1, 0), recorre la mitad de la circunferencia, ¿cuántas unidades de distancia es esto?Desde la secundaria sabemos que la mitad de la circunferencia es π. Esto quiere decir que el punto ha recorrido π unidades de distancia por la circunferencia, lo que corresponde a cubrir un ángulo de π radianes.Es por eso que sen(π) = 0 y cos(π) = -1

Tomado de Wikipedia

Así se ve esto dibujado en el círculo:

Puedes armar una tabla de cuáles son las coordenadas de un punto que recorre cierto ángulo a partir del (1,0).

Vimos también en la parte anterior que se puede formar un triángulo a partir de lo que conocemos del círculo unitario, el cual es rectángulo y tiene un ángulo de θ. La hipotenusa de este triángulo es 1, el cateto opuesto al ángulo que mide θ mide sen(θ), y el cateto adyacente mide cos(θ).

Identidades trigonométricas

Un triángulo semejante a este triángulo tendría los mismos ángulos y sus lados serían proporcionales. Es decir, si tenemos un triángulo rectángulo con un ángulo de θ y una hipotenusa que mide h, sus otros lados tendrán que medir hsen(θ) y hcos(θ).

Esta relación entre los lados puede ser aplicada como una herramienta para cualquier triángulo rectángulo. También de aquí podemos ver que, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, cos2(θ) + sen2(θ) = 1

También de este triángulo podemos observar que el tercer ángulo es π/2 - θ radianes (un ángulo recto es igual a π/2 radianes), entonces cos(θ) = sen(π/2 - θ) y sen(θ) = cos(π/2 - θ)Esta propiedad se llama identidad del ángulo complementario.

Otra propiedad a partir de la geometría de las funciones trigonométricas son las identidades de la suma de ángulos: sen(x + y) = sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x) cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(y)sen(x)Si te interesa demostrar estas propiedades, puedes intentar hacerlo a partir de la construcción en la siguiente imagen.

De las identidades anteriores podemos derivar las identidades del ángulo doble, cuando x=y: sen(2x) = 2sen(x)cos(x) cos(2X) = cos2(x) - sen2(x)Finalmente, de ésta última y de la primera identidad que vimos podemos obtener que cos2(x) = 1/2 * [cos(2x) - 1]También podemos obtener que sen2(x) = -1/2* [cos(2x) + 1]Todas estas son identidades útiles para trabajar con funciones trigonométricas en el cálculo, ya que con ellas podemos cambiar la manera en la que expresamos una función a una forma más sencilla. Observa cómo en los últimos dos casos pasamos de una función trigonométrica elevada al cuadrado a una expresión sin ningún exponente.

Otras funciones trigonométricas

Existen más funciones trigonométricas, pero todas se obtienen a partir de seno y coseno. Se definen de la siguiente manera:

Las funciones seno y coseno representan el cambio en las coordenadas de un punto que se mueve alrededor de un círculo. De esta definición podemos intuir que estas funciones son continuas, ya que corresponden a un cambio continuo en la posición del punto en la circunferencia.El dominio de las funciones trigonométricas seno y coseno son todos los reales. Aunque hablamos de oscilaciones alrededor de un círculo, pasando por ángulos desde 0 hasta 2π, podemos decir que trazar un ángulo negativo es viajar en la dirección opuesta a la que describíamos antes, además podemos decir que trazar un ángulo como, por ejemplo, 3π es simplemente dar una vuelta completa y después media vuelta más.Sin embargo, los valores que pueden tomar las funciones sí están restringidos. Las coordenadas de los puntos en el círculo unitario solo pueden estar entre -1 y 1: este intervalo es la imagen de dichas funciones.

Derivadas de funciones trigonométricas

coseno

seno

Las siguientes imágenes muestran las gráficas de la función seno y coseno.

Observa la gráfica de la función seno, y visualiza el movimiento de la recta tangente por cada uno de los puntos de la gráfica.¿Cómo cambia la pendiente? ¿Dónde vale cero?

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Puedes ver que el movimiento de la recta tangente en la animación es también periódico; comienza apuntando hacia arriba en cero, luego su inclinación baja hasta que la recta es horizontal en el primer pico, después apunta hacia abajo y la pendiente disminuye, luego la pendiente aumenta aumenta, llega a cero en el primer valle, luego sigue aumentando y disminuyendo periódicamente. Se puede suponer de aquí que los valores de la derivada de la función seno también están descritos por una función trigonométrica.Podemos confirmar que la idea es cierta usando la definición de la derivada para encontrar la derivada de sen(x).

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Para calcular las derivadas de algunas funciones trigonométricas, consulta el siguiente PDF:

También te recomendamos la siguiente applet:

Con esta nueva información podemos regresar al modelo del péndulo. Si consideramos que al oscilar el desplazamiento horizontal del péndulo es sen(t), su velocidad, la derivada del desplazamiento, es cos(t). Luego, la aceleración, la derivada de la velocidad, es -sen(t). ¿Qué quiere decir esto? Tanto el desplazamiento, como la velocidad y la aceleración están descritos por funciones trigonométricas, oscilando continuamente. La aceleración siempre apunta hacia el centro (el punto neutro del péndulo) en sentido opuesto al desplazamiento del objeto, porque hay una fuerza continua para regresar al péndulo a su punto original, pero el péndulo nunca se detiene, siempre se pasa del centro y sigue su movimiento periódicamente.

El pensamiento matemático a través de la historia

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