L'évaluation orthopédagogique en mathématique

L'évaluation orthopédagogique

En mathématique

Contexte de réalisation

Cibles d'observation

Analyse des erreurs

Outils d'interprétation

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Évaluation orthopédagogique se doit d'être dynamique et prendre appuis sur les deux fondements du Référentiel d'intervention en mathématique : Donner du sens au mathématique en s'appuyant sur la compréhension conceptuelle Recourir à la résolution de problème

Réf. RIM, 2019

Portrait-classePrimaire

Contexte de réalisation

Susciter la réflexion de l’élève, RIM, p.32

Redéfinir les attentes à l'égard des mathématiques avec les élèves, RIM, p. 45

Recourir à la résolution de problème

Favoriser l'entretien mathématique

4 mises au points afin de permettre aux élèves de démontrer leur plein potentiel en mathématique

1. Les mathématiques ne sont pas associées à l’idée de certitude et à la possibilité de donner une réponse correcte rapidement;
2. Faire des mathématiques ne correspond pas à l’application de règles enseignées par l’enseignant;
3. Faire des mathématiques ne signifie pas être capable de rappeler et d’utiliser les règles correctes quand l’enseignant le demande;
4. La réponse à une question mathématique ou à un problème n'est pas vraie uniquement quand elle a été approuvée par l’enseignant.

Susciter la réflexion des élèves Les tâches proposées lors de l'évaluation orthopédagogique doivent susciter la réflexion chez l’élève par des problèmes qui, dans la mesure du possible, présentent un contexte signifiant pour lui. L'évaluation doit être dynamique et susciter la réflexion de l’élève par l'entremise d'un questionnement judicieux de la part de l'orthopédagogue. (MEO, 2011a ). Ces questions peuvent être de différentes natures et avoir diverses intentions, par exemple :

• des questions planifiées en fonction d’une anticipation des raisonnements possibles des élèves à l’égard d’une tâche ou d’un problème donnés;
• des questions ouvertes;
• des questions sollicitant les interactions entre pairs;
• des questions favorisant l’établissement de liens;
• des questions permettant aux élèves de présenter leur solution, leurs choix et leurs décisions;
• des questions permettant de faire des prédictions.

Source : L'art de questionner de façon efficace, éduSource, Ontario, 2011

Redéfinir les attentes à l'égard de l'apprentissage des mathématiques Dans le cadre d'une évaluation orthopédagogique, certaines conceptions erronées peuvent influencer le contrat didactique et doivent être discutées avec les élèves. Par exemple :

• que les mathématiques sont associées à l’idée de certitude et à la possibilité de donner une réponse correcte rapidement;
• que faire des mathématiques correspond à l’application de règles enseignées par l’enseignant;
• que faire des mathématiques signifie être capable de rappeler et d’utiliser les règles correctes quand l’enseignant le demande;
• que la réponse à une question mathématique ou à un problème est vraie quand elle a été approuvée par l’enseignant

Quelques pistes de comportements attendus à expliciter aux élèves

• « J’accorderai beaucoup d’importance non seulement à l’application de «trucs» ou de procédures, mais également à la compréhension des concepts. »
• « Le fait de commettre des erreurs est tout à fait normal lorsqu’on fait l’apprentissage de la mathématique; on peut apprendre de ses erreurs. Je vous encouragerai toujours à prendre des risques et à partager votre raisonnement avec le groupe sans craindre de commettre une erreur. »
• « Je vous demanderai fréquemment d’exprimer à haute voix votre raisonnement pour que chacun puisse apprendre de l’autre. »
• « Lorsque vous ne comprendrez pas une tâche, je ne vous donnerai pas la solution. Je vous poserai des questions pour tenter de vous faire cheminer. »
• « Les problèmes que je vous propose ne sont pas toujours en lien avec les concepts que nous venons d’apprendre. »

RIM, p. 46 Outil pour analyser les représentations des élèves à l'égard des mathématique (Valeur, Compétence, Contrôlabilité, engagement, Anxiété) Source : L'enfant en difficulté d'apprentissage en mathématique, Pistes de diagnostic et supports d'intervention, Van Nieuwenhoven, De Vriendit et Hanin, 2019, p. 20-25

Recourir à la résolution de problème Les tâches proposées à l’élève doivent lui permettre de s'engager cognitivement dans une réelle démarche de résolution de problème. Bien qu'il ne soit pas nécessaire que tous les concepts et les processus mathématiques nécessaires à sa résolution soient connus de l'élève, le problème doit se situer dans sa zone proximale. À savoir que l'élève doit posséder minimalement certains outils lui permettant de le résoudre. Source : Groupe de partage sur la résolution de problème, 2022 Pour vous guider dans le choix du problème Un bon problème devrait posséder les caractéristiques suivantes :

• il est formulé clairement, sous forme d’un énoncé écrit, oral ou même illustré, de façon à être compris par tous les élèves;
• il est énoncé de façon à ne pas induire une stratégie de résolution ou l’emploi d’un algorithme en particulier;
• il éveille la curiosité et maintient l’intérêt des élèves;
• il incite à la réflexion et aux échanges mathématiques;
• il est à la portée de tous les élèves tout en leur offrant un défi;
• il se prête à l’utilisation d’une variété de stratégies de résolution;
• il fait appel au vécu des élèves;
• il donne lieu à une ou à plusieurs réponses correctes.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, élaboré par le ministère de l’Éducation de l’Ontario (MEO, 2006, p. 28),

Favoriser l'entretien mathématique Sous-groupe/ dyade/ individuel L’entretien didactique est le moyen d’investigation des connaissances à privilégier dans le cadre d'une évaluation orthopédagogique en mathématique. Il faciliter les échanges avec et entre les élèves et laisse place à l'explicitation de leur raisonnement et de leurs procédures à l'aide d'une diversité de modes de représentation. Dans un tel contexte, l'orthopédagogue...

• Peut interpréter les conduites mathématiques de l’élève; Peut créer un ordonnancement de tâches permettant de dégager les forces et les limites des connaissances de l'élève et ainsi favoriser l’adaptation de ses connaissances en cours d’entretien;
• Peut relancer ou déstabiliser l’élève, soit par une modification de la tâche, soit en proposant une autre tâche ou en le questionnant.

Il est à noter que : La dynamique des entretiens réduit la distance entre l’évaluation et l’intervention. Il est donc possible d'observer, en cours d'évaluation, une progression des connaissances mathématiques des élèves. Source : Évaluation orthopédagogique en mathématique selon une approche didactique : une recherche action, J. Giroux, 2020

Comment mener un entretien?

Choisir une modalité

• Lors de la réalisation d'une activité vécue avec le groupe-classe
• Lors d'une intervention avec un sous-groupe
• Lors d'une intervention en dyade
• Lors d'une intervention individuelle avec un élève

Rétroaction instructive

Rétroaction de base et d'accompagnement

Changer les variables didactiques

Ordre de grandeur des nombres Nature des nombres Champ mathématique Nature de la tâche ... C'est l'analyse à priori de la tâche qui vous permettra de connaitre les variables didactiques en jeu

Déterminer mon intention

Créer l'engament chez l'élève

Choisir une tâche

Présentation la situation, du contexte, ...

"neutre"

posant certaines actions cognitives pour l'élève

Objectivation

Synthétiser l'apprentissage et articuler les généralisations

Lors de la réalisation d'une activité vécue avec le groupe-classe Lors d'une intervention avec un sous-groupe Lors d'une intervention en dyade Lors d'une intervention individuelle avec un élève

Ordre de grandeur des nombres Nature des nombres Champ mathématique Nature de la tâche ... C'est l'analyse à priori de la tâche qui vous permettra de connaitre les variables didactiques en jeu

Il n'y a pas de méthode magique... la souplesse demeure l'ingrédient clé! Van de Walle et H. Lovin, 2007

Pour élaborer un portrait d'élève plus complet Par manque de traces Pour en savoir plus sur le connaissances antérieures des élèves Complément à une traces papier peu explicite Valider la compréhension d'un concept ou processus Valider une hypothèse explicatives de difficultés persistantes ...

Le choix de la tâche dépend de l'intention de l'entretien mathématique. L'analyse à priori des tâches permettra de dégager les concepts et processus susceptibles d'être mobilisés et de valider si elle permettra d'observer la cible choisie. Ressources pour trouver des tâches

• La mathématique au primaire
• Mathématique au secondaire
• Défi mathématique, orthopédagogue
• Les ouvrages de John A. Van de Walle, LouAnn H. Lovin

Lors de la planification, anticiper :

1. les démarches, les stratégies et les procédures que les élèves utiliseront;
2. les obstacles qu’ils rencontreront et les erreurs que ceux-ci engendreront;
3. l’organisation pédagogique qui favorisera l’apprentissage dans la classe (travail seul ou en équipe, matériel à fournir aux élèves, etc.);
4. des interventions à mettre en place qui favoriseront l’apprentissage.

RIM, p.20

Synthétiser

• Questionner l'élève pour rendre explicite les concepts et processus mobilisés pendant la tâche
• Rendre explicite les liens entre la solution, les concepts et les stratégies utilisées

Articuler les généralisations

• Questionner l'élève pour amener l'élève à rapporter son expérience mathématique (ce qui a été plus facile? plus ardu?)
• Lui faire nommer pourquoi (ou lui nommer)
• Le questionner sur les pistes qu'il entrevoit pour un autre problème du même type (faire ressortir les caractéristiques)

Cibles d'observation

L'évaluation orthopédagogique permettra d'observer les manifestations et les conduites de l'élève en lien avec le premier fondement, soit si l'élève développe le sens des concepts et processus mathématiques par l'entremise d'une véritable compréhension conceptuelle. La compréhension conceptuelle, la flexibilité et la fluidité doivent être évaluées simultanément et une attention particulière doit être accordée aux manifestations de la compréhension. L'évaluation permettra alors d'observer la capacité de l'élève à interrelier ces trois aspects afin de générer le sens des concepts et processus mathématiques. Elle permettra également de poser un regard sur les processus de résolution de problèmes de l'élève ainsi qu’aux stratégies cognitives et métacognitives qu'il est en mesure de déployer.

L'analyse à priori des tâches proposées

Stratégies de résolution de problème

Cadres de référence pour cibler les difficultés

L'évaluation orthopédagogique permettra d'observer les manifestations et les conduites de l'élève en lien avec le premier fondement, soit si l'élève développe le sens des concepts et processus mathématique par l'entremise d'une véritable compréhension conceptuelle. La compréhension conceptuelle, la flexibilité et la fluidité doivent être évaluées simultanément et une attention particulière doit être accordée aux manifestations de la compréhension. L'évaluation permettra alors d'observer la capacité de l'élève a interrelier ces trois aspects afin de générer le sens des concepts et processus mathématiques. L'évaluation orthopédagogique permettra de poser un regard sur les processus de résolution de problèmes de l'élève ainsi qu’aux stratégies cognitives et métacognitives qu'il est en mesure de déployer.

L'analyse à priori À quoi ça sert? Selon Charnay (2003, p. 19), « l’analyse à priori constitue un des outils professionnels d’aide à la décision, en permettant d’anticiper certaines réactions d’élèves et donc d’orienter certains choix de l’enseignant ». Toujours selon Charnay (2003), cette analyse à priori permet à l’enseignant d’émettre des hypothèses sur :

• des démarches, des stratégies et des procédures que les élèves utiliseront;
• des obstacles qu’ils rencontreront et des erreurs que ceux-ci engendreront;
• de l’organisation pédagogique qui favorisera l’apprentissage dans la classe (travail seul ou en équipe, matériel à fournir aux élèves, etc.);
• des interventions à mettre en place qui favoriseront l’apprentissage.

Source : RIM, page 20

Observer la compréhension conceptuelle Note il est important d'observer dans les 5 champs de la mathématique (Arithmétique, géométrie, mesure, statistique et probabilité). 1. L'élève est-il en mesure d'identifier le « quoi » et le « pourquoi » d’un concept (NCTM, 2014; Van de Walle et autres, 2013.)3. Par exemple : La compréhension conceptuelle de la fraction pourrait se traduire par des réponses à différentes questions. Qu’est-ce qu’une fraction? Quel rôle jouent le numérateur et le dénominateur dans une fraction qui représente une partie d’un tout ou d’une collection? Qu’est-ce qu’une fraction équivalente? 2. L'élève est-il en mesure d'établir des liens entre les différents éléments d’un même concept ? L'élève est-il me mesure d'établir des liens entres différents concepts? (Carpenter et Lehrer, 1999; Dionne, 1995; Hiebert et Carpenter, 1992; NCTM, 2014; Schneider, Rittle-Johnson) Par exemple : 3. Quel type de compréhension correspond aux manifestations et aux conduites mathématiques de l'élève en fonction d'un concept donné? L'utilisation du modèle d'analyse conceptuelle de la compréhension d' Herscovics et de Bergeron (1982) permet de situer le niveau de compréhension des élèves selon quatre profils de compréhension conceptuelle : intuitive, procédurale, abstraite et formelle. Par exemple :

Observer la flexibilité La proposition de tâches ouvertes offre un contexte dans lequel il sera possible d'inciter l'élève à trouver plusieurs réponses possibles pour démontrer sa compréhension d'un concept ou pour résoudre une même situation problème. L'évaluation permettra d'observer dans quelle mesure l'élève arrive à s'appuyer sur sa compréhension des concepts et sa capacité à établir des liens entre ceux-ci pour effectuer la tâche.

• Est-ce que l'élève connaît plusieurs façons d’effectuer une tâche?
• Est-il capable d'inventer une nouvelle procédure dans une tâche non familière ou non routinière ?
• Est-il en mesure d'utiliser la façon la plus optimale ou efficiente possible d’effectuer une tâche familière?

Observer la fluidité La fluidité se rapporte à l'efficience de l'élève à appliquer certains concepts ou processus. Au regard de cet aspect, il est important d'évaluer l'automatisation de certains concepts ou processus, mais aussi de vérifier si elle découle d'une véritable compréhension conceptuelle.

• Est-ce que l'élève connaît, a retenu et a automatisé des faits ou des processus ?

Par exemple : - La mémorisation des faits numériques de l'addition et de la multiplication - La mémorisation des algorithmes conventionnels de calcul - La mémorisation des formules d'aire en géométrie

• Est-ce que l'élève est en mesure de reconnaître les concepts et les processus automatisés dans une situation problème?

L'évaluation orthopédagogique permettra de poser un regard sur les processus de résolution de problèmes de l'élève ainsi qu’aux stratégies cognitives et métacognitives qu'il est en mesure de déployer. Comment observer les manifestations et les conduites de l'élève

Cadre de référence pour orienter les observations en lien avec les difficultés spécifiques en mathématique Cadres proposés par Kim, Provost-Laroque, formation Fino éducation, janv. 2023 Cadre proposé par Lyons, défi mathématique, 2011 Cadre proposé par Giroux, projet ÉOMAD,

Analyse des erreurs

À quoi sert-elle ? Elle permet de déterminer si elle est liée à un obstacle :

• ontogénique (stade de développement de l’élève),
• didactique (enseignement donné),
• épistémologique (spécificité du savoir mathématique en jeu),

afin de choisir les interventions appropriées pour aider à surmonter l’obstacle en question.

L'analyse d'erreurs doit prendre une place prépondérante dans l'évaluation orthopédagogique en mathématique.Il est important de la considérer comme étant nécessaire à l'apprentissage. Elle témoigne du niveau de compréhension actuel de l'élève et des obstacles qu'il rencontre dans son apprentissage. Son analyse permet de déterminer les obstacles qu'il faut contourner pour faire progresser l'élève.

Comment ? En repérant les erreurs récurrentes. L'erreur récurrente est la manifestation d'une incompréhension, d'une mauvaise conception ou d'une mauvaise appropriation d'un concept ou d'un réseau de concepts et processus mathématiques. Elle se manifeste en fonction des caractéristiques suivantes :

• elle est "reproductible" chez l'élève;
• elle a une certaine récurrence;
• elle ne s'explique pas par l'inattention;
• elle n'est pas isolée;
• elle peut être mise en relation avec d'autres erreurs et former un système ou un réseau d'erreurs.

Typologie pour soutenir l'analyse des erreurs, Astolfi (1997)

Typologie des erreurs selon Astolfi (1997)

• Les erreurs qui relèvent de la rédaction et de la compréhension des consignes.
• Les erreurs qui résultent d'habitudes scolaires ou d'un mauvais décodage des attentes.
• Les erreurs qui témoignent des conceptions alternatives des élèves.
• Les erreurs qui sont reliées aux opérations intellectuelles impliquées.
• Les erreurs qui portent sur les démarches adoptées.
• Les erreurs qui sont dues à une surcharge cognitive au cours de l'activité.
• Les erreurs dont l'origine est liée à une autre discipline ou aux compétences transversales.
• Les erreurs dont la cause est la complexité propre du contenu, "l'erreur comme obstacle".

La connaissance et la compréhension des manifestations des concepts (spécificité des savoirs mathématiques) par l’enseignant représentent un préalable nécessaire à l’enseignement. (Morin, 2003; NMAP, 2008)

Tableaux synoptiques, projet ÉOMAD (Évaluation orthopédagogique en mathématiques selon une approche didactique) Jacinthe Giroux, UQAM, 2020

Encadrements légaux

Programme de formation Progression des apprentissages Cadre d'évaluation des apprentissage

Document explicitant les liens entre les différents champs mathématiques au primaire

Les incontournable du nombre, Bisaillon et Lyons, 2011

Outils d'interprétation

source : RIM, p. 7

Quoi prioriser pour donner du sens en 1re secondaire?

Quoi prioriser pour donner du sens en 2e secondaire?

4 fondements structurés en une chronologie d'enjeux permettant d'interpréter les conduites mathématiques Enjeux sur le nombre et les structures additives Enjeux sur les structures multiplicatives Enjeux sur la numération de position décimale et positionnelle Enjeux relationnels/ notion de fraction

Exemple de grille de compilation (TEDI-MATH, J.Grégoire C. Van Nieuwenhoven M-P.Noël, (2001) Source : Compléments numériques, L'enfant en difficulté d'apprentissage en mathématiques, Pistes de diagnostic et supports d'intervention, (outils à imprimer) C. Van Nieuwenhoven, S. De Vriendt et V. Hanin, 2019 T

Aide mémoire du programme d'étude en mathématique, PRIMAIRE Aide mémoire du programme d'étude en mathématique, 1er cycle -3e cycle SECONDAIRE

Programmes de formation Progressions des apprentissages Cadres d'évaluation des apprentissages PRIMAIRE SECONDAIRE