BASIC GUIDE

Exponentialverteilung

" Verteilung ohne Gedächtnis"

" Die Exponentialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zur Bestimmung zufälliger Zeitintervalle. "

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Hinführung zur Exponentialverteilung

nicht normalverteilt

Exponentialfunktion erhält die Bedeutung einer Dichtefunktion

relative Häufigkeiten können gut durch Flächen unter dem Graphen

-λx

f(x) = c ·e

Anwendung der Exponentialverteilung

Anzahl Gespräche ( in % )

Gesprächsdauer ( in Minuten )

Länge eines Telefongesprächs

Lebensdauer von Bauteilen oder Maschinen

Zerfall von Atomen

Höhe der Säulen = Wie viel Prozent der Telefongespräche eine bestimmte

Zeit (-spanne) gebraucht haben.

Berechnung der Dauer zufälliger Zeitintervalle

Was waren die Bedingungen für eine Dichtefunktion ?

Bedingungen

01

Bedingung

02

Bedingung

• Funktion f ist reellwertig
• zwei Bedingungen für eine Dichtefunktion (über nichtnegativen reellen Zahlen)

wenn c > 0 ist,

da die Funktionswerte der Exponentialfunktion nie negativ werden.

ist nur erfüllt, wenn c = λ ist

Step.1

Step. 2

Step. 3

Step. 4

Rechnung zur Bedingung.2

Step. 5

Step. 6

Step. 7

Defintion

Mann kann zeigen, dass für den Erwartungswert und die Standartabweichung gilt:

Dann gilt für relle Zahlen a, b ( mit a, b ≥ 0 ):

Eine Zufallsgröße X heißt exponentialverteilt mit dem Parameter λ > 0, wenn sie die Dichtefunktion f mit besitzt.

Speziell gilt :

Step.1

Step. 2

Step. 3.1

Step. 3.2

Beweis ( Erwartungswert )

Step. 4

Step. 5

- da es eine stetige Verteilung ist -> Integral

- im Fall der Exponentialverteilung ausschließlich positive Werte

- einsetzen von f (x) in die Formel

- mit partieller Integration :

Beispiel Berechnung

Von einem Maschinentyp ist bekannt, dass seine Lebensdauer exponentialverteilt ist. Der Erwartungswert für die Lebensdauerbeträgt fünf Jahre.

a) Bestimmen Sie den Parameter λ der Exponentialverteilung.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Maschine des Typs höchstens 7,5 Jahre funktioniert.

c) Bestimmen Sie die Halbwertszeit T bis zu der eine Maschine mit 50 % Wahrscheinlichkeit ausfällt.

Gedächtnislosigkeit

Exponentialverteilung ≙ "Verteilung ohne Gedächtnis"

"Ich habe alle 40 Stunden ein Tinder-Match."

Die Wartezeit bis zu seinem nächsten Match modelliert.

X = Wartezeit bis zum nächsten Match und ist exponentialverteilt mit λ = 1/40

" UH, ich hab ein Match. ", die Wahrscheinlichkeit mehr als t Stunden auf ein neues Match zu warten ist. P ( X ≥ t )

"Vor 10 Stunden hatte ich ein Match und habe es nicht gesehen." Die Verteilung der Wartezeit auf ein neues Match ist folglich :

P (X ≥ t ) = P ( X ≥ 10 + t | X ≥ 10 )

Step.1

Step. 2

Step. 3

Step. 4

Beweis ( Gedächtnislosigkeit )

Step. 5

Definieren und Zusammenfassen :

- Umformen mit der Gegenwahrscheinlichkeit (

Formel einsetzen :

Potenzgesetzt anwenden :