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Transcript

Morgane RENARD, Ladina SCHMIDT, Anne VILLEDIEU

Le probème des lapins

Enoncé du problème

" On place dans un enclos un couple de lapereaux. Chaque couple âgé de 2 mois donne naissance chaque mois à un nouveau couple. "

Extrait du livre Liber Abaci publié en 1228 par Léonard de Pise

Questions

1. Au bout de combien de mois le nombre de couples de lapins sera-t-il supérieur à 1000 ?

2. Si aucun lapin ne meurt, combien y aura-t-il de couples au bout de 2 ans ?

Définir la suite qui donne le nombre de couples en fonction du mois

1

ETAPE

un = nombre de couples
n = mois
terme initial : u1 = 1

Les couples aptes à procréer sont ceux qui exisateint 2 mois auparavant : il y en a donc un-2. Pour obtenir ceux du mois n, il faut donc ajouter ces un-2 à ceux qui existaient 1 mois auparavant, soit un-1. On obtient donc :




un = un-1 + un-2

un+2 = un+1 + un

ou

Au bout de combien de mois le nombre de couples de lapins sera-t-il supérieur à 1000 ?

1

QUESTION

On utilise une boucle while pour définir un seuil (un>1000). On définit 3 variables : u1 le nombre de couples au mois n-2, u2 le nombre de couples au mois n-1 et n le mois. Ainsi chaque fois que la boucle se fait, le mois augmente de 1 tandis que un-2 devient un-1 et un-1 devient un. un est donné par la relation u1 + u2, soit un-2 + un-1

On obtient n=16

Si aucun lapin ne meurt, combien y aura-t-il de couples au bout de 2 ans ?

2

QUESTION

On commence par définir une fonction u(n). Comme le 1er couple de lapereaux ne donne naissance à un autre couple qu'au bout du 3e mois, u1=1 et u2=1, c'est ce qu'on définit grâce à la boucle if. A partir de u3, on applique la formule de récurrence : un = un-1 + un-2. On cherche le nombre de couples au bout de 2 ans soit 24 mois, d'où l'affectation n=24.

On obtient u24 = 46 368

Merci !

Le problème est résolu.