les nombres de Carmichael

Les nombres de Carmichael

Julie Agin, Julie Zhao, Honorine Princet et Pierre-Alexey Izard

Plan

Biographie de Robert Daniel Carmichael

Résolution des exercices : n° 81 et 82 page 211 et n°126 page 221

Définition des nombres de Carmichael

1 mars 1879

1900

1906

1911

Naît en Alabama

Devient professeur de mathématiques à l’université presbytérienne pour hommes

The theory of relativity

Publie des problèmes et leurs solutions dans American Mathematical Monthly

Obtient son doctorat pour sa thèse sur Linear Difference Equations and their Analytic Solutions

Robert Daniel Carmichael

1914

1915

The Theory of Numbers

Meurt au Kansas

2 mai 1967

1913

Diophantine analysis

a) 561 3

187 11

17 17

561 = 3 x 11 x 17 : décomposition en facteurs premiers de 561

b) Si a est un nombre entier naturel premier avec 561, alors a est premier avec tous les facteurs premiers figurant dans la décomposition de 561 :

Petit théorème de Fermat

a² ≡ 1[3] ; a¹⁰ ≡ 1[11] ; et a¹⁶ ≡ 1[17]

Or, 560 = 2 × 280 = 56 × 10 = 16 × 35 Compatibilité de la congruence avec l'élévation à la puissance

(a²)²⁸⁰ ≡ 1²⁸⁰[3] ; (a¹⁰)⁵⁶ ≡ 1⁵⁶[11] ; et (a¹⁶)³⁵ ≡ 1³⁵[17]

a⁵⁶⁰ ≡ 1[3] ; a⁵⁶⁰ ≡ 1[11] ; et a⁵⁶⁰ ≡ 1[17]

c) a⁵⁶⁰ – 1 est divisible par 3 ; 11 ; et 17 qui sont chacun premier.

Conséquence du théorème de Gauss

a⁵⁶⁰ ≡ 1[561] pour tout entier naturel a premier avec 561

On importe le module "sympy" (qui contient la fonction "gcd" correspondant au PGCD).

Les valeurs prises par a sont {1, 2, ... , n-1}

c est le nombre d'entiers a premiers avec n.

p est le reste de la division de aⁿ^-1 par n.

d est le nombre d'entiers p ≡ 1 [n].

n est un nombre de Carmichael si c = d,

c'est-à-dire si tout entier a avec 0 < a < n :

On étend ce résulat à tous les entiers premiers avec n.

3.a) 2465 terminé par 5, donc 2465 est divisible par 5, 2465 n’est pas premier et est strictement supérieur à 1 (vérifié).

2465 = 5 × 17 × 29 : aucun carré de nombre premier ne divise 2465 (vérifié).

5 – 1 = 4 = 2²

17 – 1 = 16 = 2⁴

29 – 1 = 28 = 2² × 7

2465 – 1 = 2464 ; 2464 = 2⁵ x 7 x 11, ainsi 5 – 1 ; 17 – 1 ; et 29 – 1 divisent 2465 – 1 (vérifié)

Théorème d’Alwin Korselt

2 465 est un nombre de Carmichael.

Premiers nombres de Carmichael :

561

1105

1729

2465

2821

6601,

8911

Les nombres de Carmichael

Carmichael est le premier à avoir découvert un nombre de Carmichael en 1910 : 561.

Un nombre de Carmichael, ou "menteur de Fermat" est un nombre p non premier tel que pour tout nombre a premier avec p,

Petit théorème de Fermat :

Caractérisation de ces nombres : Critère d’Alwin Korselt établi en 1899
L'entier n, non premier, divise aⁿ - a pour tout a si et seulement si la décomposition primaire de n ne contient aucun facteur carré et, pour tout entier premier p divisant n, p - 1 divise n - 1.

561 correspond au critère d’Alwin Korselt car 561 = 3 × 11 × 17, confirmant ainsi au passage la fausseté de la réciproque du "petit" théorème de Fermat.

Les nombres de Carmichael

Carmichael s'intéresse ensuite aux entiers non premiers n vérifiant pour tout entier a. Si l'ensemble de tels nombres est vide, alors la réciproque du petit théorème serait vraie.

Corollaire :
Tout nombre de Carmichael est impair et produit d'au moins trois nombres premiers.

En 1944, Alford, Granville et Pomerance prouvent que pour x suffisement grand, il existe plus de x^2/7 nombres de Carmichael.

Ces nombres sont rares, mais il en existe une infinité.

Merci !

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