Formation proportionnalité cycle 3 (séance 2)
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Created on April 26, 2022
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Transcript
Repères de progression cycle 3
Résoudre avec la proportionnalité
Programme du cycle 4 (p 134)
Définition
Linéarité
Passage à l'unité
Produits en croix
Et les programmes ?
Des promos en cascade
Téléchargement en ods (v1)
Compétences par domaine
Compétences disciplinaires
Analyse et discussion
TRAVAIL DE CONSTELLATION - Proportionnalite au cycle 3
Rappels généraux
RESSOURCES
situation 1
SITUATION 2
énoncé
Compétences
Prolongements
énoncé
compétences
Prolongements
Cours papier + vidéo Y. Monka
Exemples sur les évolutions
RESSOURCES
Document ressource (pp. 5 à 7)
Cours de Ph. Garulo (Nantes)
Vidéo de M. Launay (frises, pavages)
RESSOURCES
Ca (dé)frise le pavage
Téléchargement en ods
Compétences par domaine
Compétences disciplinaires
Analyse et discussion
Vidéo sur les frises (M. Launay)
Téléchargement en ods (v2)
Définition Deux grandeurs sont proportionnelles quand on peut multiplier les mesures d'une grandeur par un même nombre pour obtenir les mesures correspondantes pour l'autre grandeur. Un coefficient de proportionnalité est obtenu par le quotient de deux mesures correspondantes. Exemple : Masse des pommes (kg)237Prix des pommes (€)6921 Les grandeurs sont proportionnelles car un coefficient de proportionnalité est : 6 : 2 = 9 : 3 = 21 : 7 = 3 L'autre coefficient de proportionnalité est : 2 : 6 = 1/3.
Les propriétés de linéarité sont la linéarité additive et la linéarité multiplicative. On parle de linéarité car on agit sur les mesures "en parallèle". Exemple de linéarité additive : Masse des pommes (kg)235Prix des pommes (€)5,988,975,98 + 8,97 = 14,95 En 3ème, on peut écrire pour une fonction linéaire (de la forme f(x) = ax) : P(m + m') = P(m) + P(m') P(2 + 3) = P(2) + P(3) Exemple de linéarité multiplicative : Masse des pommes (kg)315Prix des pommes (€)8.978,97 x 5 = 44,85 En 3ème, on peut écrire pour une fonction linéaire (de la forme f(x) = ax) : P(km) = k.P(m) P(5 x 3) = 5 x P(3)
Le passage à l'unité est un procédé qui consiste à déterminer la valeur de la mesure correspondante à une unité de l'une des deux grandeurs. On utilise pour cela les propriétés de linéarité. Exemple : Masse des pommes (kg)317Prix des pommes (€)8,978,97 : 3 = 2,992,99 x 7 = 20,93 Cette technique n'est plus utilisée une fois la propriété "des produits en croix" connue mais elle permet de démontrer cette dernière.
Soient a, b, c et d quatre nombres, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité si et seulement si : ad = bc. abcdDémonstration : si l'un des quatre nombres vaut 0 (admettons a, sans perte de généralité), il en vient que bc = 0 d'où b = 0 ou c = 0. Dès lors, il n'y a plus qu'un seul couple de nombres possiblement non nul : la proportionnalité est prouvée et l'égalité est vraie (0 = 0). Si on considère tous les nombres non nuls, on peut appliquer le passage à l'unité. a1bcc : ad = c : a x bDe l'égalité d = c : a x b, en multipliant chaque membre par a, on a : ad = bc. Exemple : Masse des pommes (kg)711Prix des pommes (€)20,93? Par l'égalité des "produits en croix", on a : 7 x ? = 20,93 x 11 7 x ? = 230,23 ? = 230,23 : 7 [Opération réciproque !] ? = 32,89 € Privilégier cette méthode permet de réviser les opérations réciproque, donnant ainsi du sens aux opérations. De plus, cela montre que les mathématiques ne sont pas une accumulation foutraque de recettes magiques !
Voici quelques notes schématiques de ce qui est prévu dans les programmes des cycles 3 et 4 :
- CM1 : propriétés de linéarité qui commencent à être institutionnalisées en période 2
- CM2 : étude du passage à l'unité dès la période 1 "lorsque cela s'avère pertinent" + introduction du pourcentage (proportion)
- 6è : coefficient de proportionnalité + généralisation du calcul de proportion à l'aide pourcentage.
- 5è : justification de la proportionnalité ou de la non-proportionnalité + révision des années antérieures
- 4è : introduction de l'égalité "des produits en croix" + représentation graphique de la proportionnalité dans un repère orthogonal.
- 3è : études des fonctions linéaires + pourcentage d'évolution via le coefficient multiplicateur + lien avec le théorème de Thalès et les agrandissements/réductions.
Domaine 1.1 Langue française
- S'exprimer à l'oral - Participer à un débat en prenant en compte la parole d'autrui
- Ecrire - Utiliser le lexique appris dans les différentes disciplines à bon escient
- Utiliser les nombres décimaux - Calculer avec des nombres entiers ou décimaux
- Coopérer et réaliser des projets
- Maîtriser l'expression de ses opinions - Formuler une opinion, prendre de la distance avec celle-ci, la confronter à celle d'autrui
- Exercer son esprit critique, faire preuve de réflexion et de discernement - Dépasser des clichés et de stéréotypes
- Mener une démarche scientifique - Extraire et organiser les informations utiles
- Mener une démarche scientifique - Résoudre un problème impliquant des nombres rapportés (ou non) à une grandeur
- Mener une démarche scientifique - Communiquer sa démarche, ses résultats
Chercher
- Prélever et organiser les informations nécessaires
- S'engager dans une démarche, questionner, émettre des hypothèses
- Reconnaître et distinguer des problèmes relevant de la proportionnalité
- Utiliser des outils (tableau, schéma sagittal) pour résoudre un problème
- Produire différentes représentations des nombres (écriture décimale, pourcentage)
- Résoudre des problèmes nécessitant la construction d'une démarche qui combine des étapes de raisonnement
- Progresser collectivement dans une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d'autrui
- Justifier ses affirmations et recherche la validité des informations dont on dispose
- Calculer avec des nombres décimaux
- Utiliser une calculatrice
- Utiliser progressivement un vocabulaire adéquat
- Expliquer sa démarche ou son raisonnement, comprendre les explications d'un autre et argumenter dans l'échange
On peut moduler le travail :
- en guidant la démarche (voir la version 2) ;
- en modifiant les pourcentages, tout en s'arrangeant d'avoir une somme des taux de pourcentages égale à un nombre simple (25 ; 50 ; 75 ; etc.) ;
- en modifiant les prix pour ne garder que la linéarité a minima (ex. : 10 ; 40 ; 50) ;
- etc.
- en essayant de trouver le pourcentage de baisse avec un prix initial de 100 € (pour les élèves les plus avancés car hors programme au cycle 3)
- en changeant le problème avec une hausse et une baisse identique (+ 25 % à cause d'une crise puis - 25 % grâce aux soldes, e.g.)
- en étudiant d'autres problèmes-types (ex. : évolution démographique de la ville).
Source : Mission Indigo 6è - édition 2021, éd. Hachette Education
Domaine 1.3 Langages mathématiques et scientifiques
- Reconnaitre des figures géométriques - Construire des figures
- Reconnaitre des figures géométriques - Utiliser quelques relations géométriques (..., d'agrandissement et de réduction)
- Coopérer et réaliser des projets
- Exercer son esprit critique, faire preuve de réflexion et de discernement - Dépasser des clichés et de stéréotypes
- Mener une démarche scientifique - Extraire et organiser les informations utiles
- Mener une démarche scientifique - Résoudre un problème impliquant des nombres rapportés (ou non) à une grandeur
- Mener une démarche scientifique - Communiquer sa démarche, ses résultats
Chercher
- Prélever et organiser les informations nécessaires
- S'engager dans une démarche
- Analyser une figure plane (pour la reproduire ou l'agrandir)
- Résoudre des problèmes nécessitant la construction d'une démarche qui combine des étapes de raisonnement
- Justifier ses affirmations et recherche la validité des informations dont on dispose
- Calculer avec des nombres décimaux
- Utiliser une calculatrice
- Expliquer sa démarche ou son raisonnement
On peut moduler le travail :
- en donnant les quadrillages utiles ;
- en enlevant la question 5b (plus difficile) ;
- en cherchant à déterminer la longueur maximale du côté de la figure 1 pour atteindre une longueur donnée de la frise ;
- etc
- à l'aide des modulations ci-dessus ;
- en étudiant d'autres pavages donnés dans les ressources ;
- en étudiant les rosaces (symétrie, rotation sans dire le terme).