Reuse - 09 Pythagoras Einführung

Du willst also in den Kreis der edlen Pythagoräer - meiner Schüler - aufgenommen werden?

Dreiecke

Lass uns zuerst mit etwas einfachem beginnen:

genauer gesagt:

Klicke auf das Dreieck, dann erkläre ich dir ein paar wichtige Begriffe!

Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypotenuse

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten

Kathete

Kathete

Hypotenuse

Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, heißt Hypotenuse

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten

Kathete

Kathete

Hypotenuse

Ergänze Punkt 1 auf deinem Arbeitsblatt

Benenne die Seiten richtig, klicke auf mich, um deine Lösung zu überprüfen

Benenne die Seiten richtig, klicke auf mich, um deine Lösung zu überprüfen.

Jetzt zeige ich dir, was an diesen rechtwinkligen Dreiecken so besonders ist!

Ich habe hier mal ein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet.

Das ist übrigens mein Lieblings-Dreieck, weil es die Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm hat.

Und automatisch rechtwinklig ist!

Das ist ja schon mal ein cooler Trick - aber es wird noch besser!

OK, wir erweitern unsere Zeichnung:

Wir zeichnen über jede der drei Seiten ein Quadrat.

Bewege einfach die drei Schiebregler

Bestimmt kannst du die Flächeninhalte der drei Quadrate ausrechnen....

So, dann zeig mal was du kannst...

Gib nur die Zahlen ein, die Einheiten lassen wir noch weg.

Sicher kannst du einen Zusammenhang zwischen den Zahlen finden...!

also:

oder ganz kurz:

und den Seiten ...

und allgemein ...

Super, das war echt schon beeindruckend!

Bei diesem Dreieck kannst du alle Ecken bewegen, der Winkel bei C ist immer 90°.

Bewege den grünen Schiebregler, du kannst auch das Dreieck verändern, wenn du den Punkt C bewegst.

Quelle: https://mathe.aufgabenfuchs.de/flaeche/dreieck/pythagoras.shtml

Wir haben jetzt also herausgefunden, dass bei allen rechtwinkligen Dreiecken gilt:

Kathete 1 zum Quadrat

Kathete 2 zum Quadrat

Hypotenuse zum Quadrat

Diesen Zusammenhang nennt man den "Satz des Pythagoras"

Bevor du in den Bund der Pythagoräer aufgenommen wirst, erwartet dich die nächste Prüfung!

Meist wird der Satz des Pythagoras in der Form

a² + b² = c²

angegeben.

Das stimmt natürlich nur, wenn c die Hypotenuse ist.

Welcher Winkel hat dann 90° ?

Upsi, das war leider falsch!

Hier siehtst du ein beschriftetes Dreieck (kein rechtwinkliges, aber es geht ja nur um die Beschriftung):

² + ² = ²

² + ² = ²

Das war schon mal nicht schlecht.

Formuliere jetzt den Satz des Pythagoras für folgende Dreiecke:

Klicke wieder auf mich, um deine Lösung zu überprüfen.

Das war schon mal nicht schlecht.

Formuliere jetzt den Satz des Pythagoras für folgende Dreiecke:

Ergänze Punkt 2 auf deinem Arbeitsblatt

Wenn jetzt in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seiten bekannt sind, kann man die dritte Seite mit Hilfe des "Satzes von Pythagoras" berechen.

1. Fall: Die Hypotenuse ist gesucht:

Gegeben: Kathete 1 = 5 cm, Kathete 2 = 6 cm

Gesucht: Hypotenuse

(Kathete 1)² + (Kathete 2)² = (Hypotenuse)²

also:

² + ² = (Hypotenuse)²

Wir wissen ja:

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Setze die richtigen Zahlen ein, klicke dann wieder auf mich.

Genau, gut gemacht.

Um das "hoch 2" verschwinden zu lassen, müssen wir die Wurzel ziehen!

1. Fall: Die Hypotenuse ist gesucht:

Gegeben: Kathete 1 = 5 cm, Kathete 2 = 6 cm

Gesucht: Hypotenuse

(Kathete 1)² + (Kathete 2)² = (Hypotenuse)²

also:

Wir wissen ja:

Ganz, ganz, gaaaaaaaaanz wichtig ist hier, dass man über die komplette linke Seite die Wurzel schreibt und nicht aus beiden Zahlen einzeln die Wurzel zieht.

Das darf man ja nur bei "mal" und "geteilt".

(cm)

Tippe die komplette linke Seite in den Taschenrechner ein, runde auf zwei Nachkommastellen.

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Du hast es sicher schon vermutet -

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

² + ² = ²

Stelle erst die Gleichung auf:

Gut gemacht!

Klicke dann wieder auf mich, um deine Lösung zu überprüfen.

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Du hast es sicher schon vermutet -

4² + 8,5 ² = a ²

Stelle erst die Gleichung auf:

Ziehe jetzt die Wurzel, welche Gleichung entsteht?

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Du hast es sicher schon vermutet -

4² + 8,5 ² = a ²

Stelle erst die Gleichung auf:

Ziehe jetzt die Wurzel, welche Gleichung entsteht?

Das war leider falsch, du darfst nicht einzeln die Wurzel ziehen!

Das erste Dreieck machen wir noch gemeinsam:

Du hast es sicher schon vermutet -

4² + 8,5 ² = a ²

Stelle erst die Gleichung auf:

Ziehe jetzt die Wurzel, welche Gleichung entsteht?

Super, gib das Ergebnis (auf zwei Stellen gerundet) als Passwort ein.

Jetzt kannst du es sicher schon alleine:

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Gut gemacht!

Berechne jeweils die Hypotenuse, runde auf zwei Nachkommastellen.

2. Fall: Eine Kathete ist gesucht:

Gegeben: Kathete 1 = 5 cm, Hypotenuse = 7 cm

Gesucht: Kathete 2

(Kathete 1)² + (Kathete 2)² = (Hypotenuse)²

also:

² + (Kathete 2) ² = ²

Wieder gilt:

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Setze die richtigen Zahlen ein, klicke dann wieder auf mich.

Ist eine der beiden Katheten gesucht, muss man nur vor dem Wurzelziehen umformen.

Aber erst mal von Anfang an:

Ja, genau.

2. Fall: Eine Kathete ist gesucht:

Berechne die Länge der gesuchten Kathete (auf zwei Nachkommastellen gerundet) und klicke dann wieder auf mich.

Das stimmt leider noch nicht, achte auf das richtige Runden

Wir rechnen also erst mal auf beiden Seiten -5 ²

Und dann können wir die Wurzel ziehen.

-5 ²

(Kathete 2)² = 7 ² - 5 ²

(Kathete 2)² = 7 ² - 5 ²

Kathete 2 = (cm)

2. Fall: Eine Kathete ist gesucht:

Bist du jetzt bereit für deine letzte Prüfung?

Wenn eine Kathete gesucht ist, rechnen wir also immer:

(Hypotenuse) ² - (Kathete) ² und dann die Wurzel davon.

Viel Erfolg bei deiner letzten Prüfung:

Das stimmt leider noch nicht, versuche es nochmal

Gut gemacht!

Berechne jeweils die Kathete, runde auf zwei Nachkommastellen.

Herzlich Willkommmen

Im Kreis meiner Schüler

Ach ja, bevor ich es vergesse: