LZH SÜ10: Quadratische und andere Gleichungen

Vorbereitung SÜ10 LZH:

Quadratische Gleichungen

Aufgaben (MIT TR)

Lösungen:

Weiter geht's mit linearen Funktionen

Quadratische Gleichungen et al.

Wie bei linearen Gleichungen gilt im Grunde auch bei quadratischen Gleichungen das Prinzip des Rückwärtsrechnens, um sie zu Lösen. Da „hoch 2“ mit der Quadratwurzel rückgängig gemacht wird und hierbei drei Dinge passieren können, gibt es drei Varianten, was die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen betrifft:

• es existiert keine Lösung (Wurzel aus negativer Zahl)

• es existiert eine Lösung (Wurzel aus Null)

• es existieren zwei Lösungen (Wurzel aus positiver Zahl)

Da der Radikand der Wurzel so wichtig für die Anzahl der Lösungen ist, hat er

einen eigenen Namen: Diskriminante.

Je nach Typ unterscheidet man verschiedene Lösungsstrategien für quadratische Gleichungen:

Typ 1: Variable nur an einer Stelle:
Diese Gleichungen werden wie lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen gelöst.
Bsp.: 4x² - 12 = 0 oder 2(x + 1)² = 8
Typ 2: Ein Produkt ist Null...
... wenn einer der Faktoren Null ist. Es werden also die einzelnen Faktoren gleich Null gesetzt. Die Lösungen dieser Gleichungen ergeben zusammen die Lösungsmenge der Ausgangsgleicchung.
Bsp.: (x + 3)(x - 2) = 0 oder 5x(x + 8) = 0
Typ 3: Lösungsformeln:
In allen anderen Fällen kann die quadratiche Gleichung mit der pq-Formel oder der abc-Formel gelöst werden:

pq-Formel (Vor.: x² + px + q = 0):

abc-Formel (Vor.: ax² + bx + c = 0):

Bsp.: 2x² -8x = 10

Typ 3 BONUSWISSEN:
Falls in der Gleichung kein q bzw. c vorkommt, kann die Gleichung schnell mittels Ausklammern in Typ 2 umgewandelt werden.
Bsp.: 4x² - 2x = 0 oder -x² - 9x = 0

3. Gib eine Gleichung
mit der folgenden
Lösungsmenge an:

a) L = {3; -4}

b) L = {0; 8}

4. Löse die Gleicchungen.

a) (x + 4)² = 25

b) (x + 1)(x - 2) = 0

c) -7x² = 49

d) -2(x - 5)² = -30

Lösungen:

4x² - 12 = 0 | + 12

4x² = 12 | : 4

x² = 3 | √

x = ± √3

2(x + 1)² = 8 | : 2

(x + 1)² = 4 | √

x + 1 = ± 2 | - 1

x = -1 ± 2

3a) 73(x - 3)(x + 4) = 0

(statt des Faktors 73 geht auch jede andere Zahl vor den Klammern)

b) -5000x(x - 8) = 0

(statt des Faktors -5000 geht auch jede andere Zahl vor dem x)

a) x = -4 ± 5

b) x = -1, x = 2

c) keine Lösung

d) x = 5 ± √15

Lösungen:

(x + 3)(x - 2) = 0

1. Faktor: x + 3 = 0

→x = -3

2. Faktor: x - 2 = 0

→x = 2

5x(x + 8) = 0

1. Faktor: 5x = 0

→x = 0

2. Faktor: x + 8 = 0

→ x = -8

Lösung mit pq-Formel:

1. Schritt: Gleichung in die richtige Form bringen.

2x² -8x = 10 | - 10

2x² - 8x - 10 = 0 | : 2

x² - 4x - 5 = 0

2. Schritt: Formel anwenden.

→ x = -1 oder x = 5

Lösung mit abc-Formel:

1. Schritt: Gleichung in die richtige Form bringen.

2x² -8x = 10 | - 10

2x² - 8x - 10 = 0

2. Schritt: Formel anwenden.

→ x = -1 oder x = 5

Lösungen:

4x² - 2x = 0

2x(2x - 1) = 0

1. Faktor: 2x = 0

→ x = 0

2. Faktor: 2x - 1 = 0 | + 1; : 2

→ x = 0,5

-x² - 9x = 0

-x(x + 9) = 0

1. Faktor: -x = 0

→ x = 0

2. Faktor: x + 9 = 0

→ x = -9

Vorbereitung SÜ10 LZH:

Wurzel- und Bruchgleichungen

Aufgaben (OHNE TR)

Lösungen:

Quadratische Gleichungen et al.

Man spricht von einer Wurzelgleichung, wenn die Variable im Radikanden auftritt.

Beispiel:

DIe Wurzel muss auf einer Seite isoliert

und dann durch Quadrieren aufgelöst

werden.

Schließlich muss durch Einsetzen über-

prüft werden, ob die berechneten

Lösungen auch für die ursprüngliche

Gleichung gültig sind (es kann nämlich

passieren, dass der Radikand negativ

wird, oder die Gleichung einfach nicht

gelöst wird).

Probe:

Somit hat die ursprüngliche Gleichung nur die Lösung x = -5.

Bei Bruchgleichungen kommt die Variable im Nenner vor. Die aus der Geometrie bekannten Verhältnisgleichungen sind oft ein Spezialfall hiervon.

Um eine Bruchgleichung zu lösen, multipliziert man sie mit dem Nenner (bzw. den Nennern, falls die Variable in mehreren Nennern vorkommt). Vorher versucht man natürlich, Brüche mit gleichem Nenner zusammenzufassen.

Beispiel 1: Beispiel 2:

Wie auch bei Wurzelgleichungen muss geprüft werden, ob die Lösungen im Definitionsbereich der Gleichung liegen, d.h. ob nichts Verbotenes passiert (bei Brüchen wäre das eine Division durch Null).

ACHTUNG: Der Trick mit dem Kehrwert ist meist nur sinnvoll, wenn die Variable nirgendwo im Zähler steht.

5. Löse die Wurzelgleichungen. Denke an die Probe.

6. Löse die folgenden Verhältnisgleichungen. Denke an den Definitionsbereich, falls nötig .

7. Löse die folgenden Bruchgleichungen. Denke an den Definitionsbereich.

Zurück zu Quadratischen Gleichungen

a) x = 28 Probe: 5 = 5

b) x = ± √60 Probe: 8 = 8 (in beiden Fällen)

c) hat keine Lösung, da

- argumentativ: eine Wurzel immer positiv definiert ist und daher nicht gleich -2 sein kann.

- rechnerisch: x = ± √3 Probe: 2 ≠ -2, also keine Lösung

d) x = -1 uns x = 3 Probe: -1 liefert 4 ≠ 0;

3 liefert 0 = 0,

also ist NUR x = 3 eine gültige Lösung.

e) x = 2,5 ± √1,25 Probe: 3,62 liefert ungefähr 11,5 ≠ 3

1,38 liefert ungefähr 3 = 3

Also ist NUR x = 2,5 - √1,25 ≈ 1,38 eine gültige Lösung.

a) x = 3 ± √10

D = R\{6}, also Lösungen ok

b) x = 7

D = R\{3; -1}, also Lösung ok

c) x = -5 und x = 2

D = R\{2}, also NUR x = -5 ok

d) x = ± √2

D = R\{-1; -2}, also Lösungen ok

e) x = 2

D = R\{3; 4}, also Lösung ok

Lösungsweg:

Beispiel 1:

Beispiel 2:

a) x = 10

Keine Bruchgleichung, also alles ok

b) x = 12

Def.bereich prüfen: x darf nicht 0 sein, also ok.

c) x = 0,5

Def.bereich prüfen: x darf nicht -2 sein, also ok.

d) x ≈ 8,55

Def.bereich prüfen: x darf nicht 0 sein, also ok.

e) x ≈ 4,2

Keine Bruchgleichung, also alles ok

LZH SÜ10: Quadratische und andere Gleichungen

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