In memoriam de José Juan Rodríguez Cano

Creado por Yolanda Rodríguez Rubio Cano Flores

In memoriam de José Juan Rodríguez Cano, mi padre y en reconocimiento especial de Agripina Petra Rubio Flores, mi madre.

In memoriamdeJosé Juan Rodríguez Cano

Miembro fundador de la Asociación de Astronomía ORION

Mathematical portraits

Colin McLaurin

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Joseph Louis Lagrange

Triángulo de Sierpinski

Fractalismo

Mathematical Portraits

Creado por Yolanda Rodríguez Rubio en honor a mi padre.

Texto completo

Gauss

Bessel

Euler

Convolución y funciones analíticas de un número finito de operadores lineales de L (π n,π n)

Convolución y funciones analíticas de un número finito de operadores lineales de L (π n,π n)

Apostol, T.M.

Kosaku Yosida

Alexander Sergeyevich Lappo-Danilevsky

Camille Jordan

Henri Poincaré

RODRÍGUEZ CANO, J.J. "Resolución de ecuaciones funcionales planteadas mediante operadores lineales." Sevilla 1_970 . Publicaciones de la Universidd de Sevilla .

TESIS: Convolución y funciones analíticas de un número finito de operadores lineales de L (π n,π n)

países

TESIS:

C. Hermite

+ info

J. Mikusinski

J.M. H.-Wronski

P. Chebyshov

J. Riccatti

RODRÍGUEZ CANO, J.J. "Resolución de ecuaciones funcionales planteadas mediante operadores lineales." Sevilla 1.970 . Publicaciones de la Universidad de Sevilla .

Director de la tesis:Pf.Dr.D. Antonio Castro Brzezicki. Catedráticode Análisis I y II de la Facultad de Ciencias de la Universisdad de Sevilla.

JoséJuan Rodríguez Cano

Universidad de Sevilla. Facultad de Matemáticas. 26 junio 1970

Tesis: Resolución de ecuacionesfuncionales mediante operadores lineales.

Memoria: que presenta para optar al grado de Doctoren Ciencias Matemáticas el Licenciado

A la memoria de mi padre y a mi madre.

Página 88

Bibliografía

Series de Fourier

Capítulo 4

Capítulo 3

Capítulo 2

Capítulo 1

Agradecimientos.

Dedicatoria de la tesis.

Portada

Índice

También quisiera agradecer la colaboración del Consejo Superior de Investigaciones Científicas por la ayuda económica recibida y al interés por la formación de investigadores en España, sin las cuáles no habría dispuesto de los medios necesarios para la dedicación a esta trabajo. Sevilla, junio 1970

Quiero traer a mi recuerdo a cuantos Profesores han contribuído a mi formación académica en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Granada y en especial al Profesor Dr. D. Inocencia Aldanondo quien acentuó en mí el espíritu de investigación, con su ejemplo como investigador y su labor como profesor. Mi mayor expresión de agradecimiento va para para el Profesor Dr. D. Antonio de Castro,que con sus especiales características humanas ha contribuído a mantener en mí el ánimo así como el empuje necesario para poder llegar a realizar este trabajo. Sin su orientación, tanto científica como bibliográfica no habría llegado a reunir los elementos que habría necesitado para la realización del mismo. No quisiera olvidarme de mis compañeros de carrera que supieron animarme para dar continuidad a mis investigaciones y en especial a Conchita López Moratalla, que tanta ayuda me prestó en los comienzos de mis investigaciones. No puedo olvidar a mis compañeros de trabajo en el Departamento que supieron darme ánimos en cuantas ocasiones les fue posible a lo largo de las conferencias celebradas durante los cursillos monográficos.

A) LA DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA OPERACIONAL Y FUNCIONAL, COMO CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LOS ESPACIOS OBJETO.B) DESCOMPOSICIÓN DE UN OPERADOR EN FACTORES ELEMENTALES.

1. ESTUDIO ELEMENTAL DE LAS ECUACIONES LINEALES ELIGIENDO PREVIAMENTE COMO MODELO, EL DE LAS ECUACIONES LINEALES DE COEFICIENTES VARIABLES PLANTEADAS EN DIFERENCIAS FINITAS, SEPARANDO EL CONJUNTO OPERACIONAL DEL FUNCIONAL.
2. ESTRUCTURACIÓN DEL CONJUNTO DE FUNCIONES Y DE OPERADORES.
3. CONSECUENCIAS.

Capítulo 1.

ES CONVENIENTE HACER USO DE TALES ECUACIONES, PARA QUE NOS SIRVA DE APOYO Y A LA VEZ PARA FIJAR LAS IDEAS, A LA HORA DE PRESENTAR LA RESOLUCIÓN GENERAL DE LAS ECUACIONES FUNCIONALES PLANTEADAS MEDIANTE OPERADORES DE TIPO LINEAL.Propongamos el problema. Encontrar la función o las funciones que cumplen con la propiedad de satisfacer a la ecuación:La ecuación planteada, relaciona las propiedades que debe cumplir la función solución, no en un sólo punto, sino en k puntos de un intervalo determinado. En principio cabría hacer el estudio del campo de resistencia de las soluciones, así como el de unicidad con unas condiciones determinadas. Una vez estudiada la unicidad de las soluciones de la ecuación, convienen estudiar el de la variable independiente. ¿Para qué intervalos o intervalo la función que toma valores en ellos, es solución? Nuestro problema no es este en concreto. Buscamos como ha sido planteada la ecuación y cuáles son los elementos fundamentales para definir la misma.Tal solución está definida por las propiedades que satisfacen las diferencias sucesivas de la misma: la de verificar a una ecuación determinada.

1. ESTUDIO ELEMENTAL DE LAS ECUACIONES LINEALES EN DIFERENCIAS FINITAS.

Para precisar que la diferencia entre los puntos es h, se sueletambién anotar en la forma . Por comodidadla utilizaremos en la forma , precisando en la igualdad la distancia entre los puntos.En un diagrama expresamos este resultado:

El concepto de diferencia es pues esencial para definir dicha ecuación. Aquí comienza la separación. Hay que distinguir del concento de diferencia al de función. La diferencia tiene definición intrínseca e independiente de la de función. En otras palabras la diferencia tiene existencia con independencia de la función a la cual se aplica. No debemos de olvidar que siempre hablamos de diferencia de una función, lo cuál supone la existencia de unos elementos sobre los cuáles actúa. La definición intrínseca de la diferencia aparece cómo una aplicación; una aplicación definida en el conjunto de aplicaciones de un conjunto de aplicaciones de un conjunto funcional en el mismo. La definición intrínseca de la diferencia aparece como una aplicación; una aplicación definida en el conjunto de aplicaciones de un conjunto funcional en el mismo. La definición de diferencia puede ser expresada como aquella aplicación que al actuar sobre una función determinada da origen a una nueva función definida por el valor de la diferencia que toma dicha función en dos puntos. Si a un punto lo anotamos con xy otro por x+h, la definición de esta aplicación quedaría en la forma:

Una vez obtenida la diferencia de una función, al aplicarle la diferencia obtenida, aparece lo que denominaremos diferencia segunda de la función primitiva y está definida:Δ2f(x)=Δ[Δf(x)]=Δ[f(x+h)-f(x)]= f(x+2h)-f(x+h)-f(x+h)+f(x)=Δf(x+h)-Δf(x)=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)En consecuencia la Δ2 es una aplicación autónoma. Al aplicarle directamente a una función, se puede obtener la función resultado de una forma directa o bien haciendo uso de la diferencia.Δ2f(x)= Δf(x+h)- Δf(x)=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x).Para definirla como aplicación autónoma, podríamos obtener como generalización de los resultados propuestos, es decir:Δkf(x)= Δk-1 [Δf(x)]= Δk-1 [f(x+h)- f(x)]=Δk-1 f(x+h)- Δk-1 f(x)== (k)f(x+kh)-(k)f(x+[k-1]h)+...+(-1)k(k)f(x) 0 1 k Como conclusión llegamos a que las aplicaciones Δ, Δ1, Δ2 son autónomas dentro del conjunto de las aplicaciones del espacio funcional en el mismo, y pueden ser consideradas como generadas por una sóla aplicación: la diferencia. Definamos otras aplicaciones dentro de dicho conjunto. Estas aplicaciones pueden ser consideradas como aplicaciones fundamentales. Son la aplicación cero y la aplicación identidad. La aplicación cero es aquella que al actuarsobre cualquier función la transforma en la función cero: 0[f(x)]=0 La aplicación identidad es la que transforma a toda función en ella misma. I f(x) = f(x) Conviene observar que no todas las funcionesadmiten diferencias de todas las órdenes. Dado el planteamiento de la ecuación, es necesario que las funciones que consideramos admitan las diferencias de orden k. El espacio funcional está formado por todas las funciones que admiten la función diferencia hasta un orden determinado que vendrá impuesto por la ecuación.

DEFINICIÓN DE LAS DIFERENCIAS DE ORDEN K.

Estructura del conjunto funcional. Consideramos el conjunto de funciones que admiten en un intervalo (a,b) las aplicaciones diferencias hasta el orden k. Definimos una suma de funciones, que anotamos con el símbolo +, como la función que resulta de obtener en cada punto la suma de los valores correspondientes a cada una de las funciones. Anotado este conjunto por F(x) consideremos dicha suma con las propiedades:I. S(x)=f1(x)+f2(x)[f1(x)1 f2(x)1 S(x)] є F(x) II. f1(x)+[f2(x)+f3(x)]= [f1(x)+f2(x)]+f3(x) = f1(x)+f2(x)+f3(x) III. f(x) +0 =0+f(x)= f(x) IV. f(x) +[-f(x)]= [-f(x)]+f(x)= 0 V. f1(x)+f2(x)=f2(x)+f1(x)Las propiedades de las que goza el conjunto F(x) con esta suma es la del grupo abeliano. De igual forma anotamos con el símbolo x y definimos un producto de funciones, como la función que resulta de considerar en cada punto el producto de los valores que toma cada función:VI. P(x)=f1(x)xf2(x) [f1(x)1 f2(x)1 P(x)] є F(x)VII. f1(x)x[f2(x)xf3(x)]=f1(x)x [f2(x)xf3(x)] = f1(x)xf2(x)xf3(x)VIII. f(x) X1=1Xf(x)= f(x) IX. f1(x)xf2(x)=f2(x)Xf1(x)

Aún no hemos llegado a dar una separación que nos precise en la ecuación lineal que es. Lo propiamente operacional de la misma y que es la parte funcional, pero nos encontramos en condiciones de hacer una estructuración tanto del conjunto operante como del funcional.

ESTRUCTURA DE LOS CONJUNTOS OBTENIDOS.

En el primer término, se considera como número real. En el segundo como función constante.

En general el elemento inverso de una función no existe. En el caso de existir estaría definido en donde la función toma valores distintos de cero.X. f 1 (x) x (f2(x) + f3(x)) = f1(x)xf2(x) + f1 (x) x f3(x) Estas diez propiedades le confieren al conjunto F(x), la estructura de anillo unitario conmutativo sin divisores de cero.Ampliemos la estructura eligiendo al cuerpo de los reales con las leyes que anotamos +, x, y definamos el producto de un número real por una función. Este producto lo anotamos. XI.

Info

Las quince propiedades le confieren al conjunto F(x) la estructura de un álgebra. En particular las propiedades I, II, III, IV, V, XI,XII, XIII, XIV, XV estructura de espacio vectorial.Estructura del conjunto operacional.Vamos a darle estructura al conjunto . Para esto vamos a definir una suma y un producto que anotaremos respectivamente con los símbolos + y x. . .La suma de dos operadores queda definida:

La suma definida le confiere al conjunto las propiedades de un grupo abeliano. La multiplicación goza de las siguientes propiedades:Introduciremos la existencia del elemento inverso, aunque su justificación requiere de la obtención de una solución particular de ecuaciones en diferencias finitas. el hecho de que no lo introduzcamos ahora es porque aún no hemos llegado al planteamiento de ecuaciones.

Por tratarse de un módulo el conjunto admitirá una base según la cual todos los elementos del espacio engendrados por dicha base se expresarán como combinación lineal de ellos. Diremos que dos elementos son independientes para que sea nula la suma:

BASE Y DIMENSIÓN DEL ESPACIO OPERACIONAL.

Las dieciséis propiedades le dan estructura de álgebra. En particular las I, II, III, IV, V, XII, XIII, XIV, XV, XVI, las de un módulo.Si en vez de haber utilizado el anillo de las funciones hubiésemos elegido el cuerpo de los reales, la estructura obtenida habría sido la de un espacio vectorial.

Aplicada a cualquier función f(x) es necesario que sean nulas las funciones ak(x) y ap(x). De este hecho resulta que el conjunto formado por los elementos son linealmente independientes. Por consiguiente constituyen una base de dicho espacio. Por ser el número de elementos linealmente independientes infinito numerable, esta será la dimensión del espacio. Según esto, todo elemento del módulo se expresará en la forma: Después de haber estructurado el espacio operacional y el funcional podemos precisar en la ecuación propuesta al comienzo, cual es la parte operacional y cual la funcional de la misma. La ecuación propuesta era:

Conferida a la ecuación su carácter propiamente operacional funcional nos encontramos en condiciones de tener un estudio detallado del álgebra del espacio operacional.

Separando la parte operacional de la parte funcional:

Estas bases serán seleccionadas en el momento oportuno, es decir en el capítulo tercero, en donde requerimos de una base tomada en el espacio funcional para darle solución a un problema de ecuaciones funcionales.

En términos generales, tomados los elementos del espacio operacional:

INDEPENDENCIA LINEAL EN EL ESPACIO OPERACIONAL.

Dadas las funciones f1(x),...,fk(x) decimos que son linealmente independientes, cuando para que sea nula la suma:Esta ecuación según la definición de ley externa se puede expresar en la forma:En donde cada es un elemento perteneciente al conjunto de las funciones que pueden ser consideradas como funciones constantes.Es necesario que Resolvamos de una manera práctica la independencia funcional.Para esto traemos un concepto utilizado por Wronski , cuando el espacio operacional, está constituído por operadoras derivadas.

INDEPENDENCIA FUNCIONAL.

Si una función depende linealmente de otras, las diferencias consecutivas de dicha función también dependen en la misma combinación lineal de esas funciones. Este teorema lo podíamos enunciar de otra forma basándonos en la separación del espacio operacional y funcional.Si varias funciones son linealmente independientes, también lo son las funciones que resultan de aplicarle un operador del espacio operacional, con tal que dicho operador no haga nulas a las funciones a que se aplica.Utilicemos este concepto, y elijamos previamente un sistema de operadores independientes,Necesitamos de las propiedades lineales de los operadores, para realizar las operaciones en la ecuación propuesta.Estas propiedades que vamos a definir son propiedades que consideramos como fundamentales y además las consideramos como el objeto del planteamiento de las ecuaciones funcionales de tipo lineal.

La demostración de estas propiedades es elemental después de haber hecho el estudio del álgebra de los operadores. Apliquemos al sistema de operadores elegido a la ecuación propuesta.

En cuyo caso, la solución única sería En este caso las funciones f1(x), ..., fk(x) serían linealmente independientes.Hay un sistema clásico de operadores independientes, para la terminación de laindependencia funcional.Introducimos la definición del operador elevador: como combinación del operador I identidad y del operador diferencia. Según esto:Ef(x) = Ef(x) = f(x+h)

Los operadores, (I, E, E2,...Ek,...) son linealmente independientes. Por consiguiente constituyen una base del espacio operacional. Aplicando el sistema de operadores (I, E, E2,...Ek-1) a la ecuación y teniendo en cuenta los conceptos enunciadosaplicandoaplicando

Reiterando el proceso, damos la definición de los operadores E2,..., Ek,...

Este determinante es conocido con el nombre de Caserotiano y su no anulación implica la independencia de las funciones f1(x),...,fk(x). Como problemas clásicos, en lo que respecta a ecuaciones funcionales de tipo lineal en diferencias finitas, suelen plantearse bien como la aplicación de un elemento engendrado por operadores E a la función o bien como aplicación de un elemento engendrado por operadores . Tanto en un caso como en otro conviene la resolución directa de la ecuación en función de dichos operadores.

Para que admita solución única el sistema es necesario que:

sea distinto de cero.A estos determinantes les daremos el nombre de determinantes funcionales operacionales, y su no anulación implica la independencia funcional.Hagamos un estudio sobre el álgebra de los operadores Pk(Δ)ÁLGEBRA DE LOS OPERADORES Pk(Δ)A partir del conjunto de operadores {Δk}, llegamos a definir los elementospor introducción de una ley externa y de un anillo adicional al de las funciones.

De una forma general si consideramos los sistemas de operadores independientes[P1(Δ),…,Pk-1(Δ)] y [Q1(Δ),…Qk-1(Δ)] diremos que las funciones f1(x),...,fk(x) son independientes cuando uno de los determinantes:

I. Pk(Δ) Pp(Δ) = Sk(Δ) K>P (Pk(Δ) ,Pp(Δ) , Sk(Δ) ) є{Pk(Δ)}II.Pk(Δ) (Pp(Δ) Pq(Δ) )= (Pk(Δ) (Pp(Δ)) Pq(Δ) = Pk(Δ) Pp(Δ) Pq(Δ) III. Pk(Δ) 0 =0 Pk(Δ)=Pk(Δ)IV. Pk(Δ) (-Pk(Δ)) = (- Pk(Δ)) Pk(Δ)=0V. Pk(Δ) Pp(Δ) = Pp(Δ) Pk(Δ) Con respecto a la multiplicaciónVI. Pk(Δ) Pp(Δ) = Pk+p(Δ) ( Pk(Δ),Pp(Δ),Pk+p(Δ)) є{Pk(Δ)}VII. Pk(Δ) (Pp(Δ) Pq(Δ)) = ( Pk(Δ) Pp(Δ) ) Pq(Δ)= Pk(Δ) Pp(Δ) Pq(Δ)Esta propiedad la demostraremos más adelante.VIII. Pk(Δ) I= I Pk(Δ) = Pk(Δ)

Definimos como leyes de composición las mismas que utilizamos para estructurar el conjunto {Δk}.Las propiedades de que gozan esta suma y este producto son

Los elementos Pk(Δ) vimos que eran de la forma:

Δk

La existencia del elemento inverso, al igual que en la de los operadores requiere del estudio de las soluciones de una ecuación en diferencias.La definición quedará justificada con posteridad. Por ahora sólo admitiremos su existencia.IX. Pk(Δ) (Pk(Δ))-1 =(Pk(Δ))-1 Pk(Δ)= ILos operadores {Pk(Δ)} no poseen la propiedad conmutativa en un caso general.En el próximo apartado estudiaremos en que casos dos operadores son conmutativos.Introducimos una ley externa que será la misma que definimos para los operadores Δk.

Con estas propiedades ha quedado definida el álgebra de los operadores {Pk(Δ)}.

Para esto elegimos el anillo de las funciones que admiten los operadores {Pk(Δ)}, hasta un orden preciso seguimos utilizando la suma y el producto de funciones con los símbolos + y x. Para la ley externa el símbolo . Pk(Δ)=a0(x) Δk a1(x) Δk -1 ... ak(x) I X. a(x) Pk(Δ)=( a(x)xa0(x)) Δk ( a(x)xa1(x)) Δk-1 ... (a(x) xak(x)) I XI. (a(x) + b(x)) Pk(Δ) = a(x) Pk(Δ) b(x) Pk(Δ) XII. a(x) (Pk(Δ) Pp(Δ)) = a(x) Pk(Δ) a(x) Pp(Δ) XIII.(a(x) + b(x)) Pk(Δ) = a(x) (b(x) Pk(Δ)) XIV. 1 Pk(Δ)= Pk(Δ) Con estas propiedades ha quedado definida el álgebra de los operadores {Pk(Δ)}.

01

Es necesario que al plantear una ecuación en el anillo operacional y pretender darle una sollución, busquemos las soluciones más elementales de dicha ecuación. La factorización conduce a la búsqueda de factores en la forma más elemental. A estas formas elementales. A estas formas elementales le daremos el nombrede operadores en forma canónica. Vamos a introducir dos conceptos para distinguir las formas de los operadores básicos. Orden de un operador lineal, es el que corresponde al de la diferencia máxima que interviene para definirlo. Base de un operador lineal, es el número de funciones arbitrarias que necesita para ser definido. Utilizaremos como formas canónicas operadores de clase 1, base 1 y operadores de clase 1, base 2. Operador de base 1, clase 1 B = Δ - r(x) Operador de base 1, clase 2 B' = a (x) Δ-b(x)

OPERADORES EN FORMA CANÓNICA. FACTORIZACIÓN EN EL ÁLGEBRA {Pk(Δ)}

ASOCIATIVIDAD Y CONMUTATIVIDAD.

01

Factorización asociativa y conmutativa.

Estructura de los espacios funcionales y operaciones en general.

Propiedades.

Independencia operacional. Base y dimensión del espacio operacional.

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Pk(Δ)

Capítulo 2.

Diagrama:

1. Ecuación funcional lineal homogénea de orden k.
2. Ecuación funcional completa de orden k.
3. Ecuación funcional de autovalores de orden k.

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Capítulo 3.

n.

B'1 (x)

continúa capítul. 3

Mikusin

Info

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Capítulo 4.

Si además, cualquier sucesión de puntos tomada en el espacio converge hacia uno que pertenece al mismo, se dice que el espacio es completo. Un espacio vectorial de dimensión infinita, normado y completo recibe el nombre de espacio de Banach.

Estos espacios son de gran interés en la teoría de operadores contínuos y son por lo general, el tipo de espacio que suele requerir los problemas de la Física aplicada y del análisis funcional.

Otro tipo de espacio que tiene un gran interés es el de Hibbert. Se considera como un caso particular del de Banach. Esta particularización se debe al tipo de norma considerada.

En un espacio de Hibbert, la norma procede de una forma hermítica. Una condición necesaria y suficiente para que un espacio de Banach sea de Hibbert, que presentaba en el congreso que se celebró en Granada en Noviembre del año 1968. Este trabajo figura en la revista que surgió con motivo del congreso.

t+1

Sturm-Liouville

Ver

Srinivasa Ramanujan

Evariste Galois

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Tales de Mileto

Algunos de sus matemáticos favoritos:

Bibliografía

Serie de Fourier

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+ info

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Tesis

El criterio de Lappo-Danilevsky en sistemas diferenciales lineales y extensiones.Juan Miguel Gracia Melero

Sobre la resolvente y la descomposición espectral de ciertos operadores definidos en un espacio de Banach Agripina Petra Rubio Flores

Tesis dirigidas:

Ver

Libros: Sobre la resolvente y la descomposición espectral de ciertos operadores definidos en un espacio de Banach.Agripina Petra Rubio Flores.Universidad de Granada, 1991. ISBN 84-338-1398-6.

En reconocimiento especial a:

Sobre la resolvente y la descomposición espectral de ciertos operadores definidos en un espacio de Banach.

Resumen:

Tesis:

EN LA MEMORIA SE REALIZA UN ESTUDIO DE LA DESCOMPOSICION ESPECTRAL DE UN OPERADOR, ASI COMO DE LA FUNCION DE UN OPERADOR, DEFINIDO EN UN ESPACIO DE BANACH, O BIEN UN ESPACIO DE HILBERT, UTILIZANDO LA RESOLVENTE DEL OPERADOR,LA AUTORA CONSIGUE EXPRESIONES ANALITICAS DE LOS OPERADORES PROYECCION Y NILPOTENTE ASOCIADOS A UN OPERADOR T MEDIANTE LA EXPRESION DE LA RESOLVENTE, QUE PREVIAMENTE DEDUCE, Y LA FORMULA INTEGRAL DE CAUCHY. ESTE ES COMPARADO CON LOS QUE EXISTIAN PREVIAMENTE EN LA LITERATURA. POSTERIORMENTE SE APLICAN LOS RESULTADOS ANTERIORES A LA RESOLUCION DE SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES. EN LA ULTIMA PARTE DE LA MEMORIA SE ESTUDIAN LAS EXTENSIONES DE LA RESOLVENTE OBTENIDA A LOS OPERADORES NORMALES EN ESPACIOS DE HILBERT QUE SEAN COMPACTOS. LOS RESULTADOS PRESENTADOS DAN UNA NUEVA DIMENSION A LA REPRESENTACION ESPECTRAL DE F(T) TANTO EN EL CASO FINITO DIMENSIONAL COMO PARA OPERADORES LINEALES COMPACTOS DEFINIDOS EN UN ESPACIO DE HILBERT.

Agripina Petra Rubio Flores

Representaciones de ciertas funciones de un operador a(t) dependiente de un parámetro, en un espacio de Banach de dimensión finita Agripina Petra Rubio Flores, José Juan Rodríguez Cano X Jornadas hispano-lusas de matemáticas: sección de análisis matemático, 1985, págs. 127-136

Sobre la resolvente de un operador TcB(H), normal y compacto Agripina Petra Rubio Flores, José Juan Rodríguez Cano XV Jornadas Luso-Espanholas de Matemática: Universidade de Évora. 3 a 7 de Septembro de 1990, Vol. 2, 1991 (Análise), págs. 331-336

Sobre operadores TcB(x) con resolvente racional Agripina Petra Rubio Flores, José Juan Rodríguez Cano XV Jornadas Luso-Espanholas de Matemática: Universidade de Évora. 3 a 7 de Septembro de 1990, Vol. 2, 1991 (Análise), págs. 309-314

Colaboraciones en obras colectivas:

Stefan Banach

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