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Espace et géométrie

Constellation

Enjeux

Les enseignants ont exprimé un manque d'outils pédagogiques et de pistes didactiques pour mettre en œuvre les apprentissages en géométrie d'où une demande assez prononcée dans le cadre des constellations.

La recherche montre l'interdépendance de la pensée spatiale avec la réussite des élèves dans les autres domaines mathématiques.

Espace et géométrie

Regard géométrique

Recherche

Programmes

Développer la pensée spatiale

Ce que dit la recherche

Pensée spatiale

Dans les domaines mathématiques

Chez le jeune enfant

L'acalculie

Chez les
9/13 ans

L'apprenant mathématicien

« La recherche sur le raisonnement spatial accorde une importance critique aux habiletés en raisonnement spatial dans les domaines de la géométrie, de la mesure et de la résolution de problèmes, tout aussi bien au début des expériences des élèves en mathématiques que plus tard à l’école secondaire et au-delà dans les domaines des sciences, de la technologie et de l’ingénierie. »

(Shumway, 2013, traduction libre, p. 50)

Il semble, par exemple, que l’aptitude spatiale est liée à la compréhension des quantités et à l’émergence de la numératie chez les petits (pour un résumé de cette recherche, voir Drefs et D’Amour, 2014).



Dans leurs travaux, Sarama et Clements citent un exemple tiré de la recherche qui montre comment des déficits spatiaux ont des conséquences sur la capacité des enfants à appréhender des amplitudes et des quantités. Ce problème a probablement son origine très tôt, lorsque l’enfant commence à subitiser.


Dans leur étude auprès de très jeunes enfants, Farmer et al., (2013), ont constaté
que le raisonnement spatial à 3 ans était un meilleur prédicteur des capacités en arithmétique générale à 5 ans que le langage (vocabulaire) ou même les compétences générales en mathématiques



Rourke (1993) a mené une recherche avec des jeunes de 9 à 14 ans : Les élèves avec uniquement des difficultés dans l’apprentissage des mathématiques avaient une capacité spatiale bien plus faible que les autres. Ils avaient aussi tout un ensemble de difficultés liées aux mathématiques, comme la lecture des symboles, l’organisation et l’écriture des nombres, le respect des procédures, la mémorisation des faits numériques et l’analyse de la vraisemblance de leurs réponses.



Une incapacité d’apprentissage identifiée en mathématiques, liée à la cognition spatiale, s’appelle l’ acalculie spatiale, et est caractérisée par des difficultés d’alignement des chiffres et de lecture des symboles opératoires

(Mix et Cheng, 2012).

Les enfants qui sont doués pour la mise à l’échelle spatiale sont également bons pour positionner les nombres sur une ligne de nombres, et les enfants qui sont doués pour la rotation mentale sont meilleurs pour effectuer des tâches de calcul avec des nombres manquants comme 3 + □ = 5.


Il est crucial que l’intervention en mathématiques soit précoce, car offrir aux jeunes enfants des possibilités de développer leur sens spatial est essentiel à la réalisation de leur potentiel en tant qu’ apprenants des mathématiques.

(Sinclair et Bruce, 2014).


Mais nous savons aussi que l’importance de la pensée spatiale augmente durant l’adolescence, à mesure que les élèves étudient un programme de plus en plus abstrait les conduisant à des mathématiques de haut niveau, car « l’espace est plus étroitement associé aux mathématiques dans les années d’études supérieures »

(Mix et Cheng, 2012, traduction libre, p. 219).

Développer la pensée spatiale

Modèle du développement
de
la pensée géométrique

0

1

2

4

3

VISUALISATION

ANALYSE

DEDUCTION INFORMELLE

DEDUCTION

RIGUEUR

(National Council of Teachers of Mathematics, 1987, traduction et adaptation libres)

C1

C2

C3

Perception des figures géométriques selon leur apparence plutôt que leurs propriétés.


Pour les connaissances spatiales, cela implique que les figures ou les solides leur sont en permanence accessibles et que les actions sont également réalisées concrètement.

L’élève :
– utilise du vocabulaire géométrique;
– reconnaît, nomme, compare et reproduit des figures d’après leur apparence générale;
– a de la difficulté à se faire une image mentale d’une figure (Les figures sont observées mais ne sont pas conceptualisées. Chacune est perçue de façon globale, comme une entité).


Exemple d’énoncé :
✓ C’est un carré parce que ça ressemble à un carré, parce que je le vois, parce que c’est carré.

L’élève :
– reconnaît certaines propriétés communes et distinctes par
l’observation, la manipulation et l’exploration (mesure, pliage, dessin);
– reconnaît certains attributs avant de passer aux propriétés;
– généralise;
– classe;
– résout des problèmes selon des propriétés;
– peut créer des classes selon des propriétés.


Exemple d’énoncé :
✓ Cette figure est un carré parce qu’elle a quatre sommets.
✓ Cette figure est un carré parce qu’elle a quatre coins droits.
✓ Cette figure est un carré parce qu’elle a quatre côtés égaux.
✓ Cette figure est un carré parce qu’elle a deux paires de côtés parallèles.

L’élève :
– établit ou déduit des propriétés d’une figure;
– reconnaît des classes de figures.

construit les relations existantes entre les propriétés et les diverses classes.


Exemple d’énoncé :


✓ Un carré est un rectangle, un parallélogramme et un quadrilatère parce qu’il possède toutes les propriétés de ces trois polygones.


Un cube est aussi un prisme à base carrée ou un prisme à base rectangulaire.

L’élève :
– construit une preuve sans se limiter à la mémorisation;
– élabore une preuve de différentes façons;
– comprend les sous-classes et leurs relations.


Exemple d’énoncé :
✓ Un parallélogramme qui a deux côtés adjacents de même longueur doit être un losange.

L’élève :
– travaille dans des systèmes déductifs abstraits;
– travaille avec la géométrie non euclidienne
– fait les liens entre les concepts et développe parfois de nouveaux postulats.

Début de l’analyse des concepts en géométrie pour en découvrir les propriétés.


Proposer des activités permettant une intériorisation des formes et
de des actions. La manipulation en elle-même n’est pas suffisante à son intériorisation (Poirier, 1999 ; Piaget et Inhelder, 1948) : il faut obligatoirement la traiter en classe.


Une façon de provoquer une intériorisation de ces connaissances est de demander une anticipation.


L’enseignant doit questionner les éves sur leurs procés (comment as-tu réussi à t’en rappeler ? Qu’est-ce que tu voyais dans ta tête ? As-tu vu la forme globale ou chacune des parties ? As-tu commencé par en haut ou par en bas ?). Cette étape de questionnement est la deuxième phase cruciale...)

Début de l’analyse des concepts en géométrie pour en découvrir les propriétés.


Une fois que les élèves ont intériorisé plusieurs figures, solides ou actions, il faut leur proposer des activités où ils devront manipuler mentalement ces figures :

Par exemple:

Les élèves peuvent s’imaginer un cube dans leur tête,
couper deux de ses coins et d'écrire l’allure du solide restant.


A partir uniquement de leurs images mentales du prisme à base triangulaire et de la pyramide à base triangulaire, expliquer les ressemblances et les différences entre ces deux solides.



Début de l’analyse des concepts en géométrie pour en découvrir les propriétés

Présentation de la géométrie de façon abstraite


( Peu de recherches ont été faites sur ce niveau.)

À la suite de recherches poussées, deux chercheurs hollandais, Dina Van
Hiele-Geldof et Pierre Van Hiele, ont conçu un modèle du développement de
la pensée géométrique.

L’élément clé de ce modèle est une hiérarchie à cinq niveaux décrivant la compréhension des concepts en géométrie à différentes étapes du développement de la pensée de l’élève.

Développer la pensée spatiale

Modèle du développement
de
la pensée géométrique

0

1

2

4

3

VISUALISATION

ANALYSE

DEDUCTION INFORMELLE

DEDUCTION

RIGUEUR

(National Council of Teachers of Mathematics, 1987, traduction et adaptation libres)

C1

C2

C3

Perception des figures géométriques selon leur apparence plutôt que leurs propriétés.


Pour les connaissances spatiales, cela implique que les figures ou les solides leur sont en permanence accessibles et que les actions sont également réalisées concrètement.

L’élève :
– utilise du vocabulaire géométrique;
– reconnaît, nomme, compare et reproduit des figures d’après leur apparence générale;
– a de la difficulté à se faire une image mentale d’une figure (Les figures sont observées mais ne sont pas conceptualisées. Chacune est perçue de façon globale, comme une entité).


Exemple d’énoncé :
✓ C’est un carré parce que ça ressemble à un carré, parce que je le vois, parce que c’est carré.

L’élève :
– reconnaît certaines propriétés communes et distinctes par
l’observation, la manipulation et l’exploration (mesure, pliage, dessin);
– reconnaît certains attributs avant de passer aux propriétés;
– généralise;
– classe;
– résout des problèmes selon des propriétés;
– peut créer des classes selon des propriétés.


Exemple d’énoncé :
✓ Cette figure est un carré parce qu’elle a quatre sommets.
✓ Cette figure est un carré parce qu’elle a quatre coins droits.
✓ Cette figure est un carré parce qu’elle a quatre côtés égaux.
✓ Cette figure est un carré parce qu’elle a deux paires de côtés parallèles.

L’élève :
– établit ou déduit des propriétés d’une figure;
– reconnaît des classes de figures.

construit les relations existantes entre les propriétés et les diverses classes.


Exemple d’énoncé :


✓ Un carré est un rectangle, un parallélogramme et un quadrilatère parce qu’il possède toutes les propriétés de ces trois polygones.


Un cube est aussi un prisme à base carrée ou un prisme à base rectangulaire.

L’élève :
– construit une preuve sans se limiter à la mémorisation;
– élabore une preuve de différentes façons;
– comprend les sous-classes et leurs relations.


Exemple d’énoncé :
✓ Un parallélogramme qui a deux côtés adjacents de même longueur doit être un losange.

L’élève :
– travaille dans des systèmes déductifs abstraits;
– travaille avec la géométrie non euclidienne
– fait les liens entre les concepts et développe parfois de nouveaux postulats.

Début de l’analyse des concepts en géométrie pour en découvrir les propriétés.


Proposer des activités permettant une intériorisation des formes et
de des actions. La manipulation en elle-même n’est pas suffisante à son intériorisation (Poirier, 1999 ; Piaget et Inhelder, 1948) : il faut obligatoirement la traiter en classe.


Une façon de provoquer une intériorisation de ces connaissances est de demander une anticipation.


L’enseignant doit questionner les éves sur leurs procés (comment as-tu réussi à t’en rappeler ? Qu’est-ce que tu voyais dans ta tête ? As-tu vu la forme globale ou chacune des parties ? As-tu commencé par en haut ou par en bas ?). Cette étape de questionnement est la deuxième phase cruciale...)

Début de l’analyse des concepts en géométrie pour en découvrir les propriétés.


Une fois que les élèves ont intériorisé plusieurs figures, solides ou actions, il faut leur proposer des activités où ils devront manipuler mentalement ces figures :

Par exemple:

Les élèves peuvent s’imaginer un cube dans leur tête,
couper deux de ses coins et d'écrire l’allure du solide restant.


A partir uniquement de leurs images mentales du prisme à base triangulaire et de la pyramide à base triangulaire, expliquer les ressemblances et les différences entre ces deux solides.



Début de l’analyse des concepts en géométrie pour en découvrir les propriétés

Présentation de la géométrie de façon abstraite


( Peu de recherches ont été faites sur ce niveau.)

À la suite de recherches poussées, deux chercheurs hollandais, Dina Van
Hiele-Geldof et Pierre Van Hiele, ont conçu un modèle du développement de
la pensée géométrique.

L’élément clé de ce modèle est une hiérarchie à cinq niveaux décrivant la compréhension des concepts en géométrie à différentes étapes du développement de la pensée de l’élève.

Développer la pensée spatiale

La visualisation spatiale
La rotation mentale
l'échelle spatiale

Activité de visualisation spatiale

La rotation mentale




La visualisation spatiale

Tâches de composition et de décomposition

Voir et concevoir dans l'espace

Un exemple de rotation mentale

Pensée spatiale

L'échelle spatiale

Pensée spatiale

Quels sont les pentominos ci-dessus qui peuvent être pliés pour former une boîte ouverte (un cube dont le dessus est ouvert) ?


Les activités dans lesquelles on plie mentalement une structure pour créer une nouvelle forme reposent
essentiellement sur des habiletés de visualisation spatiale. Tout comme avec d’autres activités qui supposent
une visualisation spatiale, il est souvent important de commencer par visualiser une solution possible,
puis de mettre à l’essai cette solution dans la pratique ou le concret (p. ex., en pliant physiquement les
pentominos pour vérifier les prévisions).

De toutes les habiletés spatiales étudiées, la rotation mentale a suscité le plus
d’intérêt chez les chercheurs. Les habiletés de rotation mentale ont été liées à la réussite dans divers aspects des mathématiques, notamment l’arithmétique, les problèmes écrits, la géométrie et l’algèbre.


Les enfants qui sont doués pour la rotation mentale sont meilleurs pour effectuer des tâches de calcul avec des nombres manquants comme :

3 + □ = 5.


Le défi des cubes : (découvrir des équivalences tridimensionnelles)





Les activités de composition et de décomposition présentent de nombreuses occasions de visualiser des
solutions possibles avant l’exécution proprement dite d’une tâche.



En utilisant n’importe quelle combinaison des mosaïques géométriques ci-dessus et en faisant appel à
vos habiletés de visualisation, déterminez le nombre minimal de pièces nécessaires pour remplir la figure
à droite.
Quel est le plus grand nombre de pièces pouvant servir à remplir la figure?

La visualisation spatiale est un type particulier de la pensée spatiale qui implique l’utilisation de notre imagination pour « générer, mémoriser, extraire et transformer des images visuelles bien structurées » (Lohman, 1996, traduction libre, p. 98)


Voir et concevoir dans l'espace : l'intelligence de l'oeil


Activité 1 : Le cube
D’après Rallye Maths 95 IREM 2014

La figure ci-contre montre un cube dont un coin a été coupé.

Combien le solide obtenu a-t-il de sommets, de faces, d’arêtes ?

Parmi les figures ci-dessous, quelle est celle qui représente le cube vu de dessus ?


Activité 2 : Le cube tronqué
D’après Rallye Maths 95 IREM 2015

Voici un cube plein dont les arêtes mesurent 6 cm. On coupe chaque « coin » du cube en enlevant une pyramide de 2 cm d’arête latérale.Une fois les pyramides enlevées à tous les sommets, il reste un nouveau solide.

Combien a-t-il de faces?

Dessinez le patron de ce nouveau solide.


Les enfants qui sont doués pour la mise à l’échelle spatiale sont également bons pour positionner les nombres sur une ligne de nombres

Séverine Demisdt

Du dessin à la figure

L

P

Spontanément et au premier coup d’oeil,
l’appréhension d’un objet est globale

Vision « surfaces » de la figure

S

Donner des gabarits permet de prendre en compte l’appréhension spontanée de la figure en termes de surfaces

Vision « lignes » de la figure

Vision « points » de la figure

Donner des instruments tels que la règle et le compas pour accompagner les élèves vers la déconstruction de la figure en un réseau de lignes et de points

La déconstruction dimensionnelle est une
condition pour l’explicitation des connaissances
géométriques

Porter un regard géométrique sur les figures

Ce que les figures donnent à voir est "un point clé dans le rapport des élèves à la géométrie" selon Duval & Godin & Perrin-­‐Glorian, (2005, p.9).


Acquérir une certaine flexibilité du regard, c’est être capable de passer d’une vision à l’autre (vision surfaces, vision lignes, vision points), c’est-à-dire activer selon les besoins l’une ou l’autre de ces visions. L’appréhension première des enfants sur les figures est celle caractérisée par la vision surface. Enrichir le regard des élèves sur les figures signifie les amener progressivement à développer une vision lignes des figures puis une vision points.

La restauration de figures

F

Dans une vision « surfaces » des figures , on voit un assemblage de figures simples, celle qu’on porte sur un puzzle.


Dans la figure, on peut voir trois triangles juxtaposés ou deux triangles superposés dans un quadrilatère, leurs côtés, leurs sommets.

Dans une vision « lignes » des figures, les lignes intérieures ont une existence propre.
La figure est constituée de lignes qui peuvent se tracer avec des instruments

À partir de la figure précédente, on peut envisager une figure « lignes » obtenue en prolongeant tous les côtés et en gardant tous les sommets. On a ainsi tous les supports des bords de
la figure « surfaces » et ainsi, à partir de ces lignes, on peut reconstituer les surfaces précédentes.



Dans la vision points de la figure, les points s’obtiennent par intersection de deux lignes (droites ou cercles, pour les niveaux qui nous intéressent) qu’on peut tracer avec des instruments ou définir par des propriétés et les points peuvent définir des lignes.



Les programmes

Programme et attendus

C1

À l’école maternelle, ils construisent des connaissances et des repères sur quelques formes et grandeurs. L’approche des formes planes, des objets de l’espace, des grandeurs, se fait par la perception visuelle, la manipulation et la coordination d’actions sur des objets.


Cette approche est soutenue par le langage : Il permet de décrire ces objets et ces actions et favorise l’identification de

premières caractéristiques descriptives. permet de décrire ces objets et ces

actions et favorise l’identification de premières caractéristiques descriptives.

Repères C2

C2

« Les notions de géométrie plane et les connaissances sur les figures usuelles s’acquièrent à partir de manipulations et de résolutions de problèmes (reproduction de figures, activités de tri et de classement, description de figures, reconnaissance de figures à partir de leur description, tracés en suivant un programme de construction simple).

La reproduction de figures diverses, simples et composées est une source importante de problèmes de géométrie dont on peut faire varier la difficulté en fonction des figures à reproduire et des instruments disponibles.

Les concepts généraux de géométrie (droites, points, segments, angles droits) sont présentés à partir de tels problèmes. »

Repères C3

C3

« Prolongeant le travail amorcé au cycle 2, les activités permettent aux élèves de passer progressivement d'une géométrie où les objets... et leurs propriétés sont essentiellement contrôlés par la perception à une géométrie où le recours à des instruments devient déterminant, pour aller ensuite vers une géométrie dont la validation s’appuie sur le raisonnement et l’argumentation. Différentes caractérisations d’un même objet ou d’une même notion s’enrichissant mutuellement permettent aux élèves de passer du regard ordinaire porté sur un dessin au regard géométrique porté sur une figure. Les situations faisant appel différents types de tâches (reconnaître, nommer, comparer, vérifier, décrire, reproduire, représenter, construire) portant sur des objets géométriques, sont privilégiées afin de faire émerger des concepts géométriques (caractérisations et propriétés des objets, relations entre les objets) et de les enrichir. Un jeu sur les contraintes de la situation, sur les supports et les instruments mis à disposition des élèves, permet une évolution des procédures de traitement des problèmes et un enrichissement des connaissances. »

C4

Dès la fin du cycle 3, les élèves devront identifier dans les figures les caractéristiques
graphiques qui représentent des propriétés géométriques sur lesquelles ils devront apprendre à raisonner.


Cela demande un changement du regard porté sur les figures pour les voir comme des assemblages de lignes et de points, ce qui est indispensable pour aborder la géométrie théorique du collège puisque les notions géométriques sont définies à partir de relations entre lignes (droites ou cercles) et points.


La formation au raisonnement et l’initiation à la démonstration sont des objectifs essentiels
du cycle
4.
Le raisonnement, au cœur de l'activité mathématique, doit prendre appui sur des situations variées (par exemple problèmes de nature arithmétique ou géométrique ...

+CP

+

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+CE1

+CE2

+CM1

+CM2

+6ème

+C1

Les programmes attirent l’attention sur la nécessité de faire évoluer au cours de la scolarité obligatoire le regard que les enfants portent sur les figures géométriques et ils mettent en avant la reproduction de figures comme source de problèmes permettant d’introduire les notions géométriques plus générales et de faire évoluer le regard porté sur les figures, comme par exemple la restauration de figure.

Apprendre à porter un regard géométrique

GEOMETRIE FLASH

LA RESTAURATION DE FIGURES

Le pliox

Geogebra

Problèmes

Geometrie et arts


François Morellet (outils...)





François Morellet (outils...)

À partir d'un PLIOX, il est possible de réaliser différentes formes planes colorées selon un ensembles de pliages autorisés


L'activité PLIOX est un problème spatial en effet l'action de reproduire par pliage d'une feuille de papier au sens de Salin (2008, p.3) :

- Il se réalise dans l'espace sensible par une action,

- la validation est faite par l'élève en comparant perceptivement son pliage avec le modèle.

- Le langage peut se substituer à la perception.



L'activité PLIOX est un problème géométrique (géométrie G1), il correspond à une figure géométrique plane (le carré) sur laquelle apparaissent d'autres figures géométriques planes par pliage.


L'activité PLIOX fait appel à la reconnaissance visuelle des formes, elle correspond au niveau 0 de l'échelle de Van Hiele (1986). Cependant l'élève étant incité à analyser la figure modèle et à une justification de l'identification des formes de façon répétitive cela l'amène au niveau 1 de l'échelle quant aux propriétés du carré si l'enseignant active la verbalisation.


https://www.geogebra.org/classic/?id=1750155



François Morellet (outils...)

Restauration de figures

Evolution du regard

Objectives

Unit II

Quiz

Unit I

Unit III

Bibliography

INDEX

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COMPARISON

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