Want to make creations as awesome as this one?

Transcript

RESOLUTION DE PROBLEMES

6 avril 2022 LANDERNEAU

1. OBJECTIFS DE LA JOURNEE

2. C'EST QUOI UN PROBLEME?

3. POURQUOI RESOUDRE DES PROBLEMES

4- C'est quoi le problème avec les problèmes

5. Créer une mémoire des problèmes

6. Mettre en oeuvre une progression d'apprentissage

7- Un exemple : la démarche maths en vie

INDEX

8- Mettre l'élève en posture de chercheur: la narration de recherche

OBJECTIFS DE LA JOURNEE

La résolution de problème constitue le critère principal de la maitrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques mais elle est également le moyen d’en assurer une appropriation qui en garantit le sens

Quelques objectifs à atteindre suite à cette formation:


-> Construire en équipe la mémoire des problèmes

-> Proposer une approche différente de l’enseignement de la résolution de problèmes

-> La résolution de problème concerne chaque enseignant individuellement mais elle concerne surtout toute l’équipe enseignante dans l’idée de bâtir un parcours pour les élèves

-> Repérer les isomorphismes et utiliser des stratégies efficaces de résolution de problèmes

-> Installer l’élève dans une posture de chercheur

C'est quoi un problème ?

TEMPS 1:

TEMPS 2: HUNAUD RECOMMANDATIONS

Suite à la lecture de la circulaire de 2018 + les recommandation de Hunaut: Y a t-il des choses qui vous ont dérangés? Surpris? Confortés dans vos pratiques? Echanger entre vous (1 rapporteur oral)

En vous aidant du document (myriade 6ème) et de votre expérience, rédiger une méthode de résolution de problème qui vous semble cohérente et efficace pour les élèves (et/ou pour vous)

TEMPS 3

A VOUS DE JOUER

RESOUDRE LES PROBLEMES

Temps 1: les planètes (individuel sans internet! sans aide, salle divisée en 2): 10 minutes

Mise en commun

Temps 2: Par groupe de 3-4: consignes: verbaliser la démarche entreprise pour résoudre, un observateur qui note tout ce qui est entrepris. 10 minutes

UN PROBLEME ....

  • « [...] un problème mathématique devrait être difficile à résoudre pour nous séduire, mais pas

complètement inaccessible, de peur qu'il ne se moque de nos efforts. Il devrait être pour nous un guide sur les chemins labyrinthiques des vérités cachées, et finalement un rappel de notre plaisir lorsque la solution est atteinte. »



Pour un esprit scientifique, toute connaissance est une réponse à une question. S’il n’y a pas eu de question, il ne peut y avoir connaissance scientifique.
Rien ne va de soi. Rien n’est donné. Tout est construit.
(Bachelard, 1967)

● "Par problème, il faut entendre dans le sens large que lui donne le psychologue, toute situation dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d'exploration, d'hypothèses et de vérification, pour produire une solution" VERGNAUD



●« Il y a problème dès qu’il y a réellement quelque chose à chercher, que ce soit au niveau des données ou du traitement et qu’il n’est pas possible de mettre en jeu la mémoire seule ». (Equipe ERMEL INRP)

 Le problème du mathématicien n’est pas celui de l’élève.


 Celui de l’élève a déjà été résolu et il le sait.

 L’élève doit accepter d’entrer dans le jeu.

 Le temps de recherche du mathématicien n’est
pas défini à l’avance, celui de l’élève est compté

Dans les 2 extraits vidéo, quelles sont selon vous, les implicites en termes de résolution de problèmes.

Que reste-t-il à la charge de l’élève ?

13,14-15,25

20’’-1’30 et 10’40-13’

A votre avis qu'est ce que répondrait un élève à la question: c'est quoi résoudre un problème?

POURQUOI RESOUDRE DES PROBLEMES?

 Construire une nouvelle connaissance.


 Réinvestir des connaissances.

 Mobiliser plusieurs catégories de connaissances.

 Développer des capacités à chercher.

La démarche de résolution de problèmes en lien avec les compétences maths

Réception: Rechercher et organiser l’information


Réflexion: Engager une démarche, raisonner, argumenter, démontrer
Action: Calculer, mesurer, appliquer des consignes

Communication: Communiquer à l’aide d’un langage mathématique adapté

UN CADRE DE REFERENCE POUR LA RESOLUTION DE PROBLEME.

Construction d'un raisonnement organisé :


Je cherche (oralement en collectif, à l'aide de la reformulation ou mentalement) : quelles quantités sont en jeu, lesquelles sont connues, inconnues, la plus grande, etc..

Je représente (étape transitoire et optionnelle dans ce cadre précis) : à l'aide d'un dessin puis d'un schéma libre (dessin dans lequel ne figurent que les informations relatives aux quantités pertinentes), puis d'un schéma « institutionnalisé » qui constitue alors une modélisation)

Je modélise : à l’écrit à l'aide d'un schéma en barres, puis (ou) d'une opération.

Je calcule : on effectue l'opération, de manière libre (mentalement, en ligne, en colonne, par étapes, etc..)

Je communique : (plutôt à l'écrit) on transmet sa solution au problème. On garde la mémoire de cette résolution pour qu’elle puisse resservir dans d’autres contextes

LES REFERENCES OFFICIELLES

10 problèmes par semaine: pourquoi?

Les étapes de la résolution de problème

Comprendre l'énoncé

Comprendre la structure mathématiques du problème

Mise en commun et institutionnalisation





Construction d'un raisonnement organisé :


Je cherche (oralement en collectif, à l'aide de la reformulation ou mentalement) : quelles quantités sont en jeu, lesquelles sont connues, inconnues, la plus grande, etc..

Je représente (étape transitoire et optionnelle dans ce cadre précis) : à l'aide d'un dessin puis d'un schéma libre (dessin dans lequel ne figurent que les informations relatives aux quantités pertinentes), puis d'un schéma « institutionnalisé » qui constitue alors une modélisation)

Je modélise : à l’écrit à l'aide d'un schéma en barres, puis (ou) d'une opération.

Je calcule : on effectue l'opération, de manière libre (mentalement, en ligne, en colonne, par étapes, etc..)

Je communique : (plutôt à l'écrit) on transmet sa solution au problème. On garde la mémoire de cette résolution pour qu’elle puisse resservir dans d’autres contextes

Un cadre pour la résolution de problèmes

CHERCHER


RAISONNER

COMMUNIQUER


LES PROBLEMES QUELS PROBLEMES?

Les étapes de la résolution de problèmes

Lire ou écouter

Se représenter
Elaborer le sens
Exécuter une procédure Communiquer le résultat

Chacune des étapes pouvant être source de difficulté pour les enfants.

ANALYSE DE PRODUCTION D'ELEVES EN GROUPE

Problème de Lise

Lise a 10 €. Le paquet de gâteaux qu’elle aime coûte 3,49 €. Une bouteille de soda coûte 1,29 €.
Combien lui manque-t-il pour acheter deux paquets de gâteaux et trois bouteilles de soda ?

Problème des poules et des lapins
En se promenant dans la campagne, Julie a vu des poules et des lapins dans une ferme. Le paysan lui dit qu’il y a 15 têtes et 42 pattes. Peux-tu aider Julie à savoir combien il y a de poules et combien il y a de lapins ?

L'ENONCE

ANTICIPER LES DIFFICULTES DES ELEVES

OUTILS ET CALCULS

PROCEDURES/ SHEMATISATION

COMMUNICATION

Typologie des erreurs (Astolfi):



Il distingue huit origines possibles :

— Compréhension des consignes.

— Habitudes scolaires ou mauvais décodage des attentes.

— Conceptions alternatives des élèves.

— Opérations intellectuelles impliquées.

— Démarches adoptées.

— Surcharge cognitive.

— Origine dans une autre discipline.

— Complexité propre du contenu

 Apprendre à lire les énoncés avec leurs spécificités..


 Construction d’une représentation mentale de la situation mathématique. Schématisation, affichages référents

 C’est cette représentation qui permet la réalisation des calculs ou la mobilisation des procédures exigées par la résolution.

Difficultés dans la lecture des énoncés (J.LBREGEON)

Comprendre les éléments textuels et linguistiques des énoncés

 Problèmes orthographiques
 Problèmes textuels
 Problèmes lexicaux
 Problèmes syntaxiques

La formulation de l’énoncé:

◦ Emplacement de la question
◦ Placement des transformations avant la mention de l'état
◦ Ordre d’introduction des données numériques

Travailler les consignes (J.M.ZAKHARTCHOUK)

Les consignes mettent en jeu un passé, un présent, un futur.
 Le passé: ce qui précède la consigne
 Le présent: analyse méthodique de la consigne
 Le futur: anticipation sur la consigne réalisée
Il faut aider les élèves à gérer ces trois temps.

Partie injonctive de l’énoncé:
 La consigne est un ordre
 La consigne est une question

LE FRANCAIS DANS LES ENONCES MATHEMATIQUES

Travailler sur la Forme de l’énoncé

•Identifier un énoncé de problème
•Choisir la question
• Associer question et réponse
•Reconstituer un énoncé de problème
• Résoudre un problème à plusieurs étapes
• Distinguer partie informative / injonctive
•Travailler les connecteurs
•Travailler la forme lexicale (additif/ soustractif/ multiplicatif, de partage)
•Travailler la forme syntaxique (inversion sujet/verbe, implicite/ explicite, voix passive)

PISTES DE TRAVAIL

-> Rédiger des énoncés de problèmes
-> Travailler sur les analogies naïves
-> Varier les formes et les approches
-> Venir en aide aux élèves en difficultés


VIGILANCE FACE AUX RESSOURCES appelées

-> méthodologie de la résolution de problèmes

-> aides méthodologiques pour la résolution de problèmes

Des tâches à questionner

• Souligner les informations utiles

• Barrer les informations inutiles , rechercher les informations maquantes

• Mots-clé ou indices

•Repérer si le texte proposé est un problème

• Identifier l’opération qu’il faut faire

Ne permettent pas d’améliorer la résolution de problèmes

1- Elles supposent qu’il existe une aptitude générale à la résolution de problèmes, indépendante des connaissances notionnelles

2- Quand on les analyse, ce sont des tâches qui ne peuvent pas être faites sans résoudre le problème, elles sont parties prenantes de la résolution, elles ne sont pas antérieures, ce que confirment les travaux de psychologie cognitive.

-> Fichiers de problèmes du cycle 3

-> Le jeu du problemo



Si l’on considère l'énoncé de problème comme un type de texte particulier, on pourra donc l'étudier, le décortiquer en utilisant différentes stratégies de lecture...

…..ce qui devrait permettre à nos élèves de cheminer dans l'apprentissage des stratégies de résolution de problème, tout en faisant un pas de plus dans la maîtrise de la langue.

Comment faisons-nous, experts, pour discriminer ces quatre problèmes et leur associer une opération directe adaptée ?

Ce que nous apprennent les élèves résolveurs

-> Les références mémorielles sont filtrées par des inférences et contrôles sémantiques, pragmatiques et syntaxiques

Du point de vue cognitif

Les énoncés de ces quatre problèmes s’appuient sur le même contexte, présentent la même structure syntaxique (similarité de lecture-compréhension), posent la même question (combien de tulipes dans UN massif ?), mettent en jeu les mêmes nombres (15 et 60) et pourtant ils relèvent d’opérations arithmétiques différentes.

Le rapprochement de ces énoncés invalide déjà les aides méthodologiques évoquées précédemment, car peu de choses, à part les connaissances du sujet qui doit le résoudre (notamment sa compréhension des différentes situations), permet de discriminer ces quatre énoncés.


On réfléchit à peine, l’opération à faire s’invite toute seule,

- On peut avoir une évocation imagée,

- Certains mots inducteurs ont induit une opération (rangées, …).

Ces exemples permettent d’invalider les aides méthodologiques portant sur des “compétences isolées” (chercher la question, relever les informations utiles, inutiles….)*

""Reconnaitre un problème est lié à la représentation évolutive que le sujet s'en fait et à sa mémoire des problèmes" (JULO 1995)"


DEUX POSSIBILITES POUR L'ELEVE


Processus représentationnels
Le sujet construit une représentation cognitive (mentale) du problème. Le problème peut lui évoquer un problème autre, déjà résolu.


Processus opératoires
Le sujet déclenche un traitement :
* ce traitement peut être inféré de sa mémoire s’il a reconnu d’une certaine façon le problème : nous et les massifs de fleurs
* s’il ne reconnait pas le problème , il lui faut construire une nouvelle stratégie : le problème des châtaignes en cycle 3

Attention : ces processus sont simultanés, ils interagissent ! C’est l’interaction de ces processus qui font réussir la résolution.

Cette théorie détaille les rôles essentiels de 2 formes de mémoires :

◦ La mémoire de travail qui est le lieu de la conscience et de la réflexion. Cette mémoire est limitée aussi, plus elle est « pleine » plus il est difficile de réfléchir .

◦ La mémoire à long terme qui permet le stockage de toutes les informations. Plus la mémoire à long terme contient d’éléments permettant de créer des liens et des analogies, plus la mémoire de travail est déchargée et plus elle est disponible pour le travail réflexif. Il y a donc une nécessité d’automatiser certaines procédures pour libérer la mémoire de travail. Il faut donc disposer de connaissances factuelles et procédurales dans la mémoire à long terme pour augmenter l’efficacité de la mémoire de travail.


´Cette courte explication a des incidences énormes sur les pratiques pédagogiques

◦ Le stockage en mémoire à long terme implique une répétition des tâches (entraînement) pour automatiser, une pratique espacée pour rechercher en mémoire et consolider, des tests pour la récupération mémorielle.


De fait, une approche pédagogique structurée et explicite, du simple au complexe, du guidage vers l’autonomie, en favorisant le travail des automatismes, le feed-back et la récupération serait ce qu'il y a de plus adapté.

CONSEQUENCES SUR LES ENJEUX DE LA RESOLUTION DE PROBLEME

1- Enrichir la mémoire des élèves sur les problèmes :


-> Vers élèves : donner des occasions aux élèves de résoudre des problèmes et de les réussir seuls

-> Vers enseignants /vers programmes : définir des types de problèmes dont on attend qu’ils soient résolus « automatiquement » par les élèves
Mais quels problèmes?

2. Permettre l’invention de procédures :
Mais avec quelle finalité mathématique ?

CREER UNE MEMOIRE DES PROBLEMES

CLASSER LES PROBLEMES

Enjeu élève : les mémoriser


• Pour enrichir la mémoire des problèmes :
-> Qui constituent des éléments « simples » du raisonnement
-> Dont on vise la résolution quasi immédiate
-> Des problèmes liés à une opération : 2 données, trouver la troisième
-> sans information superflue
-> avec une syntaxe simple un contexte facile à comprendre (a priori) = Les « one step problems »


Peu de problèmes de ce type dans les manuels et surtout l’organisation n’est pas pensée. = Outils théoriques qui les organisent : VERGNAUD

LES PROBLEMES BASIQUES

Faire apparaître des ressemblances profondes d’un point de vue mathématiques (problèmes isomorphes) en dépit des différences sémantiques

Outils théoriques qui organisent les problèmes :

Vergnaud 1985, 1997 Structures additives (champ conceptuel addition-soustraction ) ET structures multiplicatives (champ conceptuel multiplication division -proportionnalité) un outil crucial pour les problèmes arithmétiques

Vergnaud distingue six types de problèmes, dont quatre plus fréquents à l’école :

-> les problème de transformation d’état
-> les problème de composition d’état
-> les problème de comparaison d’état -
> les problème de composition de transformation

On trouve aussi, dans certaines présentation de ses typologies, deux catégories moins utilisées :
-> les problèmes de transformation d’une relation
-> les problèmes de composition de deux relations

Trier des enonces selon les catégories

Mise en oeuvre dans une sequence

Proposition : une stratégie d’enseignement valable du cycle 1 au cycle 3 : Une progression spiralaire construite autour de Situations de référence :

Découvrir des modèles référents : Situation de référence : séance longue (45 min à 1h),avec des temps de manipulation, de recherche, et de catégorisation. Dans ce type de séance les Temps de mise en commun sont importants et débouchent sur l’élaboration de traces mémoires.


Pour s’approprier ces modèles : des activités spécifiques : ce sont des séances plus courtes entre 20 à 30 min. Les élèves s’appuient sur les modèles connus. Ils doivent résoudre/identifier, inventer, transformer. En s’appuyant sur les références affichages ou mémos. Les mises en commun ciblées sur les difficultés partagées.
Pour s’entraîner à résoudre : Activités ritualisées : Des temps courts (5 à 10 min). Toujours en s’appuyant sur les modèles connus : résoudre des problèmes courts (énoncé oral/écrit/visuel).


Mettre en ordre les différentes phases de la séance D'INTRODUCTION DU PROBLEME DE REFERENCE


Ou

Explorer les documents de mise en oeuvre de séquence d'enseignement de problemes sur le paddlet

➢ Augmenter la fréquence des problèmes soumis aux élèves : 15problèmes par semaine


-> Varier les problèmes proposés :

Jouer sur les types de problèmes: recherche du tout ou d’une partie, problèmes de transformation, problèmes de comparaison

-> Jouer avec les nombres en jeu: travail sur la numération ( nombres simples au plus complexes), travail sur le calcul, puis apparition des retenues, utilisation de tables moins connues, etc….

-> Jouer sur le nombre d’étapes.

Construction d’institutionnalisations pour avoir des références, des modèles sur lesquels s’appuyer :
-> Des affichages, en nombre limité mais bien choisis, en s’appuyant sur les différents types de schémas présentés à la classe.
-> Des traces écrites dans les cahiers

La méthode maths en vie

Des problèmes complexes, des problemes pour cheRcher

DES PROBLEMES COMPLEXES

RESOUDRE DES PROBLEMES COMPLEXES nécessite de :
-> Connecter des informations pour construire des sous-problèmes calculables
-> Savoir résoudre ces problèmes basiques

DES PROBLEMES A-TYPIQUES
Enjeu élève : inventivité stratégique et flexibilité de raisonnement , persévérance et confiance en soi Un exemple: la narration de recherche Des problèmes pour chercher

Installer l'éleve dans une posture de chercheur

Le rôle de l'enseignant et celui de l'élève selon Britt-Mari Barth

Créer la confiance nécessaire pour engager les apprenants de façon positive:

LE CONTRAT D’INTERSUBJECTIVITE

POSTURE D'ELEVE/ POSTURE D'ENSEIGNANTS

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.


Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.


La posture attendue chez l’élève est la posture réflexive :

l’élève fait la tâche, sait pourquoi il l’a faite, comment il l’a faite, quels sont les obstacles qu’il a rencontrés et il est capable de le verbaliser.

Les élèves les plus en réussite disposent d’une gamme plus variée de postures et savent en changer devant la difficulté.

Une posture enseignante de contrôle induit chez les élèves des postures première, scolaire voire de refus.

Des postures enseignantes de lâcher prise et d'accompagnement induisent chez les élèves des postures réflexive et créative.

INSTALLER L’ELEVE DANS UNE POSTURE DE CHERCHEUR Provoquer chez les élèves le désir de chercher et expliciter le contrat pour les engager dans la recherche

Exemples et contre-exemples de gestes de métiers correspondant à la posture d’accompagnement en résolution de problemes

ANALYSER DES EXTRAITS VIDEOS

Pour chaque extrait vidéo :
-> Quelle(s) posture(s) du maître (au sens de Bucheton) identifiez-vous ?
-> En quoi s’agit-il d’exemples ou de contre-exemples? Justifiez.
-> Si vous repérez des manières de faire qui relèvent de contre-exemples, donnez des pistes pour les transformer en exemples.

Thank

You!