MAPA FUNCIONES

Mapa Conceptual

FUNCIONES

DEF. FUNCIÓN

CONTINUIDAD

FUNCIONES ELEMENTALES

Vamos a identificar funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Vamos a interpreta críticamente datos de tablas y gráficos sobre diversas situaciones reales, representaremos datos mediante tablas y gráficos utilizando ejes y unidades adecuadas, describiremos las características más importantes que se extraen de una gráfica y relacionaremos distintas tablas de valores y sus gráficas correspondientes. Aplicaciones como GeoGebra, Desmos e InterMatia para actividades interactiva nos van a facilitar nuestro trabajo.

CARACTERÍSTICAS

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES: Para estudiar el comportamiento de una función, debemos conocer en qué intervalos o semirrectas crecerá o decrecerá, dónde alcanzará un máximo o un mínimo, si será periódica o no, simétrica o no... En este curso, nos centramos más en el estudio de las funciones a partir de una gráfica, mientras que en bachillerato, el estudio será a partir de una ecuación, necesitando para ello, el concepto de "derivada". Lo interesante en este curso es que sepas describir los intervalos de crecimiento y decrecimiento, que encuentres las coordenadas de los extremos relativos y/o absolutos, que encuentres los puntos de corte con los ejes coordenados...pequeños conceptos que te harán grande en el próximo curso.

DOMINIO DE DEF.

CORRESPONDENCIA

Una correspondencia entre dos conjuntos X e Y, es cualquier relación que se pueda establecer entre los elementos del conjunto inicial (X) y el de llegada o final (Y). ejemplos: 1) A cada alumno/a le corresponde la inicial de su nombre 2) A cada alumno/a le corresponde el tipo de lectura que le gusta

FUNCIÓN

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, X e Y, de tal forma que a cada elemento del conjunto inicial (X) le corresponde UN ÚNICO elemento del conjunto final (Y). En el caso de ser X=Y=R (conjunto de los números reales) se dice que es una "función real de variable real" La expresamos mediante la forma. y=f(x) Las funciones pueden venir dadas mediante una ecuación, una gráfica, una tabla de valores o un enunciado. Notaremos por x, a la variable independiente (los valores del conjunto inicial) e y a la variable dependiente (los valores del conjunto de llegada, tal que, y=f(x))

DOMINIO

Dominio de definición de una función dada por su ecuación:

• Las funciones polinómicas están definidas en todo R ( no hay problemas)
• Con las funciones racionales "puede" haber problema en el denominador, por tanto, siempre resolveremos la ecuación que anule al denominador. Si existen puntos que lo anulan, éstos no pueden estar en el dominio de la función.
• Las funciones exponenciales siempre están definidas en todo R (tampoco darán "problema"
• Las funciones irracionales sólo están definidas cuando el radicando es mayor o igual a cero (mayor estricto si se encuentra en un denominador). Resolveremos una inecuación
• Las funciones logarítmicas sólo están definidas en valores estrictamente positivos. Resolveremos una inecuación

RECORRIDO

Para conocer el recorrido de una función dada por su ecuación, tenemos que despejar "x" la variable independiente en función de "y", la variable dependiente y conocer su "dominio".

CONTINUIDAD

Intuitivamente, una función es continua cuando podemos representar su gráfica de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel, pero esto no es una definición rigurosa... El problema que se plantea es que, la definición formal de "continuidad" requiere de un concepto (límite) que no verás hasta el próximo curso, así que no me queda otra que hacerte un "spoiler": Una función f(x) es continua en un punto x=a, si existe f(a) y coincide con los límites laterales Así, la función será continua, cuando lo sea en todos los puntos de su dominio.

DISCONTINUIDAD

¿Cuándo crees que una función va a ser discontinua en un punto?...me da vergüenza escribir esto, pero...será discontinua, cuando no sea continua En general, si una función es discontinua, presenta algún problema en algún punto (de su dominio), algún intervalo o semirrecta.

CRECIMIENTODECRECIMIENTO

Una función f f es estrictamente creciente en a"a" si, y solo si, existe un entorno de a "a" tal que para cualquier x "x" que pertenezca a ese entorno se cumple que si x"x" es estrictamente mayor que "a", a entonces f(x) f(x) es estrictamente mayor que f(a) f(a), y que si x "x" es estrictamente menor que "a", a entonces f(x) f(x) es menor que f(a) f(a). En lenguaje algebraico, se diría así: Una función f f es estrictamente decreciente en a"a" si, y solo si, existe un entorno de a "a" tal que para cualquier x "x" que pertenezca a ese entorno se cumple que si x"x" es estrictamente mayor que "a", a entonces f(x) f(x) es estrictamente menor que f(a) f(a), y que si x "x" es estrictamente menor que "a", a entonces f(x) f(x) es mayor que f(a) f(a). En lenguaje algebraico, se diría así:

PERIODICIDAD

POLINÓMICAS

Las funciones cuya expresión analítica es un polinomio, se llamarán "Funciones polinómicas", ¿fácil no? Estas funciones no nos van a causar ningún problema, es decir, su dominio de definición es R, son continuas...están guay. Estos años de pandemia es posible que no acabaras el temario, así que vamos a recordar las características de las funciones lineales y las cuadráticas.

RACIONALES

Las funciones racionales se expresan como cociente de dos polinomios, es por ello que el dominio de estas funciones (ya lo hemos estudiado) será el conjunto R excepto aquellos puntos (si los hubiera) que anulan al polinomio del denominador. Pero eso sí, son continuas en todo su dominio de definición. Lo más importante que vamos a estudiar de ellas este curso son las asíntotas verticales que presenten. Un caso particular de funciones racionales son las "funciones de proporcionalidad inversa" f(x)=k/x siendo k la constante de proporcionalidad. La gráfica de estas funciones tiene un nombre conocido: "hipérbolas" Estudiaremos con mayor profundidad estas funciones porque son muy "monas", dependiendo del valor de la constante K (mayor o menor que cero) la gráfica de la función quedará representada en cuadrantes diferentes. Dependiendo del polinomio cociente, la parábola se traslada horizontalmente hacia la izquierda o hacia la derecha...veamos ejemplos

PUNTOS DE CORTE

SIMETRÍA

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Una función tiene un máximo relativo en el punto x=a cuando en valores anteriores al punto x=a es creciente y en valores mayores que el punto x=a es decreciente, siendo el valor que toma en el punto x=a, mayor que cualquier otro inmediato anterior o posterior. Una función tiene un mínimo relativo en el punto x=a cuando en valores anteriores al punto x=a es decreciente y después del punto x=a es creciente, siendo el valor que toma en el punto x=a, menor que cualquier otro inmediato, anterior o posterior. El máximo absoluto (resp. mínimo absoluto), es el punto en que la función toma el valor más alto (resp. más bajo). Podríamos decir que los máximos relativos son los máximos que no son absolutos, y los mínimos relativos, los mínimos que no son absolutos. Dependiendo de la función, habrá máximos absolutos, relativos o no al igual que mínimos.

IRRACIONALES

EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

ASÍNTOTAS

Asíntotas: son rectas a las que se aproxima la gráfica de una función sin llegar a tocarla. Pueden ser horizontales, verticales u oblícuas. En este curso sólo vamos a identificarlas. Será en bachillerato, cuando conocido el concepto de límite, puedas obtener la ecuación de dichas asíntotas.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

La Tasa de Variación Media (TVM) es la primera idea intuitiva del concepto que conocerás el próximo curso y al que llamarás "derivada de una función en un punto", pero para entenderlo este curso, veamos lo siguiente: la tasa de variación media de una función f(x) en un intervalo [a, b] nos indica cuánto cambia la función (de media) en el intervalo [a, b] Para obtenerla, basta hacer el cociente entre el incremento de los valores de la imagen en los extremos del intervalo y el incremento de los extremos del intervalo

Nivel educativo

Nivel educativo: 4º ESO Materia: Matemáticas B Teresa Pavón Reguera @teresamath

A cada figura geométrica le corresponde el número de lados A cada alumno/a le corresponde su día de cumpleaños

A cada persona le corresponde su número de pie A cada número natural le corresponde su doble f(x)=3x-1

El dominio de definición de una función dada por su gráfica es fácil de obtener. Basta ver para qué valores de x hay función. Ejemplo: En este caso, el dominio de la función es [-1, 2] U [3, 5) U (5, 8]

El recorrido de una función dada por su gráfica es sencillo de obtener. Basta ver en qué intervalo o semirrecta en el eje de ordenadas, hay función. ejemplo: En estas funciones, el recorrido de la función es [-1, 1]

Las funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas, racionales, irracionales y trigonométricas son continuas en su dominio de definición. ¿Qué funciones pueden dar problemas? aquellas funciones que vengan definidas a trozos, pueden presentar "discontinuidad" en los puntos donde hay cambio de función.

Intuitivamente, se puede ver que la gráfica de la izquierda es creciente, mientras que la de la derecha es decreciente.

Gracias a InterMatia: En esta gráfica podemos ver que se alcanzan dos máximos (uno de ellos es absoluto y el otro relativo) y dos mínimos (uno de ellos absoluto y el otro relativo) Max (relativo) en (-3, -1) y absoluto en (10, 1) Mín (relativo) en (5, -4) y absoluto en (-10, -6)

Dada una función f(x) mediante una ecuación, el cálculo de los puntos de corte con los ejes coordenados es bien sencillo: Haciendo x=0, obtenemos los puntos de corte con el eje de ordenadas Haciendo y=0, obtenemos los puntos de corte con el eje de abscisas (de esto sabes ya mucho, porque hemos resuelto muchas ecuaciones)

Una función es simétrica par (o simétrica respecto de un eje vertical) si f(x)=f(-x); por ejemplo, las funciones cuya gráfica son una parábola, son simétricas pares. Una función es simétrica impar (o simétrica respecto al origen de coordenadas) si f(-x)=-f(x); por ejemplo, las funciones polinómicas cuyos exponentes son todos impares son simétricas respecto del origen de coordenadas.

Una función f(x) es periódica de periodo T cuando f(x)=f(x+T)

Las funciones trigonométricas f(x)=sen(x) y g(x)=cos (x) son periódicas de periodo T = 2π Otras:

La función "verde" es simétrica par la función "azul" es simétrica impar (o simétrica respecto del origen de coordenadas) Por la propia definición de "función", no hay funciones que sean simétricas respecto del eje x (habría valores de x a los que le corresponde más de una imagen)

Si queremos calcular los puntos de corte con los ejes coordenados de la función f(x)= x-4 Puntos de corte con el eje de ordenadas (x=0) y=0-4=-4 el punto de corte es (0, -4) Puntos de corte con el eje de abscisas (y=0) x-4=0, de donde x=4, el punto de corte es (4, 0)

Las funciones irracionales son aquellas en las que un polinomio se encuentra bajo el signo de una raíz. Veremos las funciones irracionales con raíces cuadradas y, obviamente, representaremos sólo una de las ramas (ya hemos visto que las funciones irracionales tienen dos signos + y - , pero si representamos ambas ramas, deja de ser una función, el por qué ya lo sabes) Estas funciones son también continuas en su dominio de definición. El dominio de definición de las funciones irracionales ya sabes cómo obtenerlo, pero te lo recuerdo: serán todos los puntos de R que verifiquen que el radicando sea mayor o igual que cero, por tanto, resolvemos una INECUACIÓN

Las funciones exponenciales verifican que su dominio es todo R, pero su recorrido sólo son los valores estrictamente positivos, eso dice mucho de ellas...Son funciones continuas y, dependiendo de la base (mayor que 1 o entre 0 y 1 y a la que llamaremos "a"), la función será creciente o decreciente (pero siempre positiva). Lo veremos gráficamente. Las funciones logarítmicas verifican que su dominio son valores estrictamente positivos (ya vimos el dominio de estas funciones. No está definida para el cero ni valores negativos), son continuas...y ¡¡¡son las funciones inversas de las exponenciales!!! Dependiendo de la base (mayor que 1, o entre 0 y 1) la función será creciente o decreciente. La gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante) de la gráfica de la función exponencial.

Una función f(x) es periódica de periodo T cuando f(x)=f(x+T)

Una función f(x) es periódica de periodo T cuando f(x)=f(x+T)

TVM en [-7, 10] es el cociente entre f(10)-f(-7) y 10-(-7), es decir, como f(10)=-10 f(-7)=-100, la TVM en [-7, 10] es 90/17 Mucho cuidado con la representación en los ejes coordenados de la función. ¡Observar la escala!

Esta gráfica presenta una asíntota horizontal que es la recta y=-18 Esta gráfica presenta una asíntota vertical que es la recta x=20 Esta gráfica presenta una asíntota horizontal que es la recta y=x-2