Copy - Rechengesetze
Laurens Melcher
Created on March 22, 2022
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Transcript
Rechengesetze
Von Malte, Louis, Laurens, Frederik, Elias, Jan, Lennart, Magnus und Tillmann
Gleichheit von Termen
Inhalt:
Gleichheit von Termen
Assoziativgesetz
Assoziativgesetz:
a & (b & c) = (a & b) & c
a | (b | c) = (a | b) | c
Distributivgesetz
Distributivgesetz:
a & (b | c) = (a & b) | (a & c)
a | (b & c) = (a | b) & (a | c)
Kommutativgesetz
Kommutativgesetz:
a & b = b & a
a | b = b | a
Dualitätsgesetz
Dualitätsgesetz:
!0 = 1
!1= 0
Wenn bei einer Gleichung nur UND- bzw. ODER-Zeichen sind, können beliebige Klammern gesetzt werden.
Das negierte der einen Variable ergibt das andere.
Wenn bei einer Gleichung nur UND- bzw. ODER-Zeichen sind, kann unterschiedlich mutlipliziert werden.
Die Reihenfolge der Variablen kann vertauscht werden, wenn UND- bzw. ODER-Zeichen gegeben sind.
Die Boolsche Variable
Die Boolsche Variable ist eine Variable, die nur die Werte WAHR oder FALSCH annehmen kann.
Gleichheit von Schaltungen
Eine Schaltung kann auf verschiedene Arten gebaut werden. Allerdings ist es sinnvoll, eine Schaltung so einfach wie möglich zu bauen.
Kürzen von Termen
Ein Ausdruck kann sich über mehrere Zeilen erstrecken.
Rangfolge der Opratoren:
1. NICHT
2. UND
3. ODER
Wahrheitstabelle und Schaltterm.
Schaltterm:
(!a & b & !c) | (a & b & !c)
Wahrheitstabelle:
a | b | c | Ergebnis |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
KV-Diagramme
Dabei werden am Rand die verschiedenen Eingabemöglichkeiten notiert, danach werden diese ausgewertet. Ein einfaches Beispiel sehe in etwa so aus:
Wenn man das auf e
KV-Diagramm [&] A an A aus
B an 1 0
B aus 0 0
Man kann außerdem noch größere und Komplexe KV-Diagramme aufstellen:
A an D an A aus D aus A an D aus A aus D an
B an C an
B aus C aus
B an C aus
B aus C an
title
KV-Diagramm beim UND-Gatter.
Komplexeres KV-Diagramm
| KV-Diagramm (&) | A = an | A = aus |
| B = an | 1 | 0 |
| B = aus | 0 | 0 |
| A = an ; D = an | A = an ; D = aus | A = aus ; D = an | A = aus ; D = aus | |
| B = an ; C = an | ||||
| B = an ; C = aus | ||||
| B = aus ; C = an | ||||
| B = aus , C = aus |
Aufgabe 2
Aufgabe 1
Zeige mit Hilfe von Wahrheitstabellen die beiden Gesetze von De Morgan:
a ∧ b = a ∨ b
a ∨ b =a ∧ b
Lösung
Lösungen:
1) a
2) a
3) 0
4) 1
5) a
6) a
7) 0
8) 1
9) a
10) a
1. Schaltterm:
| a | b | A |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
2. Schaltterm:
| a | b | A |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |