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Vorbereitung SÜ10 LZH:

Terme & Termumformungen

Aufgaben (OHNE TR)


Lösungen:

Weiter geht's mit linearen Funktionen

1

Terme, Funktionen, Gleichungen

Terme sind Rechenvorschriften. Man unterscheidet zwischen Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten und Potenzen.
Die Berechnnung eines Terms erfolgt in einer bestimmten Reihenfolge: Klammer-, vor Potenz-, vor Punkt-, vor Strichrechnung (KlaPoPuStri)

Termumformungen sind:

2

  • Ordnen und Zusammenfassen:
    a + 11 + b + 5 + 3a = a + 3a + b + 11 + 5 = 4a + b + 16
    5a · 7ab · 2ab = 5 · 7 · 2 · a · a · a · b · b = 70a³b²
  • Addieren und Subtrahieren von Klammern
    a + b + (c - d) = a + b + c - d
    3x + 4y + (6x - 2y + 7) = 3x + 4y + 6x - 2y + 7 = 9x + 2y + 7
    a + b - (c - d) = a + b - c + d
    uv² + 11 - (2uv² + u) = uv² + 11 - 2uv² - u = -uv² - u + 11
  • Multiplizieren mit Klammern (Ausmultiplizieren):
    a · ( b + c + d) = ab + ac + ad
    2x · (x + y - xy) = 2x² +2xy - 2x²y
    (a + b) · (c +d) = ac + ad + bc + bd
    (2ab + x²) · (b + y) = 2ab² + 2aby + bx² + x²y
  • Ausklammern (auch "Faktorisieren" genannt):
    ab + ac + ad = a(b + c + d)
    3a²b + 9ab² + 6ab = 3ab · (a + 3b + 2)
  • Umformungen mit Hilfe der Binomischen Formeln

3

4. Löse die Klammern auf.

a) (2x + 3)²

b) (3y - z)²

c) (12 - a)(12 + a)

d) 5 - (8a + 2)²

e) -2(x - 8)²

f) (x + 1)(x + 1)²

4

WICHTIG:


In der Strichrechnung heißt Zusammenfassen: Zusammenfassen der Koeffizienten gleicher Variablen. Es dürfen nur Variablen mit gleicher Potenz zusammengefasst werden:

2a + 4a = 6a

2a + 4a² kann nicht zusammengefasst werden


In der Punktrechnung werden Zahlen und Variablen getrennt zusammengefasst:

2a · 4a = 8a²

2a · 4a² = 8a³

4.

a) (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9

b) (3y - z)² = 9y² - 6yx + z²

c) (12 - a)(12 + a) = 144 - a²

d) 5 - (8a + 2)² = 5 - (64a² + 32a + 4) = 1 - 64a² - 32a

e) -2(x - 8)² = -2(x² - 16x + 64) = -2x² + 32x - 128

f) (x + 1)(x + 1)² = (x + 1)(x² + 2x + 1) = x³ + 2x² + x + x² + 2x + 1

= x³ + 3x² + 3x + 1


TIPP:


Steht vor der Klammer nur ein +, kann die Klammer einfach weggelassen werden.


Steht vor der Klammer nur ein -, drehen sich alle Vorzeichen der Elemente in der Klammer um.

HINWEIS:


Multipliziert man einen einzelnen Faktor mit einer Klammer, so muss jedes Element in der Klammer mit diesem Faktor multipliziert werden.


Wird eine Klammer mit einer anderen Klammer multipliziert, so muss jedes Element der einen Klammer mit jedem Element der anderen Klammer multipliziert werden.

HINWEIS:


Ausgeklammert (d.h. vor die Klammer geschrieben) werden alle gemeinsamen Faktoren, die in ALLEN Summanden enthalten sind.


In der Klammer steht das, was übrig bleibt, wenn man alle ursprünglichen Summanden durch das teilt, was ausgeklammert wird.

Vorbereitung SÜ10 LZH:

Lineare Funktionen

Aufgaben (OHNE TR)


Lösungen:

6

5

7

Zurück zu Termen & Termumformungen

Weiter geht's mit linearen Gleichungen

Terme, Funktionen, Gleichungen

Der Graph jeder linearen Funkion ist eine Gerade. Dabei gibt b an, wo die Gerade die y-Achse schneidet (y-Achsenabschnitt). Ist b = 0, dann verläuft die Gerade durch den Ursprung; die Funktion lautet dann
y = m · x und wird auch proportional genannt.
Die Zahl m heißt Steigung der Geraden. DIe Steigung kann positiv oder negativ sein. Sie kannn mit dem Steigungsdreieck bestimmt werden.

Alle Geraden mit derselben Steiigung verrlaufen parallel. Ist m = 0, dann verläuft die Gerade parallel zur x-Achse. Ist m ≠ 0 , dann schneidet die lineare Funktion die x-Achse. Diese Stelle bezeichnet man als Nullstellle der Funktion.

5. Fülle die Wertetabelen
aus. Woran erkennt man an den Wertetabellen,
dass es sich um lineare
Funktionen handelt?

6. Bestimme die Steigung der eingezeichneten Geraden bzw. der Geraden durch die angegebenen Punkte.

e) A(3; 6), B(5, 10)
f) P(-4; 1), Q(3; -8)

7. Bestimme die Funktionsgleichungen der abgebildeten Geraden.

5.


Wenn x-Werte den gleichen Abstand haben, müssen auch die y-Werte einen gleichen Abstand haben (d.h. + oder - eine konstante Zahl)


7.


WICHTIG:


Für die Berechnung der Steigung mit dem Steigungsdreieck gilt:


m = dy : dx


Hierbei ist dy der Unterschied in y-Richtung (positiv bei steigender Gerade, negativ bei fallender Gerade) und dx der Unterschied in x-Richtung der beiden Punkte.


Wenn man statt des Graphen nur zwei Punkte gegeben hat, kann man diese entweder skizzieren und dann das Steigungsdreieck verwenden, oder direkt rechnen.


Beispiel: Die Steigung der Geraden durch die Punkte A(2; 8), B(-3; 12) ist gleich


(12 - 8) : (-3 - 2) = -4/5 = -0,8

dy dx



HINWEIS:


Bei linearen Funktionen lässt sich der y-Achsenabschnitt zwar leicht ablesen, bei anderen Funktionen jedoch nicht immer. Daher sollte man folgendes wissen:


Der y-Achsenabschnitt ist die y-Koordinate des Schnittpunktes mit der y-Achse. Dort ist die x-Koordinate gleich Null. Um also den y-Achsenabschnitt zu berechnen, muss man nur x = 0 in die Funktion einsetzen: b = f(0).


Dieses Verfahren kann bei JEDER Funktion angewendet werden!




6.


a) m = 1 : 3 = 1/3

b) m = (-3) : 3 = -1

c) m = 3 : 2 = 1,5

d) m = (-5) : 3 = -5/3

e) m = (10 - 6) : (5 - 3) = 4 : 2 = 2

f) m = (-8 - 1) : (3 - (-4)) = (-9) : 7 = -9/7

Vorbereitung SÜ10 LZH:

(Lineare) Gleichungen

Aufgaben (MIT TR)


Lösungen:

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10

12

11

Zurück zu linearen Funktionen

Terme, Funktionen, Gleichungen

Lineare Gleichungen, oder allgemein Gleichungen, in denen die Variable nach dem Zusammenfassen nur an einer Stelle vorkommt, lassen sich mit sogenannten Äquivalenzumformungen lösen.
Äquivalenzumformungen sind:
- Das Addieren/Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung
- Das Multiplizieren/DIvidieren beider Seiten der Gleichung mit derselben von Null verschiedenen Zahl.

Ziel ist, die Variable schrittweise mit Äquivalenzumformungen freizustellen, wobei immer die letzte Rechnung (siehe Terme und ihre Vorfahrtsregeln) zuerst rückgängig gemacht wird.

Beim Arbeiten mit Funktionen treten Gleichungen immer dann auf, wenn:

In all diesen Fällen wird natürlich zunäst das eingesetzt, was man hat. Bei Schnittpunkten werden die Funktionsterme gleichgesetzt, da ein Schnittpunkt beide Funktionsgleichungen erfüllen muss.

Beispiele:

1.) Sei f(x) = 2x - 10. Gesucht: A( ? ; 4) und Nullstelle.
2.) Gesucht ist die Gerade durch A(2; -1) und B(-8; 4)
3.) Bestimme den Schnittpunkt von f(x) = 2x + 1 und g(x) = 4x - 9

8. Berechne die Nullstellen der folgenden Funktionen.
a) f(x) = -2/5 x + 0,7
b) f(x) = 0,5x + 2,5
c) f(x) = 2x + 8

9. Bestimme, an welcher Stelle die folgenden Funktionen den Wert 4 annehmen.
a) f(x) = -2/3 x - 2
b) f(x) = 4/5 x + 8
c) f(x) = 3x - 2

11. Die Gerade g hat eine Steigung von m = 1,5. Die Geade h hat eine Steigung von m = -0,5. Sie schneiden sich im Punkt P (-3 ; 2). Bestimme die Funktionsgleichungen von g und h.

10. Der Graph einer linearen Funktion verläuft durch die angegebenen Punkte. Bestimme die Funktionsgleichung.
a) (-3 ; 2), (3 ; 0)
b) (-1 ; -3), (2 ; 3)
c) (-2 ; 5), (2 ; -1)

  • die y-Kooridnate eines Punktes auf dem Funktionsgraphen gegeben und die zugehörige x-Koordinate gesucht ist (speziell Nullstellen: f(x) = 0).
  • Punkte gegeben und Parameter von Funktionsgleichungen (z.B. m oder b) gesucht sind.
  • Schnittpunkte zweier Funktionen gesucht sind.

12. Bestimme den Schnittpunkt der beiden Funktionen f(x) = 4x + 12 und g(x) = -8x - 8

8.


10.


Lösung: y = -0,5x
Lösungsweg:
Zuerst bestimmen wir die Steigung.
m = (4-(-1)):(-8-2) = -0,5
Für die Berechnung von b ist eine Gleichung zu lösen. Wenn wir Punkt A verwenden, lautet sie:
-1 = -0,5 · 2 + b

Diese Gleichung erhalten wir, indem wir in die Gleichung y = mx + b

die Koordinaten von A ins x und y, und unsere berechnete Steigung m einsetzen. Alternativ hätten wir auch die Koordinaten von Punkt B verwenden können.

Aus der Gleichung ergibt sich: b = 0.




LÖSUNG: A(7; 4), Nullstelle bei x = 5


Lösungsweg:

1.) Es ist die Gleichung 4 = 2x - 10 zu lösen, da die y-Koordinate dem Funktionswert der Funktion an der Stelle x entspricht, also f(x) = 4.

4 = 2x - 10 | + 10
14 = 2x | : 2
7 = x
2.) Für die Nullstelle ist die Gleichung 0 = 2x - 10 zu lösen, da f(x) = 0 gilt.


0 = 2x - 10 | + 10
10 = 2x | : 2

5 = x




9.

Lösung: S (5; 5)


Lösungsweg:

Zuerst bestimmen wir die x-Koordinate des Schnittpunktes. Hierzu werden die Funktionen gleichgesetzt:

2x + 1 = 4x - 9.


Nun lösen wir diese Gleichung.

2x + 1 = 4x - 9 | - 4x; -1

-2x = -10 | : (-2)

x = 5


Die zugehörige y-Koordinate erhalten wir durch Einsetzen der x-Koordinate in eine der beiden Ausgangsfunktionen (der Punkt liegt ja auf beiden Graphen, daher ist es egal, welche wir nehmen):

y = 2 · 2 + 1 = 5



11.


Hier müssen nur die y-Achsenabschnitte der Funktionen bestimmt werden.


g(x) = 1,5x + 6,5

h(x) = -0,5x + 0,5


12.


Schnittpunkt bei S(-2 ; 8)