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CARACTERISTIQUES

D'UNE FONCTION DU SECOND DEGRE
Lecture graphique

Une fonction du second degré est du type f(x) = ax² + bx + c

a > 0

On peut lire graphiquement :

Un minimum

Des "zéros"

Des variations

Des limites

Un axe de symétrie

On la présente aussi dans certaines situations sous la forme factorisée


f(x) = a (x - x1).(x - x2)


Nous verrons ce cas dans un autre module !

f(x) = 0 pour cette valeur de x

f(x) = 0 pour cette valeur de x

En ce point f(x) a sa plus petite valeur, c'est le minimum

a est le coefficient de x²

Les branches sont tournées vers le haut !

C'est la plus petite valeur de la fonction

Ce sont les valeurs telles que f(x) = 0

soit les valeurs qui annulent la fonction !


Note : ces valeurs n'existent pas toujours, il peut aussi n'y avoir qu'une seule valeur qui annule f(x)

Cette observation dépend de la position de la courbe dans le repère

Dans notre exemple, la fonction est décroissante jusqu'au minimum puis croissante !

Si x tend vers -∞ alors f(x) tend vers +∞


Si x tend vers +∞ alors f(x) tend vers +∞


Il existe une autre notation pour les limites n'entrant pas dans ce niveau de formation !

Axe de symétrie


x = -1

Si x tend vers -∞ alors f(x) tend vers +∞


Il existe une autre notation pour les limites n'entrant pas dans ce niveau de formation !

Si x tend vers +∞ alors f(x) tend vers +∞


Il existe une autre notation pour les limites n'entrant pas dans ce niveau de formation !

L'axe de symétrie est une droite d'équation

x = -b/2a


Sujet développé dans l'étude de la fonction !

Représentation graphique...

Dans cet exemple :

L'équation f(x) = 0 n'a qu'une seule racine

La fonction est décroissante puis croissante

Elle a un minimum en x = 2

Elle a un axe de symétrie d'équation x = 2

a > 0, Les "branches" sont tournées vers +∞

Si x tend vers -∞ alors f(x) tend vers +∞

Si x tend vers +∞ alors f(x) tend vers +∞

a > 0

f(x) = 0 en ce point, c'est l'unique valeur qui annule la fonction !


C'est aussi son minimum, soit le point m(2 ; 0)

Axe de symétrie


x = 2

Représentation graphique...

a > 0

Dans cet exemple :

L'équation f(x) = 0 n'a pas de solution, la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses

La fonction est décroissante puis croissante

Elle a un minimum et un axe de symétrie

a > 0, Les "branches" sont tournées vers +∞

Si x tend vers -∞ alors f(x) tend vers +∞

Si x tend vers +∞ alors f(x) tend vers +∞

Axe de symétrie


x = -0,5

Minimum de la fonction !

Représentation graphique...

Le principe reste le même avec a < 0

2 racines !

1 racine !

Pas de racine !

L'équation f(x) = 0 a deux solutions

La fonction est croissante puis décroissante

Elle a un maximum et un axe de symétrie

a < 0, Les "branches" sont tournées vers -∞

Si x tend vers -∞ alors f(x) tend vers -∞

Si x tend vers +∞ alors f(x) tend vers -∞

L'équation f(x) = 0 a 1 solution

La fonction est croissante puis décroissante

Elle a un maximum et un axe de symétrie

a < 0, Les "branches" sont tournées vers -∞

Si x tend vers -∞ alors f(x) tend vers -∞

Si x tend vers +∞ alors f(x) tend vers -∞

L'équation f(x) = 0 a deux solutions

La fonction est croissante puis décroissante

Elle a un maximum et un axe de symétrie

a < 0, Les "branches" sont tournées vers -∞

Si x tend vers -∞ alors f(x) tend vers -∞

Si x tend vers +∞ alors f(x) tend vers -∞

à toi de t'exercer dans la suite des activités...