Want to make creations as awesome as this one?

Transcript

Plan Mathématiques
COLIGNY-Cornet

mercredi 9 mars et jeudi 14 avril 2022

Résolution de problèmes

SOmmaire

calendrier

fil rouge : l'affichage

apports didactiques

au menu de la formation

défi coopératif

Défi coopératif

Le défi chamallow

Matériel

  • 20 spaghettis
  • 1 mètre de ficelle
  • 1 mètre de ruban adhésif
  • 1 chamallow

Défi :

Objectif :
Favoriser la coopération pour nourrir la réflexion et atteindre un but commun.

Construire une structure autoportée permettant de soutenir le chamallow.

L'équipe gagnante sera celle dont la structure est la plus haute en 18 minutes.

Résultats aux évaluations nationales de septembre 2021
COLIGNY CORNET

+ info

Menu didactique

La résolution de problèmes ?

Le triptyque et la place de la VERBALISATION

outil d'aide à la résolution de problème : le modèle en barres?

7

1

5

6

2

4

+

3

obstacles à la résolution de problèmes

Problématique
Résolution de problèmes : Stratégies cognitives

?

Réactivation : la catégorisation de Vergnaud ?

Bonus

carte mentale

Pensez à noter :

- ce sur quoi vous êtes d’accord,

- ce sur quoi vous n’êtes pas d’accord,

- ce qui est surprenant,

- ce qui est déroutant,

- ce qui est intéressant ...

Mais tout d'abord ...

Qu'est-ce qui, pour vous, n'est pas un problème ?

Par exemple, dans les manuels, quelle situation identifiée comme "problème mathématique" n'en serait en réalité pas une ?

(mathématique)

Par exemple, dans les manuels, quelle situation identifiée comme "problème mathématique" n'en serait en réalité pas une ?

"Il faut des nombres. Si pas de nombre, pas de problème ?? Mais pas sûr !!"

"Pas de calcul ? Pas de question ? Pas de donnée numérique ?"

"Pas de questionnement. Pas de recherche."

"Quand la réponse est dans l'énoncé."

"Réponse déjà donnée dans l'énoncé."

"Quand il n'y a pas besoin de réfléchir."

"Une affirmation. Un problème de lecture (implicite)."

Un problème, ce n'est pas ...

- le problème comme prétexte à travailler un calcul

- raconter une histoire,
…etc

- trouver trop facilement une solution

- écrire une phrase réponse

alors Qu'est-ce qu'un problème ?

alors Qu'est-ce qu'un problème ?

“Chercher un peu et trouver ”

“Franchir un obstacle surmontable

pour : questionner, raisonner,

modéliser, justifier, prouver,

calculer, communiquer, généraliser

... ect

Résoudre un problème, c'est ...

- comprendre et se représenter
ce qu’on connait et ce qu’on cherche
- communique sa réponse et expliquer comment on a fait pour trouver la réponse …etc

donc

Le guide orange : pour enseigner les nombres, le calcul et la résolution de problèmes au CP
Le guide VIOLET : La résolution de problèmes mathématiques au cours moyen

L'enseignement de la résolution de problèmes est au centre de l'activité mathématique des élèves.

Ces guides s’appuient sur des analyses didactiques et les résultats de la recherche. Les thèmes traités ont pour but d'éclairer les pratiques d’enseignement.

Le guide orange et guide VIOLET : quelques grands principes

- Des pistes pour permettre aux élèves de se construire des représentations du problème en s’appuyant sur des manipulations, et comment dépasser ces dernières pour aller vers davantage d’abstraction en s’appuyant sur la verbalisation,

- des pistes pour faire évoluer les connaissances et procédures mobilisées par les élèves en résolution de problèmes,

- la question de la place à donner à l’institutionnalisation, et comment développer les traces écrites.

- La mise en réseau des connaissances des élèves (problème de référence)
- mettre la résolution de problèmes en relation avec l'enseignement de la numération et du calcul (alternance entre moments de découverte, d’exploration des décompositions des nombres, mises en relation de ces connaissances avec des techniques de calcul mentales ou en ligne puis posées, et moments de résolution d’un type de problème.).
- la phase d'intitutionnalisation doit permette d’identifier les énoncés qui relèvent d’un même type de problème.
- le traitement des erreurs. un moyen de montrer son erreur à l'élève est d’attirer son attention
sur la pertinence de sa réponse : lors de la phase
collective d’explicitation des productions des élèves, le professeur peut écrire au tableau l’ensemble des réponses des élèves et demander à la classe quelles sont les réponses qui ne sont pas acceptables ; les élèves doivent justifier leurs propositions en argumentant leurs choix. Cette modalité de travail s’installe sur la durée.

-

- Il s’agit d’enseigner la résolution de problèmes.
L’enseignement explicite de la résolution de problèmes s’appuiera sur des temps d’institutionnalisation guidés par le professeur qui permettront de hiérarchiser les procédures en prenant en compte leur efficacité et leur économie. L’objectif n’est cependant pas d’enseigner une typologie de problèmes.
- L’enjeu est de permettre aux élèves de réussir seuls
les problèmes arithmétiques relevant du CP en enrichissant la mémoire des problèmes de chacun. Le temps consacré à la résolution des problèmes basiques doit donc être conséquent et régulier. Il importe aussi de proposer des problèmes à deux étapes (problèmes complexes).
- Le triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire » offre des repères pour concevoir l’enseignement de la résolution de problèmes. L’articulation entre matériel, représentations associées et les notions mathématiques convoquées est essentielle. Il convient donc à ce titre de privilégier dès le CP des matériels décontextualisés tels que les cubes emboîtables.
- Articuler représentation et modélisation : l’appui dès le CP sur des représentations à l’aide de schémas (notamment des schémas en barres) pourra faciliter l’accès à la modélisation et préparer un continuum didactique du cycle 2 au cycle 3 pour l’enseignement de la résolution de problèmes.

- Il s’agit d’enseigner la résolution de problèmes. Un enseignement explicite de la résolution de problèmes s’appuiera sur des temps d’institutionnalisation guidés par le professeur qui permettront de hiérarchiser les procédures en prenant en compte leur efficacité et leur économie. L’objectif n’est cependant pas d’enseigner une typologie de problèmes.

- L’enjeu est de permettre aux élèves de réussir seuls
les problèmes arithmétiques relevant du CP en enrichissant la mémoire des problèmes de chacun. Le temps consacré à la résolution des problèmes basiques doit donc être conséquent et régulier. Il importe aussi de proposer des problèmes à deux étapes (problèmes complexes).

- Le triptyque « manipuler, verbaliser, abstraire » offre des repères pour concevoir l’enseignement de la résolution de problèmes. L’articulation entre matériel, représentations associées et les notions mathématiques convoquées est essentielle. Il convient donc à ce titre de privilégier dès le CP des matériels décontextualisés tels que les cubes emboîtables.

- Articuler représentation et modélisation : l’appui dès le CP sur des représentations à l’aide de schémas (notamment des schémas en barres) pourra faciliter l’accès à la modélisation et préparer un continuum didactique du cycle 2 au cycle 3 pour l’enseignement de la résolution de problèmes.

Le guide orange et guide VIOLET : quelques grands principes

- Quels problèmes apprendre à résoudre en cours moyen

- Qu'est-ce que résoudre un problème ?

- Identifier les obstacles à la résolution de problèmes

Trois sources principales de difficultés sont à retenir :

— la structure du problème. Les problèmes en une étape sont d’une difficulté très hétérogène (voir chapitre 1).

Les problèmes en plusieurs étapes, qui sont l’objectif principal de l’enseignement de la résolution de problèmes au cours moyen, sont en général plus difficiles que ceux en une étape. Les problèmes atypiques sont les moins connus des élèves et généralement les plus difficiles à résoudre ;

— le texte de l’énoncé du problème. Un énoncé de quelques lignes, éventuellement accompagné d’une illustration, peut poser de multiples difficultés de compréhension liées au contexte de l’énoncé, au lexique utilisé, aux représentations que se font les élèves en lisant l’énoncé, etc. ;

— les nombres en jeu. Au cours moyen, les élèves rencontrent de nouveaux nombres (grands nombres, fractions, nombres décimaux) avec lesquels ils apprennent à calculer. Leur présence et des écritures de natures différentes dans les problèmes peuvent être sources de difficultés pour de nombreux élèves.

- Comment délivrer un enseignement structuré de la résolution de problèmes ?

- Les stratégies d’enseignement mises en œuvre doivent être collectives afin que les élèves puissent s’appuyer chaque année sur ce qui a été appris les années précédentes. Ceci est particulièrement vrai pour les schémas enseignés pour soutenir la modélisation.

- Les séances sont inscrites dans des séquences aux objectifs clairement définis et explicités aux élèves. Laisser aux élèves un temps suffisant pour résoudre eux-mêmes les problèmes qui leur sont proposés, veiller à soutenir, de façon appropriée et au moment opportun, chaque élève rencontrant une difficulté qu’il ne peut pas surmonter lui-même.

- L’évaluation est utilisée pour soutenir les apprentissages et permettre à l’enseignant de renforcer sa connaissance de ce que sait faire chacun des élèves à un instant donné afin d'aider les élèves à structurer et renforcer leurs apprentissages.

- La résolution de problème dans le cadre de la laision CM2-6ème

- Construire la mémoire des problèmes résolus : engager les élèves dans la résolution d’une grande diversité de problèmes et de leur donner les moyens de repérer, parmi les problèmes résolus antérieurement, ceux susceptibles de les aider dans la résolution de nouveaux problèmes.
- Proposer au Cours Moyen des problèmes atypiques pour développer des compétences transversales, comme l’autonomie, la prise de décisions, la créativité (ect...) et dont le traitement peut faire appel à une combinaison de stratégies utilisées dans divers problèmes avec une adaptation à la situation précise du problème.

- La résolution d’un problème peut être vue comme un processus en quatre phases, qui ne se succèdent pas de manière stricte, mais qui sont en interaction permanente : comprendre, modéliser, calculer, répondre (communiquer).

- Les sources principales de difficultés à retenir : la structure de problème, le texte de l'énoncé, les nombres en jeu.

Modèle en 4 phases pour la résolution de problèmesverbaliser abstraire

Ce modèle est présenté en quatre phases successives, mais il est clair qu’au cours de chacune des phases, des régulations sont mises en œuvre et peuvent conduire à revenir sur les phases précédentes pour confirmer ou infirmer ce qui a été mené antérieurement :
« Je n’arrive pas à trouver les calculs qu’il va falloir effectuer. Ai-je vraiment bien compris ce problème et ce qui est demandé ? »
Cette présentation linéaire ne doit donc pas conduire à négliger les allers-retours entre chaque phase.

extrait du guide violet (CM)

Chemins des champions

(inspiré des travaux de G. Polya)

Le défi chamallow

des similitudes avec la résolution de problèmes

  • je décode la situation

  • je planifie avant de me lancer dans la réalisation

  • je fais des essais

  • ...

Modèle en 4 phases pour la résolution de problèmesverbaliser abstraire

Ce modèle est présenté en quatre phases successives, mais il est clair qu’au cours de chacune des phases, des régulations sont mises en œuvre et peuvent conduire à revenir sur les phases précédentes pour confirmer ou infirmer ce qui a été mené antérieurement :
« Je n’arrive pas à trouver les calculs qu’il va falloir effectuer. Ai-je vraiment bien compris ce problème et ce qui est demandé ? »
Cette présentation linéaire ne doit donc pas conduire à négliger les allers-retours entre chaque phase.

Place de la verbalisation dans la résolution

extrait du guide violet (CM)

VERBALISER

Triptyque : Manipuler / Verbaliser / Abstraire

Triptyque du plan Villani-Torossian :


A quels moments ?

Vérifier la compréhension du problème

Rôle de la verbalisation

• Passer de représenter à modéliser

• Développer l’argumentation (proposer un support) et donc un pas vers la « démonstration »

Valider ou invalider les stratégies choisies

Construire et asseoir des savoirs : sens des opérations, fractions et pourcentages ...

une préoccupation

Dialectique oral/écrit

la place de la verbalisation

➢ avec une représentation ou un modèle servant de support aux échanges

(l'ardoise support de l’écrit et aide à la recherche)

➢ et l'objectif de rendre explicite (lisible) les stratégies, les relations, les régularités entre les situations ... lors des phases de synthèses et institutionnalisation

" Décontextualiser pour passer des CONNAISSANCES au SAVOIR ", Denis Butlen, professeur des université (Didactique des mathématiques)

https://www.ac-paris.fr/portail/jcms/p2_1509041/2-dialectique-oral/ecrit-dans-l-enseignement-des-mathematiques-en-cycle-3

Extrait Conseil Scientifique de l'Education Nationale (2019)

Triptyque du plan Villani-Torossian :


VALORISER (toutes) les réussites et le raisonnement plutôt que le résultat

Triptyque du plan Villani-Torossian :


Place de l'erreur (Astolfi)

L’apprentissage n’est pas un processus linéaire. Il passe par essais, tâtonnements, erreurs, échecs… Il y a donc pour les élèves un droit à l’erreur qui doit être reconnu et pris en compte. Le travail sur l’erreur permet d’instaurer un climat de confiance dans lequel l’erreur n’est plus stigmatisée mais devient un matériau collectif pour la construction du savoir.


Pour l’élève, le retour réflexif sur l’erreur est une voie propice pour accéder à une meilleure compréhension de la notion étudiée. Par ce travail, il découvre aussi son propre fonctionnement intellectuel et gagne en autonomie.


Pour l’enseignant, l’exploitation de l’erreur est un instrument de régulation pédagogique. Elle permet de découvrir les démarches d’apprentissage des élèves, d’identifier leurs besoins, de différencier les approches pédagogiques, de les évaluer avec pertinence.


Pour l'élève, l'erreur est une étape de l'apprentissage, une voie propice pour accéder à une meilleure compréhension de la notion étudiée

Brousseau : il y a une nécessité de l’erreur, c’est l’effet d’une connaissance antérieure qui se révèle fausse ou simplement inadaptée.

L’erreur est constitutive de la connaissance acquise.

Pour l'enseignant, c'est un instrument de régulation pédagogique pour identifier les démarches d’apprentissage des élèves, identifier leurs besoins

différentes strates dans le traitement de l'erreur

Statut de l'erreur : dédramatiser l'erreur pour qu'elle devienne un matériau collectif utile à la construction du savoir : climat de confiance

page 22 du guide

Le traitement des erreurs
Revenons maintenant sur l’erreur produite par un élève qui propose comme solution « 21 + 3 = 24 » au problème précédent. Cet élève n’a pas reconnu une situation de sous-traction. Avant de l’aider à développer un raisonnement lui permettant d’élaborer une réponse juste, un moyen de lui montrer son erreur est d’attirer son attention sur la pertinence de sa réponse. Le professeur pourra par exemple lui demander : « Si Paul a 24 images et si Pierre en a 3, combien en ont-ils à eux deux ? »
Nous avons ici une modalité de traitement individualisé de l’erreur. Celui-ci peut être complété avantageusement par un traitement collectif. Ainsi, lors de la phase collective d’explicitation des productions des élèves, le professeur peut écrire au tableau l’ensemble des réponses des élèves et demander à la classe quelles sont les réponses qui ne sont pas acceptables ; les élèves doivent justifier leurs propositions en argumentant leurs choix. Cette modalité de travail s’installe sur la durée. En début d’année, les élèves peuvent éprouver beaucoup de difficulté à répondre à cette demande qu’ils ne comprennent pas. Le professeur pourra alors, lors d’une phase collective, poser des questions du type de celle évoquée ci-dessus.
Puis dans un second temps, plusieurs élèves (souvent les élèves les plus performants en mathématiques) relayent le professeur. Sur une année, cette pratique concerne de plus en plus d’élèves, y compris ceux en difficulté. Cet apprentissage est toutefois fragile et doit être repris suffisamment de fois et sur une période longue dépassant
souvent une année pour amener les plus faibles à se l’approprier.

page 51 du Guide

Focus | Analyser les erreurs des élèves pour adapter l’aide à leur apporter
L’intérêt principal de la décomposition en quatre phases proposée dans ce chapitre est de fournir aux professeurs un outil pour structurer l’analyse des productions d’élèves en résolution de problèmes afin d’accompagner les apprentissages.

Quelques repères
sur le NOMBRE

La compréhension du nombre et la capacité à le manipuler comme facilitateur à la résolution de problèmes

Code verbal : représentation auditive verbale (ex. « quatre » prononcé /katr/)

Code arabe : correspond àla forme visuelle des nombres arabes

Code analogique: permet d’appréhender la signification des quantités

Triple code de Stanislas DEHAENE

Transcodage : passer d’un code à l’autre (à favoriser)

Travailler les différentes représentations des nombres

Actuellement, le modèle du triple code (Dehaene, 1992; Wilson & Dehaene, 2007) fait figure de référence dans l’étude des processus numériques. Ce modèle explique les traitements numériques cognitifs de l’adulte et postule que trois systèmes de représentation sont mobilisés pour le traitement du nombre.

Le premier système de représentation, le code analogique (ex. ????), sert à effectuer des comparaisons numériques et des calculs approximatifs. Ce système inné, sous-tendu par le lobe pariétal, permet d’appréhender le sens du nombre, autrement dit la signification des quantités. Les quantités numériques sont ainsi représentées mentalement sur une ligne numérique allant de gauche à droite et devenant de moins en moins précise. Ce système non symbolique permet donc une évaluation précise des petites quantités et une estimation approximative des grandes collections.

Les deux autres systèmes de représentation, le code auditif verbal et le code visuel arabe, sont symboliques et asémantiques. La représentation auditive verbale (ex. « quatre » prononcé /katr/) est utilisée principalement dans l’activité de comptage et dans l’utilisation des tables. Elle permet de coder la quantité et intervient dans les activités de calcul précis. La représentation visuelle arabe (ex. « 4 ») qui correspond à la forme visuelle des nombres arabes, intervient dans les activités de calcul précis et permet de réaliser des calculs mentaux complexes ainsi que des jugements de parité (c’est-à-dire, juger si un nombre est pair ou impair). Seuls ces deux systèmes symboliques permettent donc de réaliser des calculs précis au-delà des petites quantités.

Code verbal : servant de support à tous les autres codes.

Code arabe : une longue histoire d’écriture et de symbolisation

Code analogique : quantité dans la constellation, place sur une droite numérique.

Transcodage : passer d’un code à l’autre (à favoriser)

Ensemble des représentations langagières et non langagières qui permettent de représenter le nombre : mots, symboles, représentations graphiques ...

Représentations

Ensemble des résultats connus, des techniques, des procédures qui permettent de travailler avec le concept de nombre

Composante invariants

Roland Charnay, 2013

Ensemble des définitions, propriétés, théorèmes qui permettent de justifier les techniques utilisées

Propriétés

Techniques

Acquérir le

Ensemble des problèmes qui donnent du sens au nombre (questions auxquelles l'utilisation du nombre permet de répondre efficacement)

Problèmes

CONCEPT
de nombre

Mise au point : Énumérer ... Compter ... Dénombrer ...
Énumérer : Énumérer une collection, c’est la parcourir en désignant ses éléments l’un après l’autre (du doigt, du regard, par pointage...), sans en oublier et sans designer deux fois le même. L‘énumération ne suppose pas nécessairement le recours aux nombres (par exemple le pharmacien qui parcourt l’ordonnance pour vérifier que chaque médicament 5 a été délivré n’utilisent pas nécessairement de nombres). En revanche, la capacité d‘énumérer est indispensable pour réussir un comptage en utilisant alors les nombres

Compter : Compter les éléments d’une collection, c’est l’énumérer en désignant chacun de ses objets par un nombre, dans l’ordre de la suite des mots-nombres et en commençant par un.

Dénombrer : Dénombrer une collection, c’est en déterminer le nombre d’objets.

Le dénombrement peut être réalisé de plusieurs façons, notamment :
- par
subitizing (ou subitisation),

- par comptage avec ses 5 principes : ordre stable, correspondance terme à terme, cardinalité, d'abstraction (lié à l'hétérogénéité éventuelle des éléments de la collection : crayons, cahiers, gommes), non-pertinence de l'ordre (les éléments de la collection pouvant être comptés dans n'importe quel ordre)

- par calcul, notamment dans le cas d’une collection organisée d’une certaine manière,

- par recours à des moyens permettant d’exprimer directement la quantité sous forme chiffrée (groupements, échanges par 10, par 100...),

- par estimation, pour parvenir à donner une valeur approximative de la quantité d’objets.

Nombre NATUREL

Ensemble des problèmes que la maîtrise du concept permet de résoudre efficacement : situations qui donnent du sens au concept.

> le nombre pour quantifier, comparer (absolue et relative), ranger, identifier (numéro), ordonner (position...), mesurer, estimer, nommer, garder mémoire de la quantité d'objets ...

Verschaffel et De Corte (1996)

Composante Techniques et Propriétés : ensemble des invariants qui permettent de travailler le concept.

- 302 = 300 + 2

- Produire des suites de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100

- Encadre un nombre entre deux nombres, notamment entre 2 dizaines entières, 2 centaines ...

- donner l'arrondi d'un nombre à la dizaine, la centaine la plus proche.

δ Signifiants = le langage (les mots, les symboles, représentations schématiques) pour travailler avec le concept.

IDENTIFIER LES OBSTACLES

à la résolution de problèmes pour les élèves

Triptyque du plan Villani-Torossian :


Identifier les obstacles à la résolution
de problèmes pour les élèves

Chapitre 3 du Guide Violet (CM)

L’objectif n’est pas d’épurer les problèmes de tout ce qui peut être source de difficultés pour les élèves, mais de les identifier et de les contrôler. Ceci doit permettre de s’assurer que les problèmes à résoudre sont accessibles aux élèves à qui ils sont proposés, tout en les aidant à développer de nouvelles compétences en les confrontant progressivement à de nouveaux obstacles.

Difficultés et variables didactiques

La structure mathématique du problème : type, catégorie ...

Les "problèmes atypiques" étant plus difficiles à résoudre que les "problèmes à étapes", eux-mêmes plus complexes que les "problèmes simples" ...

Le texte de l'énoncé :

Le degré de familiarité avec l'élève, sa longueur, la présence d'éléments superflus, la présence d'illustrations, le lexique spécifique aux mathématiques, des mots-clés de l’énoncé concordants ou non avec la modélisation, l’inscription ou non dans le champ de validité
de la conception intuitive des opérations

« Alice a un trou dans sa poche. Elle a perdu 3,40 € pendant la randonnée. Il lui reste 13,80 €. Combien d’argent avait Alice au début de la randonnée ? »

(problème mettant en jeu une perte qui nécessite de mobiliser une addition)

• Type de matériel proposé à la manipulation : impact de ce choix dans le développement d'une modélisation des problèmes.

• Type de matériel proposé à la manipulation : impact de ce choix dans le développement d'une modélisation des problèmes.

Familiarité avec le contexte

• Manière dont l’énoncé est formulé : place de la question, forme uniquement textuelle ou texte accompagné d’une image ou d’un dispositif expérimental,…

Difficultés et variables didactiques

Un scénario, évoqué par l’énoncé, facilitant ou non la perception des relations mathématiques en jeu

Le champ numérique

— lors des phases de compréhension et de modélisation du problème en créant une surcharge cognitive ;
— lors de la phase de calcul en nécessitant d’éventuels changements d’écriture des nombres (passage d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale par exemple) ou changements d’unités des grandeurs et des stratégies de calcul parfois mal maîtrisées à ce stade de la scolarité.

Choix des nombres : taille des nombres, taille de leur écart
(soustraction) , nombres décimaux, nombres qui rendent les calculs plus faciles
, …

• La mise à disposition d’outils de calcul : calculatrice, réglettes
Cuisenaire

Choix des nombres : taille des nombres, taille de leur écart
(soustraction) , nombres décimaux, nombres qui rendent les calculs plus faciles
, …

• La mise à disposition d’outils de calcul : calculatrice, réglettes
Cuisenaire

Une séance résolution de problème

quelques propositions pour sortir de la "routine"

- Faciliter la compréhension du problème en plaçant la question au début pour aider l’élève dans sa lecture/compréhension du problème

- Un énoncé sans les NOMBRES, sans aucune donnée numérique

- Proposer un énoncé sans question et inviter les élèves à imaginer la question qui pourrait être posée

- Donner à réfléchir un problème résolu (juste ou faux)

- Faire expliciter la recherche

= clarté cognitive

Si question est « Combien de carottes, les lapins ont-ils manger ? », possibilité de faire écrire une réponse à trou du type « Les lapins ont mangé … carottes. »

la modélisation en barres

C'est une des 8 stratégies que l'élève peut mobiliser dans la résolution d'un problème

Manipuler des "images" ou des objets

Manipuler des "images" ou des objets :

Le matériel utilisé (cubes, jouets, monnaie…) permet de “mimer” l’histoire mathématique.

Cette stratégie peut être utiliser par les élèves qui peinent à visualiser l’histoire ou à la rendre abstraite.


Exemple :

"Paul a 3 billes, Léa en a 2. Qui en a le plus ? Combien de plus ?"

Représenter / Modéliser

Représenter/Modéliser

Cette stratégie permet de mieux comprendre l’histoire mathématique en schématisant les faits essentiels pour sa résolution.

Les relations entre les données sont matérialisées visuellement, ce qui décharge la mémoire de travail.


Exemple :

"Je dois payer 3 tickets d'entrée au cinéma à 8 € la place."

Travailler en sens inverse

Travailler en sens inverse :

Les informations dans les problèmes indiquent comment la situation mathématique se termine.

Les élèves doivent étudier l'ordre des actions et effectuer les opérations inverses pour trouver la réponse (plutôt pour les problèmes de transformation avec recherche état initial).

Exemple

Problème : "Léo a 3 cubes. Sarah lui donne 5 cubes. Combien Léo a-t-il de cubes maintenant ?"

Réponse : Il y a 8 cubes.

Que se passera-t-il s'il rend les 5 cubes à Sarah ? Combien en aura-t-il ?

On peut l'envisager dans le cas d'un problème déjà résolu en demandant à l'élève d'expliquer la démarche pour arriver à ce résultat.

Tâtonner (deviner et vérifier)

Tâtonner “deviner et vérifier”

Cette stratégie est fréquemment utilisée de façon aléatoire par les élèves et souvent vouée à l'échec.

Pour qu'elle puisse fonctionner, il s’agit de faire une bonne supposition et de tâtonner jusqu'à trouver la réponse.

Les informations fournies par les erreurs permettent d'affiner petit à petit les hypothèses.


Exemple :


Regarder des cas plus simples

Regarder des cas plus simples :

Cette stratégie est utile quand l’histoire mathématique semble trop difficile à première vue.

Utiliser de plus petits nombres ou transformer l’énoncé avec des mots plus simples pour raisonner avec des nombres ou énoncé plus simple à traiter.


Exemple :

"Irène et Damien sont dans un parc. Irène mesure 1 m et 1/3 m. Elle se tient à côté d'un arbre qui fait 8 fois sa hauteur. Quelle est la hauteur de l'arbre ?"

Faire une liste systématique

Faire une liste systématique

Cette stratégie qui recherche toutes les possibilités peut se présenter sous la forme d’un arbre ou d’un tableau.

Cela aide à organiser une histoire de nombres en répertoriant les faits et en les présentant clairement.

Exemple :

"Josette part en vacances avec seulement 3 pantalons, 3 pulls et 1 casque. Combien de tenue différentes peut-elle composer ?"

Chercher des régularités

Chercher des régularités :

Repérer les traits communs avec des problèmes déjà étudiés.


Exemple :

"Le matin de Pâques, Léo a trouvé 9 œufs en chocolat, son frère a trouvé 7 œufs. ..."

C'est le même type de problème que :

"Dans la classe, il y a 11 filles et 16 garçons. ..."

Déduire

Déduire :

Observer attentivement les relations entre les données, raisonner en parallèle sur plusieurs phrases mathématiques pour déduire une donnée des autres.

Exemple:

"Victoria n’aime pas les pommes. Elizabeth n’aime pas les fruits.

Qui a quoi ?"


Pomme

Poire

Croissant

Elizabeth




Victoria




Annie




Il peut être nécessaire de combiner plusieurs stratégies
(exemple : "je pense à un nombre entre 0 et 99).

Manipuler des "images" ou des objets :

Le matériel utilisé (cubes, jouets, monnaie…) permet de “mimer” l’histoire mathématique.

Cette stratégie peut être utiliser par les élèves qui peinent à visualiser l’histoire ou à la rendre abstraite.


Exemple :

"Paul a 3 billes, Léa en a 2. Qui en a le plus ? Combien de plus ?"

Représenter/Modéliser

Cette stratégie permet de mieux comprendre l’histoire mathématique en schématisant les faits essentiels pour sa résolution.

Les relations entre les données sont matérialisées visuellement, ce qui décharge la mémoire de travail.


Exemple :

"Je dois payer 3 tickets d'entrée au cinéma à 8 € la place."

Tâtonner “deviner et vérifier”

Cette stratégie est fréquemment utilisée de façon aléatoire par les élèves et souvent vouée à l'échec.

Pour qu'elle puisse fonctionner, il s’agit de faire une bonne supposition et de tâtonner jusqu'à trouver la réponse.

Les informations fournies par les erreurs permettent d'affiner petit à petit les hypothèses.

Exemple :



Travailler en sens inverse :

Les informations dans les problèmes indiquent comment la situation mathématique se termine.

Les élèves doivent étudier l'ordre des actions et effectuer les opérations inverses pour trouver la réponse (plutôt pour les problèmes de transformation avec recherche état initial).

Exemple

Problème : "Léo a 3 cubes. Sarah lui donne 5 cubes. Combien Léo a-t-il de cubes maintenant ?"

Réponse : Il y a 8 cubes.

Que se passera-t-il s'il rend les 5 cubes à Sarah ? Combien en aura-t-il ?

On peut l'envisager dans le cas d'un problème déjà résolu en demandant à l'élève d'expliquer la démarche pour arriver à ce résultat.

Regarder des cas plus simples :

Cette stratégie est utile quand l’histoire mathématique semble trop difficile à première vue.

Utiliser de plus petits nombres ou transformer l’énoncé avec des mots plus simples pour raisonner avec des nombres ou énoncé plus simple à traiter.


Exemple :

"Irène et Damien sont dans un parc. Irène mesure 1 m et 1/3 m. Elle se tient à côté d'un arbre qui fait 8 fois sa hauteur. Quelle est la hauteur de l'arbre ?"

Faire une liste systématique

Cette stratégie qui recherche toutes les possibilités peut se présenter sous la forme d’un arbre ou d’un tableau.

Cela aide à organiser une histoire de nombres en répertoriant les faits et en les présentant clairement.

Exemple :

"Josette part en vacances avec seulement 3 pantalons, 3 pulls et 1 casque. Combien de tenue différentes peut-elle composer ?"

Chercher des régularités :

Repérer les traits communs avec des problèmes déjà étudiés.


Exemple :

"Le matin de Pâques, Léo a trouvé 9 œufs en chocolat, son frère a trouvé 7 œufs. ..."

C'est le même type de problème que :

"Dans la classe, il y a 11 filles et 16 garçons. ..."

Déduire :

Observer attentivement les relations entre les données, raisonner en parallèle sur plusieurs phrases mathématiques pour déduire une donnée des autres.


Exemple:

"Victoria n’aime pas les pommes. Elizabeth n’aime pas les fruits.

Qui a quoi ?"


Pomme

Poire

Croissant

Elizabeth




Victoria




Annie




Des outils pour soutenir la résolution et faciliter le passage vers l'abstraction

un outil : La modélisation en barres

la modélisation : une aide pour les élèves en difficulté

Un usage lent et inapproprié des faits numériques

La représentation en barres permet une visualisation qui vient renforcer la compréhension des concepts mathématiques des 4 opérations.

Cela permet d'illustrer l'écriture symbolique traditionnellement utilisée très (trop?) tôt dans le processus de résolution.



Un traitement direct et impulsif des problèmes

Je n'ai rien compris... Je fais un + ou un - ?


La représentation en barres permet de casser cette attitude qui est difficile à réfréner car elle demande un temps de recul.


Ex : Romane a 45 euros. Corentin a 28 euros. Combien d'argent de plus que Corentin Romane a-t-elle ?

Des difficultés de représentation mentale des concepts mathématiques

La modélisation explicite le sens des concepts mathématiques.





Une faible capacité à accéder au sens des calculs

La modélisation en barres repose sur le principe de représentation de la grandeur des nombres. Lien entre longueurs des barres et nombres.



Des difficultés à garder les informations en mémoire de travail

Il est difficile parfois de retenir beaucoup d'informations nouvelles. Leur présentation sous forme imagée va permettre d'alléger leur traitement.



un outil : La modélisation en barres

Les différents modèles en barres

Guide CM (page 113) :


un outil : La modélisation en barres

Modèle additif

Modèle multiplicatif

16

25

9

?

4

4

4

4

4

20

?

un outil : La modélisation en barres

Modèle comparatif

Modèle comparatif (fois plus ou fois moins)

45

10

55

?

4

4

4

4

4

20

?

un outil : La modélisation en barres

Les règles de construction du modèle en barres

un outil : La modélisation en barres

Rectangles remplis par les nombres (valeurs) connus, et, si le nombre (valeur) est inconnu par « inconnu », « ? » ou un mot (les aligner sur la marge).

Longueur de la barre rectangle pas forcément proportionnelle au nombre qu’elle contient. On peut représenter le plus petit nombre par une barre plus courte.

• Seuls 3 modèles : additif, multiplicatif, comparatif.

un outil : La modélisation en barres

Dans un modèle multiplicatif, si le nombre de part est inconnu :

?

(ou "inconnue")

Problème 1
Dans une bibliothèque, 283 livres sont des bandes dessinées et 420 livres sont des romans. Combien de livres y a-t-il en tout?

420

un outil : La modélisation en barres (mise en application)

Le modèle pour les problèmes additifs (hors comparaison)

283

?

Le modèle pour les problèmes multiplicatifs (hors comparaison)

Problème 2
M. Durand s’achète 5 chemises à 35 € chaque.
Quel est le montant de son achat ?

un outil : La modélisation en barres (mise en application)

Le modèle pour les problèmes additifs de comparaison "de plus" ou "de moins"

Problème 3
287 adultes et 136 enfants assistent à un spectacle.

Combien d'adultes y a-t-il de plus que d'enfants ?

287

136

?

un outil : La modélisation en barres (mise en application)

Le modèle pour les problèmes multiplicatifs de comparaison "fois plus" ou "fois moins"

Problème 4
Maya achète une paire de baskets et un jean. Les chaussures coûtent 3 fois plus cher que le pantalon qui vaut 60 euros. Quel est le prix de la paire de baskets ?

Problème 5
Silouann et Manon collectionnent les petites voitures de course. À eux deux, ils possèdent 240 voitures. Silouann a 3 fois moins de voitures que Manon. Combien de voitures possèdent-ils chacun ?

un outil : La modélisation en barres (mise en application)

un outil : La modélisation en barres

Une jeune vache pèse 150 kg de plus qu’un chien. Une chèvre pèse 130 kg de moins
qu’une vache. Ensemble, les animaux pèsent 410 kg. Combien pèse le chien ?

Entrainement

Les schémas en barres pour
apprendre à chercher un modèle

• Quelle quantité est inconnue ?
• Y a-t-il un tout ? Des parties ?
• Peut-on comparer les quantités ? (on peut dire qu’une quantité (le tout) est plus grande qu’une autre même si on ne la connaît pas)
• Y a-t-il des parts égales ? Combien de parts égales ?
• Y a-t-il un partage avec des fractions ou des pourcentages ?
• Y a-t-il plusieurs étapes (de complexité) dans la résolution ?

Questions pour chercher :

Vers la modélisation en barres : des repères

À quel moment de la scolarité doit-on commencer à utiliser les schémas en barres ?
Les schémas en barres sont souvent introduits en deuxième année d’école élémentaire. Les schémas de parties-tout (additifs) sont parfois introduits dès le CP. (Guide CM, page 118)

Guide CM (page 110) :

Guide CM (page 113) :


Des limites de outils de modélisation ?

Extrait vidéo de l'Ifé à partir de 6'18

Des limites aux outils de modélisation ?

- Construire l'univers de référence : familiariser l'élève à la situation proposée (sens du vécu). Ne pas aller trop vite vers la schématisation ou l'abstraction

- Contruire le SENS des situations (en passant par le vécu) plutôt que de chercher à automatiser avec l'utilisation de termes inducteurs (plus, moins, partage ...)"Jean a 16 jetons dans sa boite, Marie en a 21. Combien Marie en a de plus que Jean ? "
(cf. principe d'inhibition de Olivier Houdé :
le cerveau apprend en inhibant)

- ...

- Contrat didactique : attention aux implicites.

« l’ensemble des comportements de l’enseignant qui sont attendus de l’élève, et de l’ensemble des comportements de l’élève qui sont attendus de l’enseignant. »

L'âge de M. Lenoir

Les « fausses bonnes stratégies » qu'il va donc falloir inhiber !

PRINCIPE d’INHIBITION (Olivier HOUDÉ)

Inhibition : capacité à bloquer cette pensée automatique pour favoriser une pensée.

Travailler, au travers de la pensée réfléchie, la capacité à contrôler les automatismes qui conduisent à des réponses erronées.

Travailler sur l’inhibition des automatismes serait un facteur de plus grande qualité que le QI lui-même.

Entraîner ce contrôle avec des ex. du type « qui a le plus entre 4 dizaines et 35 unités ».

> en proposant une boîte à pièges aux élèves.

Mais la seule inhibition ne suffit pas : il faut rendre l’enseignement plus EXPLICITE.

Des problèmes atypiques

- qui permettent aux élèves de développer des compétences transversales, comme l’autonomie, la prise de décisions, la créativité, etc.

pour apprendre à chercher

- permettent aux élèves de rencontrer un certain nombre de stratégies et de types de raisonnements qu’ils pourront transposer, en les adaptant autant que nécessaire, dans la résolution d’autres problèmes atypiques.

« Dans un paquet de billes rouges, vertes ou bleues, il y a 162 billes. Il y a
trois fois plus de billes rouges que de billes vertes et il y a 7 billes vertes de moins
que de billes bleues. Combien y a-t-il de billes rouges ? »

« Combien peux-tu écrire de nombres à deux chiffres en utilisant
uniquement les chiffres 2, 3, 4 et 5 ? Le même chiffre ne peut être utilisé qu’une fois. »

« La somme des chiffres de l’année 2022 est 6.
Trouve toutes les années entre l’an 2000 et l’an 3000 qui ont une somme de leurs
chiffres égale à 6. »

« Célia a 12 longueurs de fil, 40 perles rondes et 48 perles plates. Elle utilise
1 longueur de fil, 10 perles rondes et 8 perles plates pour fabriquer 1 bracelet.
Si Célia fabrique des bracelets tous identiques, combien peut-elle en fabriquer ? »

Des problèmes atypiques

un problème algébrique

 Dans une ferme, il y a des lapins et des poules. Pour faire chercher le nombre de poules et de lapins à son frère, Cindy lui dit qu’il y a 114 pattes et 40 têtes. Combien y a-t-il de poules et combien y a-t-il de lapins dans la ferme ?

Guide violet, page 31

Exemple :

Atypique : problème algébrique

 Dans une ferme, il y a des lapins et des poules. Pour faire chercher le nombre de poules et de lapins à son frère, Cindy lui dit qu’il y a 114 pattes et 40 têtes. Combien y a-t-il de poules et combien y a-t-il de lapins dans la ferme ?

Exemple de procédures :

Par essais et ajustements

Traitement pré algébrique

...

Atypique : problème de dénombrement

Pour ne pas encomber sa valise, Josette décide de partir à la montagne avec seulement 3 manteaux et 3 pantalons.
Elle est pourtant coquette et se demande de combien de manières différentes elle pourra s'habiller.

Compte le nombre de combinaisons de tenue possibles.

Solution

?

?

?

?

?

Cabine d'essayage

Tâtonner

Utilisation d'un arbre pour inventorier les possibilités :

Fil rouge

Temps de co construction

Quel affichage pour garder la trace des problèmes étudiés ?

Construction d’outils (fil rouge) :
- Séance type (à co observer), lesson study
- Evaluations communes
- Problèmes-type
- Affichage

- Labo math
- Sac à maths
- Inventaire jeux maths
- Escape game / construction d'un jeu mathématiques
- Balade mathématique
- …

Fil rouge

Quels éléments doivent apparaitre ?
Quelle harmonsation au sein du cycle ? Entre les cyles ?
...

Quelle trace laisser ?

Variété des procédures

Tenir compte de la diversité des procédures ...

- Inventorier les stratégies,

La mise en commun

- débattre et de statuer sur leur validité, de leur portée,

- hiérarchiser les procédures en prenant en compte leur efficacicté et leur économie (leur efficience).

Ces éléments constituent alors une trace écrite claire.

(sans souci d'enseigner la typologie)

- ...

Processus qui rend possible la décontextualisation et la dépersonnalisation des savoirs à l’issu de phases d’action voire de formulation ou de validation.
Ces savoirs deviennent alors intelligibles, partagés par autrui et réutilisable.


Processus lent qui peut s’étaler dans le temps… on peut le retarder pour ne pas couper l’herbe sous le pied de l’élève qui est en train de construire le concept.
On doit éviter le « C’est vrai parce que le prof l’a dit ».

Elle peut être orale, écrite, ponctuelle, dynamique, anticipée ou non.

Point de vigilance :
- Ne pas trop axer l’institutionnalisation sur l’action des élèves (décontextualiser)
- On observe peu de trace écrites décontextualisée
- Sert à mémoriser et à s’ouvrir au monde.

L'institutionnalisation

3 niveaux d’institutionnalisation :
- Locale
- De rappel (ancrage de l’ancien dans le nouveau)
- Globales (leçon)

Fil rouge

25 - 9 = 16 ou ? + 9 = 25

Garder la mémoire des problèmes : le problème de référence

Léa a 25 bonbons.
Elle en donne 9 à Nina.
Combien lui en reste-t-il ?

25

?

9

Il lui reste 16 bonbons.

Je cherche combien il me reste.

Fil rouge

Temps de co construction

Une séance type
(éventuellement pour co observation en visite 3)

Construction d’outils (fil rouge) :
- Séance type (à co observer), lesson study
- Evaluations communes
- Problèmes-type
- Affichage

- Labo math
- Sac à maths
- Inventaire jeux maths
- Escape game / construction d'un jeu mathématiques
- Balade mathématique
- …

Fil rouge

- la durée de la séance (nombre de séance si plusieurs),

- le contenu de la séance d'apprentissage : les différentes phases

- des points de vigilance ???

- les réajustements, les régulations, les aides

- la posture : la place et les gestes de l'enseignant

- les outils à disposition des élèves

- les différentes modalités de travail envisagées

- le choix du type, de la familiarisation avec les problèmes (nouveau ou déjà étudié)

- la structure du problème (simple, complexe, atypique),

Fil rouge

Tâche de l'enseignant

Tâche de l'élève

Matériel

Une proposition de mise en forme

E-Board

Calendrier

POINT CONSTELLATION

Calendrier

Observations en classe

avril-début mai

Formation 2h

jeudi 14 avril

Formation 2h

Observations croisée

date heures

jeudi 5 mai

Formation 3h

mercredi 9 mars 12h45 - 15h45

Calendrier

Formation 2h

date heures

bilan partagé

date heures

modèle en barre

hiérarchiser

inventorier

obstacles

trace

triple code

erreur

atypique

Carte mentale effacée

Mes devoirs pour la prochaine session

Les modèles en barre pour la résolution de problèmes
mais pas que ...

Bonus

Le modèle en barres soutient la mémorisation des faits numériques

si

alors

Exemple,

Les pourcentages

Les fractions

Partage de la valeur en trois fois un tiers de cette valeur : trois tiers forment un tout
Relations : un quart d’une valeur c’est la moitié d’un demi de cette valeur, un
sixième de sa valeur, c’est la moitié d’un tiers de sa valeur
Fractions égales : « un demi » d’une valeur c’est « deux quarts » de cette valeur,
« trois sixièmes » de cette valeur ou « un tiers et un sixième » de cette valeur

Fraction d'un nombre
Prendre un quart d’une valeur, c’est la partager en quatre
Prendre trois quarts d’une valeur, c’est en enlever un quart
...

Des supports à interroger

Problémo de Lorin WALTER

Documents Académie Aix-Marseille

MATHebdo

Le chat et la souris

Chat

Souris

1

2

3

4

5

6

8

9

7

1

2

3

4

5

6

8

9

7

1

30

https://kahoot.it/

Merci à vous !

Quelles situations problèmes ?

rituels

ateliers

collectif