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Transcript

SIGNE D'UN POLYNOME DU SECOND DEGRE

sous forme factorisée

Exemples de polynômes :



POLYNOME DU SECOND DEGRE

sous forme factorisée

Modèle :

2(x-2)(x-3)= 2(x²-5x+6)=2x²-10x+12 c'est bien un polynôme du second degré !

-4(x+1)(x-5)= -4(x²-4x-5)=-4x²+16x+20 c'est bien un polynôme du second degré !

5(x+4)(x+2)= 5(x²+6x+8)=5x²+30x+40 c'est bien un polynôme du second degré !

-3(x-6)(x+4)= -3(x²-2x-24)=-3x²+6x+72 c'est bien un polynôme du second degré !

Un polynôme du second degré s'écrit généralement sous la forme :



la forme factorisée s'écrit :




Exemple avec

Racines d'un polynôme du second degré

sous forme factorisée...

Ce polynôme a 2 racines positives !

Pour trouver les racines du polynôme il faut résoudre l'équation

Le terme "racine" désigne une solution de l'équation.


La résolution d'une équation du 1er degré est à ce stade du cours un prérequis !

On rappelle à l'occasion qu'un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul !

On vérifie en effet que :


2(x-2).(x-3)=0 si x=2 ou si x=3


Si x=2 alors 2(2-2).(2-3) = 2.0.(-1)=0


Si x=3 alors 2(3-2).(3-3) = 2.1.0=0



Autre exemple :

Ce polynôme a 2 racines,

une positive et une négative !

Racines d'un polynôme du second degré

sous forme factorisée...

Le terme "racine" désigne une solution de l'équation.


La résolution d'une équation du 1er degré est à ce stade du cours un prérequis !

On rappelle à l'occasion qu'un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul !

On vérifie en effet que :


2(x-2).(x-3)=0 si x=2 ou si x=3


Si x=2 alors 2(2-2).(2-3) = 2.0.(-1)=0


Si x=3 alors 2(3-2).(3-3) = 2.1.0=0



Exemple :

Ce polynôme a 2 racines positives !

x = 2 et x = 3

Pour quelles valeurs de x ce polynôme est-il positif ou négatif ?...

Signe d'un polynôme du second degré

sous forme factorisée...

Le terme "racine" désigne une solution de l'équation.


La résolution d'une équation du 1er degré est à ce stade du cours un prérequis !

On rappelle à l'occasion qu'un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul !

On vérifie en effet que :


2(x-2).(x-3)=0 si x=2 ou si x=3


Si x=2 alors 2(2-2).(2-3) = 2.0.(-1)=0


Si x=3 alors 2(3-2).(3-3) = 2.1.0=0



Exemple :

Signe d'un polynôme du second degré

sous forme factorisée...

x - 2 = 0 a pour racine x = 2...


Quel-est le signe de x - 2 si x<2 et si x>2 ?

x-2 est négatif si x<2

x-2 est positif si x>2

x-2 est nul si x=2

on peut dresser un petit tableau :

valeurs inférieures à 2

valeurs supérieures à 2

Le terme "racine" désigne une solution de l'équation.


La résolution d'une équation du 1er degré est à ce stade du cours un prérequis !

On peut faire le test en choisissant des nombres !


x-2 est négatif si x<2, en effet si x=0 par exemple 0-2=-2 est bien négatif

x-2 est positif si x>2, en effet si x=3 par exemple 3-2=1 est bien positif

On étudie le signe de

x - 2...

Exemple :

Signe d'un polynôme du second degré

sous forme factorisée...

x - 3 = 0 a pour racine x = 3...


Quel-est le signe de x - 3 si x<3 et si x>3 ?

x-3 est négatif si x<3

x-3 est positif si x>3

x-3 est nul si x=3

on peut dresser un petit tableau :

valeurs inférieures à 3

valeurs supérieures à 3

Le terme "racine" désigne une solution de l'équation.


La résolution d'une équation du 1er degré est à ce stade du cours un prérequis !

On peut faire le test en choisissant des nombres !


x-2 est négatif si x<2, en effet si x=0 par exemple 0-2=-2 est bien négatif

x-2 est positif si x>2, en effet si x=3 par exemple 3-2=1 est bien positif

On étudie le signe de

x - 3...

“Le tableau de signe du polynôme

se construit à partir des racines

valeurs inférieures à 2

valeurs supérieures à 3

valeurs entre
2 et 3

On utilise à ce stage la règle des signes pour un produit (multiplication) :


- x - = +

- x + = -

+ x - = -

+ x + = +

On rassemble les résultats dans un seul tableau !

Attention au signe avec la multiplication...


- x - = +

Attention au signe avec la multiplication


+ x - = -

Attention au signe avec la multiplication


+ x + = +

“Que dit ce tableau ?

  • le polynôme est positif pour x<2

  • le polynôme est nul pour x=2

  • le polynôme est négatif pour 2<x<3

  • le polynôme est nul pour x=3

  • le polynôme est positif pour x>3

< 2

> 3

2 < x < 3

Il est important de lire correctement les signes d'inégalités !


> est le signe de "strictement supérieur"

< le signe de "strictement inférieur"

Ce polynôme a 2 racines :

une négative x = -1 et une positive x = 5

Un autre exemple...

< -1

-1 < x < 5

> 5

On vérifie en effet que :


-4(x+1).(x-5)=0 si x=-1 ou si x=5


Si x=-1 alors -4(-1+1).(-1-5) = -4.0.(-6)=0


Si x=5 alors -4(5+1).(5-5) = -4.6.0=0



Attention au classement des nombres dans le tableau !

Dans un ordre croissant...

Je donne le signe de x+1 en fonction de x...

Je donne le signe de x-5 en fonction de x...

Je donne le signe de -4(x+1).(x-5) en fonction de x...


Attention au signe avec la multiplication par -4

Attention au signe avec la multiplication par -4


- x - x - = -

Attention au signe avec la multiplication par -4


+ x - x - = +

Attention au signe avec la multiplication par -4


+ x + x - = -

Lien avec une représentation graphique...

Partie rouge de la courbe

Valeurs négatives

Partie verte de la courbe

Valeurs positives

Partie bleue de la courbe

Valeurs négatives

< -1

< -1

-1 < x < 5

> 5

La représentation graphique n'entre pas dans le cadre de ce module !

L'objet de ce commentaire est de montrer qu'il y a une relation entre l'équation et la représentation graphique de la fonction associée.

De plus, nous verrons qu'il y a une relation entre le signe de a et le signe de la fonction !

1ère racine x = -1

2ème racine x = 5

L'étude d'une fonction du second degré est la prochaine étape et le lien avec ce module sera présenté !

à toi de t'exercer dans la suite des activités...