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Résolution de problèmes et numération au cycle 1


Circonscription Bordeaux-centre

CPC Julie Fournier

Atelier 3 - plan de formation densifiée en mathématiques

Janvier 2022

On est là ce matin pour poursuivre la réfléction sur la résolution de problèmes
Lors du précédent atelier, vous avez commencé à concevoir des séquences collectivement. On va partager ce que vous avez commencé à mettre en oeuvre dans vos classes et vos premières observations.

01 Analyse des observations

Résolution de problèmes

Vos observations

01 Observations

Procédures des élèves

Les procédures des élèves

Procédures des élèves

Résoudre des problèmes - comparer des collections - dénombrer

Qu'avez-vous pu observer ?

Essais erreurs
Tatonnements
Elèves bloqués sur le matériel et qui ne passent pas au dénombrement
Difficulté de vocabulaire
Aller chercher le complément quand il manque une ou des
fèves ou couronnes
Procédures expertes


02 Observations

Engagement dans la tâche

AU niveau de l'implication dans la tâche

Implication des élèves

Engagement cognitif :

Pendant l'activité :

  • Ecoute mais décroche vite
  • Ecoute mais passif
  • Ecoute et observe ce que les autres font pour se mettre en action
  • Répond après sollicitation
  • Participation active
  • Autre

  • Engagement zéro
  • Effort mais reste fixé/bloqué sur le matériel
  • Met en place une réflexion (lien situation/calcul/compléments…)
  • Met en œuvre les stratégies enseignées/attendues
  • Autre

A quel degré vos élèves se situaient ?

La plupart du temps, les élèves ont mis en place une réflexion, des stratégies enseignées ou attendues.
- Ecoutent mais jouent
- Participation active pour tous

02 Unité d'apprentissage

Activités de dénombrement / comparaison

Résolution de problèmes

Pour l’atelier d’aujourd’hui, on va axer la réflexion sur l’abstraction. On a vu précédemment qu'une des compétences les plus difficiles à acquérir pour les élèves est la capacité d’abstraction.

Manipuler - représenter - abstraire

01 Passer à l'abstraction

On retrouve cette notion essentielle dans le triptyque énoncé dans le plan Torossian-Villani et repris dans le guide Pour enseigner les nombres, le calcul et la résolution de problèmes au cp : manipuler – modéliser – abstraire

Vers l'abstraction

  • De la manipulation à la représentation symbolique en passant par la verbalisation
  • ABSTRAIRE = opération mentale qui consiste à isoler une (ou plusieurs) propriétés d'un objet afin de la (les) considérer pour elle(e)-même(s)
  • Nécessite de se détacher du réel, du contexte dans lequel on a manipulé et/ou représenté
  • 3 étapes essentielles : manipulation, représentation et verbalisation pour permettre le passage progressif vers l'abstraction : situations de commande orale / écrite

LA MANIPULATION

Passe par l'action
Apprendre par le "faire" avec du matériel
Manipulation active/passive
Pas une finalité
Matériel pour raisonner sur les procédures

De la manipulation à la représentation symbolique en passant par la verbalisation
Accès à l’abstraction en mathématiques = long processus qui est associé à la maîtrise du langage symbolique et des compétences de haut niveau (raisonnement et modélisation) qu’on travaille dans la résolution de problème. On a vu dans les observations que la grande majorité des élèves ont enclenché une réflexion et mis en place un raisonnement.
Abstraire = opération mentale qui consiste à isoler une (ou plusieurs) propriété(s) d’un objet afin de la considérer pour elle(s)-même(s) > se détacher du réel, du contexte dans lequel on a manipulé et/ou représenté l’objet
Abstraction = appui sur 3 étapes essentielles : la manipulation, la représentation et la verbalisation pour permettre le passage progressif vers l’abstraction.

La manipulation :
= Agir sur des objets tangibles (cubes) ou symboliques (nombres) > passe par l’action
Pour l’élève de maternelle qui n’a qu’une expérience encore limitée des objets mathématiques, il s’agit d’apprendre « par le faire » dans des situations qui mobilisent le matériel.
Mais distinction : manipulation passive / active
La manipulation permet à l’élève de s’approprier la situation, de s’en faire une représentation mais phase pas suffisante. Cette étape doit également conduire à une anticipation au problème soulevé.
Exemple de la boite pour illustrer
Manipuler n’est pas une finalité mais une étape pour engager un travail cognitif.
Matériel qui change de statut : pour constater, observer > devient pour valider ce qu’on est capable d’anticiper.
Permet de raisonner sur les procédures.

Exemple de la situation de la boîte :

Manipulation passive : l'enseignant dispose A jetons dans la boite, puis B jetons et pose la question du nombre total de jetons dans la boîte. Les élèves ont accès au contenu de la boite et peuvent se contenter de lire le résultat en recomptant les jetons.


Manipulation active : l'enseignant montre successivement les 2 collections de jetons et les place dans la boite, la referme et pose la question. Dans ce cas, l'élève va mobiliser des représentations mentales et ses connaissances sur les nombres, ainsi que des procédures de plus haut niveau pour résoudre le problème.

De la manipulation

à la modélisation

  • Des objects tangibles proches de la réalite, manipulables et déplaçables
  • Aux objets décontextualisés : cubes, jetons...

  • Vers des représentations dessinées calculables

  • Vers des objets décontextualisés ordonnés

De la manipulation à la représentation symbolique

Etape fondamentale dans la résolution de problèmes : elle convoque la représentation imagée qui amène à se représenter quelque chose sans l’avoir sous les yeux.
= une image, un dessin, une photo, un pictogramme, un schéma…
 Action transformée en image mentale
Représentations d’abord proches de la réalité du problème (représentation d’objets tangibles), puis elles évoluent progressivement vers des représentations plus abstraites et génériques (schémas ou écriture mathématique).
Exemple illustrant la progressivité de la maternelle au CP.
Représentation présymbolique proposée par l’enseignant sous forme de rectangles et écriture mathématique au CP > montrer exemple de la représentation d’un problème en schéma en barres, modélisation recommandée par les chercheurs

montrer exemple de la représentation d’un problème en schéma en barres, modélisation recommandée par les chercheurs

Importance du matériel

  • Mobiliser les actions : « anticiper, choisir, décider, essayer, recommencer, s’interroger sur la validité de la réponse proposée » (BOEN du 29 mai 2019)
  • Utiliser les connaissances sur les nombres pour résoudre des problèmes
  • Pouvoir agir ou non sur les objets = première étape vers la manipulation mentale + travail de l'anticipation lorsque les objets sont absents ou éloignés
  • Répétition de ces situations d’apprentissage pour constituer une première mémoire de travail
  • Utilisation de matériel tangible progressivement remplacé par des objets manipulables moins figuratifs comme des cubes emboitables.
  • Situations de commande écrite nécessaires

Lien avec la maternelle et importance du matériel
Enjeux doubles pour la maternelle : installer des attitudes préparant à la résolution de problèmes (qui mobilisent les actions « anticiper, choisir, décider, essayer, recommencer, s’interroger sur la validité de la réponse proposée »)
+ utiliser les connaissances sur les nombres pour résoudre des problèmes.
 Pouvoir agir ou non sur les nombres (les déplacer ou non) = première étape vers une manipulation mentale + nécessité d’anticiper la réponse lorsque les objets sont absents ou éloignés
Répétition de ces situations d’apprentissage autant que nécessaire pour constituer une première mémoire de travail et installer une culture scolaire de résolution de problèmes
Afin de préparer les élèves à accéder aux représentations, matériel tangible progressivement remplacé par des objets manipulables moins figuratifs comme des cubes emboitables.
+ situations de commande écrite nécessaire
Exemple pour illustrer
« Vous allez maintenant prendre 15 minutes pour réfléchir à une référentiel (affichage, individuel…) sur la décomposition des nombres à partir de ce qui a été vu sur l’abstraction. »
 Travail sur la trace écrite sur la décomposition des nombres
Montrer les différentes représentations des nombres et des exemples d’application.


Exemple de scénario classique

" Vous répartissez 8 marrons dans 3 assiettes."

Phase 1: manipulation des marrons pour appropriation du problème et possibilité de faire des essais

Phase 2 : les élèves dessinent la situation (représentations très variées : de dessins figuratifs à des ébauches de schémas)

Phase 3 : après rappel de l'activité précédente, les élèves doivent proposer sans matériel une autre répartition sur leur feuille. Vérification à l'aide du matériel, accompagnée d'une formulation orale.


Réflexion sur une trace écrite progressive à partir de l'unité d'apprentissage conçue et de ce qui vient d'être vu sur l'abstraction


« Vous allez maintenant prendre 15 minutes pour réfléchir à une référentiel (affichage, individuel…) sur la décomposition des nombres à partir de ce qui a été vu sur l’abstraction. »
 Travail sur la trace écrite sur la décomposition des nombres
Montrer les différentes représentations des nombres et des exemples d’application.


Progressivité en maternelle

Progressivité en maternelle pour trace écrite
Montrer les différentes représentations des nombres et des exemples d’application.


Multiplier les représentations


Montrer les différentes représentations des nombres et des exemples d’application.


GS : Réaliser un tapis de 6. En faisant verbaliser leur réflexion, on se rend compte que le matériel fait sens pour les élèves.


Montrer les différentes représentations des nombres et des exemples d’application.


La place de la verbalisation dans l'accès à l'abstraction

  • Mettre en mots, expliciter l’action, sans la produire ou la représenter visuellement
  • Pour l'enseignant : Verbaliser les étapes de la démarche et ses procédures + Faire des liens explicites avec les connaissances et les compétences à mobiliser + S’appuyer sur les productions des élèves pour formuler et reformuler le langage mathématique précis = Verbaliser ses procédures afin que les élèves soient capables de verbaliser leurs propres procédures
  • Pour l'élève : Expliciter ses actions, sa démarche et ses solutions + Prendre du recul par rapport aux manipulations, formuler des hypothèses, anticiper et expliciter ses procédures + Produire des arguments mathématiques pour valider ses solutions

La place de la verbalisation dans l’accès à l’abstraction
Etapes de verbalisation incontournables pour accéder aux concepts mathématiques et à l’abstraction
 Mettre en mots, expliciter l’action, sans la produire ou la représenter visuellement
Du point de vue de l’enseignant : phase d’étayage très importante
 Verbaliser les étapes de la démarche et ses procédures en passant par des exemples/contre-exemples et des analogies avec des situations déjà rencontrées
 Faire des liens explicites avec les connaissances et les compétences à mobiliser pour résoudre le problème.
 S’appuyer sur les productions des élèves pour formuler et reformuler le langage mathématique précis dans toutes les phases (manipulation, représentation, situations d’évocation, mise en commun et institutionnalisation)
 Verbaliser ses procédures afin que les élèves soient capables de verbaliser leurs propres procédures
Du point de vue de l’élève : expliciter ses actions, sa démarche et ses solutions
 Pour prendre du recul par rapport aux manipulations, formuler des hypothèses, anticiper et expliciter ses procédures
 Produire des arguments mathématiques pour valider ses solutions
Verbalisation importante à 3 niveaux :
- Pour l’élève lui-même (retour réflexif sur son propre raisonnement, ne pas rester au stade de la simple manipulation, prendre conscience de ses propres stratégies)
- En direction des autres élèves : préciser l’argumentation pour la rendre compréhensible par les autres, comparer ses propres stratégies avec celles de ses camarades
- En direction de l’enseignant : prendre de l’information et proposer un étayage efficace

Exemple de questions pour passer :

  • De la manipulation passive à la manipulation active : « A quoi tu réfléchis ? où en es-tu ? Que dois-tu faire pour … ? »
  • De la manipulation active à la formulation, à l’explicitation des procédures : « comment as-tu fait ? peux-tu me dire ce qui va se passer si… ? Crois-tu qu’il va se passer… si … ? »
  • De la manipulation active à la validation des solutions proposées : « Peux-tu dire quelle solution tu as trouvée ? Peux-tu vérifier ? »
  • De la formulation, de l’explicitation des procédures à la validation des solutions proposées : « Comment fais-tu ? Peux-tu me donner un exemple ? comment peux-tu en être certain ? »

Pour résumer le processus d’abstraction
Schéma de la progressivité en maternelle
Pour passer à l’abstraction, il est nécessaire de multiplier les représentations des nombres : jetons, cubes, réglettes cuisenaires…)

02 Améliorer

à partir des observations menées et des notions abordées

Pour la suite, à partir de tous les éléments dont on vient de parler :
- L’analyse des procédures des élèves,
- Le passage à l’abstraction > travail sur l’affichage collectif ou individuel
- L’importance de la verbalisation
Vous allez pouvoir ajuster/améliorer l’unité d’apprentissage que vous avez conçue collectivement lors de l’atelier précédent et que vous avez commencée à mettre en œuvre dans vos classes.

Champ additif : "aller chercher ... pour donner à manger aux animaux"

> Ecrire les différentes phases de la situation
- La place du langage ?
- La place et le rôle de l'enseignant ?
- La place et le rôle de l'élève ?

Variables didactiques :
? parties ?
Taille des nombres
Eloignement des réserves
Visible ou codé par des représentations
Elaboration d’un message oral ou écrit

Aller chercher des ... pour nourrir les animaux sur la table

Imaginer une situation problème

en lien avec la numération

Revenir sur les productions et la finalisation de l’unité d’apprentissage

Composition / décomposition résolution de problèmes

Pour compléter l'unité d'apprentissage construite en équipe sur l'ensemble du cycle

  • Imprimer les affiches prises en photo pour garder une trace
  • En regroupement, faire des devinettes à l'oral (avec matériel au tableau ou devant les élèves) : "vous avez 4 voitures, je vous donne 2 parking, montre moi le parking qui manque / montre avec tes doigts ce qui manque / dessine au tableau ce qui manque / explique moi ce qui manque" > pourquoi ?
  • Jeu en ligne ou à installer : la classe du lama > le chantier
  • Même atelier avec d'autres nombres ou d'autres objets
  • Situations de commande
  • Situation des 3 monstres ou Le dortoir

Ajout pour la finalisation de l’unité d’apprentissage

03 ENT / Défis

entre classes

Activités de résolution de problèmes

Phase de production d’énoncés de problèmes :
activité que vous pourrez faire avec vos élèves

Définition des problèmes

en maternelle

"Des situations dans lesquelles la réponse n'est pas d'emblée disponible."

Ils doivent permettre de "trouver une quantité d'objets, [de donner] le nombre nécessaire d'objets pour compléter une boite dont le nombre de cases est donné ou connu [...] Les activités d'apprentissage proposées s'appuient sur un matériel varié [...] permettant la manipulation de quantités tangibles." (BOEN du 29 mai 2019)

Lire définition définie la fois dernière

Maths en vie pour information

Créer des énoncés

Les élèves sont désormais entrés dans un « habitus » des problèmes et de leur résolution. Ils peuvent (en groupe ou en individuel) créer de nouveaux énoncés ou de nouvelles situations. Une fois les problèmes créés, ils sont soumis à un autre groupe ou une autre classe.

- Travailler sur des problèmes de transformation du type :
« Emma a deux pommes et Enzo en a trois. Combien ont-ils de pommes en tout ? »,
ou « Amed a quatre jouets. Il en donne un à son petit frère. Combien lui en reste-il ? »,
- Travailler sur des problèmes de partage du type :
« L'épicier doit distribuer deux bananes à chaque enfant (Leny, Elise et Julie). Combien va-t-il en donner ? »
- Travailler sur des problèmes de comparaison du type :
: « Leslie, Assia et Zélie comptent leurs fruits. Leslie en a neuf, Assia en a sept et Zélie en a onze. Qui a le plus de fruits ? »

créer des énoncés après avoir instaurer des habitudes de résolution de problèmes

Propositions Mathenvie cycle 1

Problème du jour GS Mathenvie

Créer des énoncés

L’enseignant et ses élèves peuvent utiliser divers supports pour ces créations : photos, enregistrements sonores, vidéos, textes, ....
Objectifs: soumettre à un autre groupe ou une autre classe un problème réalisé en classe ou un problème créé par les élèves. Comparer les résultats, les procédures, ...

abordant la décomposition / composition des nombres

Un livre numérique

Un enregistrement sonore

Une vidéo

mettant en scène une situation problème

Des photographies

+ info

Livre du 4

Livre du 5

Livre du 6

Les compléments à 10

+ info

Utiliser du matériel type Playmobil ou animaux

Montrer la photo en passant la tablette à l'autre classe.

Envoyer par mail à une autre classe/autre école

Créer des énoncés et partager via ENT

Prochain atelier

Les difficultés rencontrées par les élèves

Proposition de remédiations

+ calendrier des co-enseignements et observations croisées

Déroulé avec document pas à pas