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Convexité

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Maths Chacal

Attendus du Bac

La carte mentale

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Capacités attendues

  • Calculer la dérivée d’une fonction donnée par une formule simple mettant en jeu opérations algébriques et composition.
  • Calculer la fonction dérivée
  • Démontrer des inégalités en utilisant la convexité d’une fonction.
  • Esquisser l’allure de la courbe représentative d’une fonction ƒ à partir de la donnée de tableaux de variations de ƒ, de ƒ’ ou de ƒ’’.
  • Lire sur une représentation graphique de ƒ, de ƒ’ ou de ƒ’’ les intervalles où ƒ est convexe, concave, et les points d’inflexion.
  • Dans le cadre de la résolution de problème, étudier et utiliser la convexité d’une fonction.

Démonstration à connaître

Si ƒ’’ est positive, alors la courbe représentative de ƒ est au-dessus de ses tangentes.


preuve à consulter

Convexité

Les méthodes

Maths Chacal

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4

étudier la convexité d'une fonction sur

un intervalle

Montrer une inégalité en utilisant la

convexité d'une fonction

Déterminer graphiquement la convexité
de f à l'aide de la courbe de f ' ou de f ''

Montrer que la courbe d'une fonction
admet un point d'inflexion

aperçu graphique calculatrice

  • on calcule l'expression de f ' puis celle de f ''
  • on détermine le signe de f '' sur I
  • on en déduit sa convexité sur I.(Concave ou convexe ou les deux)

Résolution :

Pour s'entraîner

1

étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle

Les méthodes

Maths Chacal


aperçu graphique

  • on détermine la fonction f et la valeur a de la tangente à sa courbe d'après l'aperçu graphique.
  • on détermine sa convexité.
  • on détermine l'expression de la tangente en a
  • on compare les positions de la courbe et de la tangente


Résolution :

autre exemple >

Les méthodes

Montrer une inégalité en utilisant la

convexité d'une fonction

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Maths Chacal

Pour s'entraîner


  • si on a le tracé de la courbe de f ', alors on déterminer ses variations (éventuellement on dresse un tableau de variations)
  • Si on a le tracé de la courbe de f '', alors on détermine son signe (éventuellement on dresse un tableau de signes)


Résolution :

autre exemple >

cas n°2 : courbe de f''

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cas n°1 : courbe de f '

cas n°1

cas n°2

Déterminer graphiquement la convexité
de f à l'aide de la courbe de f ' ou de f ''

Les méthodes

Maths Chacal

Pour s'entraîner

  • on calcule f ' et f ''
  • on détermine le signe de f '' et pour quelle valeur elle s'annule (éventuellement on dresse un tableau de signes)


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Résolution :

Maths Chacal

Pour s'entraîner

Les méthodes

Montrer que la courbe d'une fonction
admet un point d'inflexion


Le tableau de signe donne notamment la valeur qui annule


Exercices convexité

s'entraîner

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corrigé

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en ligne

Maths Chacal

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QCM

Vrai Faux

s'entraîner

QCM

énoncés

corrigés

type bac































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