Funktionsscharen

Von Isabel und Rayk

Wiederholung für das Abitur

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Inhaltsverzeichnis

1. Begriffsklärungen

7. Besonderheit - Die Ortskurve

2. Scharfunktion - Wozu eigentlich?

8. Quiz

3. Scharfunktion Grundlage

4. Fallunterscheidung

5. Ableiten und Integrieren

6. Kurvendiskussion

Rturn

9. Übungsaufgaben

Gleichung mit Formvariable --> Funktionsschar:

Funktionsschar, auch bekannt als Kurvenschar oder Parameterfunktion.
Diese Funktionen werden durch Parameter verallgemeinert
Parameter heißen oft k, a oder t (Scharparameter)
Die einzelnen Funktionsgleichungen haben einen ähnlichen Bauplan

Sie unterscheiden sich nur in wenigen Aspekten.

Allgemeine Definition

Fun fact

Scharfunktion - Wozu eigentlich?

"Aus Sachthemen heraus entstehen oft verschiedene Funktionsgleichungen, die alle einen ähnlichen Bauplan haben. Anstatt nun für jede Funktionsgleichung alle Berechnungen neu durchzuführen, versucht man sozusagen für alle Funktionen den gemeinsamen Bauplan zu bestimmen.

Man führt dann alle Berechnungen für diese allgemeine Bauplan durch und kann die Ergebnisse danach direkt auf jede einzelne Funktion anwenden. Der gemeinsame Bauplan ist die Kurvenschar (Funktionsschar)."

Zitiert aus: ~https://www.rhetos.de/html/lex/kurvenschar.htm

Fun fact:

Das Gleichheitszeichen ( = ) gibt es seit 1557 und wurde von Waliser Robert Recorde eingeführt!

◦ Die 6 Parabeln sind Teil der Schar: fa(x)=ax²

◦ Hellgrün:

◦ f(x)=0,1x²

◦ f(x)=0,2x²

◦ f(x)=1,0x²

◦ Orange:

◦ f(x)=-0,1x²

◦ f(x)=-0,2x²

◦ f(x)=-1,0x²

◦ Darunter sieht man die Schargleichung fa(x)=ax²

Funktionsscharen - Grundlagen

Fun fact

eine stark gestauchte Parabel, => nach oben geöffnet

eine mäßig gestauchte Parabeln, => nach oben geöffnet

die gar nicht gestauchte => Normalparabel

eine stark gestauchte Parabel, => nach unten geöffnet

eine mäßig gestauchte Parabeln, => nach unten geöffnet

eine Normalparabel, => nach unten geöffnet

Fun fact:

Auf Platz eins der Lieblingszahlen ist mit 10% die 7!!!

Die Funktion ax² mit verschiedenen Werten für "a"

Mögliche Formen:

Geradenschar --> besteht nur aus Geraden

Parallelenschar --> alle Geraden sind parallel zueinander

Geradenbündel --> alle Geraden schneiden sich in einem Punkt

Geradenbüschel --> alle Geraden schneiden sich in einem Punkt und liegen in der gleichen Ebene

Parabelschar --> alle Funktionen sind Parabeln

Funktionsscharen - Grundlagen

<-- Parabelschar

Fallunterscheidung

Fun fact

Für a gilt: f(x)= (a - 1)x³ - 4ax

1. a>0, bzw. a ist ein Element aller positiven reellen Zahlen

--> keine Fallunterscheidung nötig

2. a ist ein Element aller reellen Zahlen oder ungleich Null

--> negative Werte sind möglich

--> Fallunterscheidung ist nötig

Fun fact:

In einem Raum mit 23 Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Leute am seiben tag Geburtstag haben, exakt 50%!!!

Auch bei der Berechnung von Extremstellen ist die Fallunterscheidung wichtig:

fa´´(...) = 20a > 0, wenn a > 0 TP

fa´´(..) = 20a < 0, wenn a < 0 HP

fa´´(...) = 20a = 0, wenn a = 0 SP

Fallunterscheidung

"a" wird wie eine einfache Zahl behandelt!

Ableiten und Integrieren

Integrieren

Ableiten

Was gehört alles zu einer Kurvendiskussion?:

Fun fact

Kurvendiskussion

1. Definitions- und Wertebereich

2. Symmetrie

3. Globalverhalten

4. Nullstellen

5. Ableitung

6. Extrempunkte

7. Monotonie

8. Krümmungsverhalten

9. Wendepunkte

10. (Skizze)

11. Ortskurve

How to? ---->

Fun fact:

Die Franzosen haben keine Tortendiagramme. Bei Ihnen sind es Camembert-Diagramme!

Die Ortskurve ist eine Kurve, auf der alle Punkte einer gegebenen Funktionsschar liegen, welche eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, wie z.B. die Ortskurve der Tiefpunkte

Besonderheit - Die Ortsskurve

Fun fact

Gegeben ist die folgende Funktionsschar mit t > 0:

ft(x) = x² - tx +0,5t²

Zur Berechnung hier entlang -->

Fun fact:

2520 ist die kleinste Zahl, die durch alle Zahlen von 1-10 geteilt werden kann!

Mach mit beim Quiz!!!

Das Quiz ------->

Übungsaufgaben Kurvendiskussion Funktionsscharen:

Übungsaufgaben

Übungsaufgaben Funktionsscharen generell:

Fühlst du dich jetzt sicher, dann ist hier noch ein Quiz für dich!:

Übungsaufgaben Ortskurve:

Übungsaufgaben Funktionsscharen - Abitur:

https://www.rhetos.de/html/lex/kurvenschar.htm

https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenschar

https://www.studyhelp.de/online-lernen/mathe/funktionsschar/

https://abiturma.de/mathe-lernen/analysis/scharen/ortskurve

https://de.serlo.org/mathe/1613/funktionenschar

Quellen

¡muchas gracias!

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