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COMMENCER

COMPLETER UN
TABLEAU DE VARIATIONS...

MATHEMATIQUES

  • On donne une fonction f(x)

Le principe...

  • On représente graphiquement la fonction

  • On observe les variations de la fonction que l'on reporte dans un tableau, ce tableau s'appelle le "tableau de variations"...

En BP, le tableau est construit par l'observation de la courbe.


La méthode à partir de la fonction dérivée

sera présentée en Bac dans un module à part...

Comment est composé un tableau de variations?

Une ligne pour x

Une ligne pour f(x)

Exemple de tableau :

Des flèches...

Des nombres particuliers...

Des symboles...

Fonction croissante...

Une fonction est croissante lorque f(x) augmente quand x augmente !

"la courbe monte"

Une définition plus mathématique de la notion de croissance :


f(x) est croissante si pour x1 < x2 alors f(x1) < f(x2)

Ne pas oublier que la courbe se lit de gauche à droite !

Fonction décroissante...

Une fonction est décroissante lorque f(x) diminue quand x augmente !

"la courbe descend"

Une définition plus mathématique de la notion de croissance :


f(x) est croissante si pour x1 < x2 alors f(x1) > f(x2)

Ne pas oublier que la courbe se lit de gauche à droite !

Maximum / Minimum d'une fonction...

la fonction est croissante puis décroissante...

la fonction est décroissante puis croissante...

MAXIMUM

MINIMUM

En ce point la valeur de f(x) est la plus grande...


On dit que le maximum de la fonction

est en x = a


et ce maximum vaut f(a) = M

En ce point la valeur de f(x) est la plus petite...


On dit que le minimum de la fonction

est en x = a


et ce minimum vaut f(a) = m

Tableau de variations...

Etude d'un premier exemple
pas à pas...

-2

1.5

5

-4

2

-4

La fonction est croissante de -2 à 1.5, je place une flèche croissante

La fonction est décroissante de 1.5 à 5, je place une flèche décroissante

La fonction a un maximum M(1.5 ; 2)

L'abscisse est x = 5, je place ce nombre dans le tableau...

L'ordonnée est f(5) = -4, je place ce nombre dans le tableau...

L'ordonnée est f(-2) = -4, je place ce nombre dans le tableau...

L'ordonnée est f(1.5) = 2, je place ce nombre dans le tableau...

L'abscisse est x = 1.5, je place ce nombre dans le tableau...

L'abscisse est x = -2, je place ce nombre dans le tableau...

la courbe commence en x = -2

je reporte cette valeur dans le tableau...

J'observe un sommet en x = 1.5

je reporte cette valeur dans le tableau...

la courbe termine en x = 5

je reporte cette valeur dans le tableau...

la courbe commence en x = -2

je reporte cette valeur dans le tableau...

la courbe commence en x = -2

je reporte cette valeur dans le tableau...

la courbe commence en x = -2

je reporte cette valeur dans le tableau...

Point de coordonnées ( -2 ; -4 )

Point de coordonnées ( 1.5 ; 2 )

Point de coordonnées ( 5 ; -4 )

Je dois faire attention au placement des nombres dans le tableau !

Je dois faire attention au placement des nombres !

La lecture graphique des coordonnées d'un point a déjà été vue dans un module précédent !

Tableau de variations...

Etude d'un second exemple...

-5

-1

3

7

-9

7

La fonction est décroissante de -5 à -1, je place une flèche décroissante

La fonction est croissante de -1 à 3, je place une flèche croissante

La fonction a un minimum m(-1 ; -9)

Ce point a pour coordonnées (-5 ; 7)...
Je place les nombres dans le tableau...

Ce point a pour coordonnées (3 ; 7)...
Je place les nombres dans le tableau...

Ce point a pour coordonnées (-1 ; -9)...
Je place les nombres dans le tableau...

Point de coordonnées ( -5 ; 7 )

Point de coordonnées ( -1 ; -9 )

Point de coordonnées ( 3 ; 7 )

Je dois faire attention au placement des nombres dans le tableau !

Je dois faire attention au placement des nombres !

La lecture graphique des coordonnées d'un point a déjà été vue dans un module précédent !

Tableau de variations...

Etude d'un troisième exemple...

-1

0

1.3

-1

2

0.8

La fonction est croissante de -1 à 0, je place une flèche croissante

La fonction est décroissante de 0 à 1.3, je place une flèche décroissante

La fonction est croissante de 1.3 à 2, je place une flèche croissante

2

2

Je dois faire attention au placement des nombres dans le tableau !

Point de coordonnées ( 1.3 ; 0.8 )

Point de coordonnées ( -1 ; -1)

Point de coordonnées ( 0 ; 2)

Point de coordonnées ( 2 ; 2 )

La lecture graphique des coordonnées d'un point a déjà été vue dans un module précédent !

Tableau de variations...

Comportement en l'infini...

-∞

0

+∞

+∞

0

+∞

Que se passe-t-il en l'infini ?...

La fonction est décroissante...

puis croissante

On utilise le symbole -∞ ou +∞ pour décrire le comportement de la fonction

Un 1er exemple :

La valeur de x tend vers -∞

La valeur de f(x) tend vers +∞


point rouge sur le graphe

La valeur de x tend vers +∞

La valeur de f(x) tend vers +∞


point bleu sur le graphe

En ce point la fonction tend vers +∞

En ce point la fonction tend vers +∞

L'étude générale se fait lorsque la fonction

a étudier n'est pas proposée sur un intervalle donné


Par exemple :

Etudier la fonction f(x) = x² sur l'intervalle [ -5 ; +5 ] signifie que x varie de -5 à +5

Etudier la fonction f(x) = x² signifie que x varie de -∞ à +∞

La notion sera développée plus tard sous le terme de "Limites d'une fonction"

Tableau de variations...

Comportement en l'infini...

-∞

0

+∞

-∞

0

-∞

Que se passe-t-il en l'infini ?...

La fonction est croissante...

puis décroissante...

On utilise le symbole -∞ ou +∞ pour décrire le comportement de la fonction

Un 2ème exemple :

La valeur de x tend vers -∞

La valeur de f(x) tend vers -∞


point rouge sur le graphe

La valeur de x tend vers +∞

La valeur de f(x) tend vers -∞


point bleu sur le graphe

En ce point la fonction tend vers -∞

En ce point la fonction tend vers -∞

L'étude générale se fait lorsque la fonction

a étudier n'est pas proposée sur un intervalle donné


Par exemple :

Etudier la fonction f(x) = x² sur l'intervalle [ -5 ; +5 ] signifie que x varie de -5 à +5

Etudier la fonction f(x) = x² signifie que x varie de -∞ à +∞

La notion sera développée plus tard sous le terme de "Limites d'une fonction"

Tableau de variations...

Comportement en l'infini...

-∞

+∞

-∞

+∞

Que se passe-t-il en l'infini ?...

La fonction est croissante

On utilise le symbole -∞ ou +∞ pour décrire le comportement de la fonction

Un 3ème exemple :

La valeur de x tend vers -∞

La valeur de f(x) tend vers -∞


point rouge sur le graphe

La valeur de x tend vers +∞

La valeur de f(x) tend vers +∞


point bleu sur le graphe

En ce point la fonction tend vers +

En ce point la fonction tend vers -∞

L'étude générale se fait lorsque la fonction

a étudier n'est pas proposée sur un intervalle donné


Par exemple :

Etudier la fonction f(x) = x² sur l'intervalle [ -5 ; +5 ] signifie que x varie de -5 à +5

Etudier la fonction f(x) = x² signifie que x varie de -∞ à +∞

La notion sera développée plus tard sous le terme de "Limites d'une fonction"

Tableau de variations...

Valeur interdite...

Que se passe-t-il en l'infini ?...

-∞

0

+∞

0

0

On désigne une valeur interdite par une double barre dans un tableau de variations !

C'est comme un "mur infranchissable"

-∞

+∞

Décroissant

Décroissant

En ce point la fonction tend vers 0

Dans cet exemple, la fonction n'est pas définie pour x = 0

On ne peut pas calculer f(0)...

la courbe est "coupée" en 2 parties...


x = 0 est alors une valeur interdite !

La valeur de x tend vers -∞

La valeur de f(x) tend vers 0


point rouge sur le graphe

La valeur de x tend vers +∞

La valeur de f(x) tend vers 0


point bleu sur le graphe

En ce point la fonction tend vers 0

En ce point la fonction tend vers -∞

En ce point la fonction tend vers +∞

La recherche d'une valeur interdite se fait à partir de l'étude de l'équation de la fonction et fera l'objet d'un autre module !

Etape 1

Etape 2

Je repère les bornes de la fonction,

valeur de départ de x et valeur d'arrivée...

Je renseigne la ligne des abscisses (x) du tableau...

Je relève les valeurs de f(x) pour les points repérés et je place ces valeurs dans le tableau...

Etape 3

Je complète avec des flèches croissantes ou décroissantes...

puis des symboles si l'étude l'impose !

Etape 4

En résumé...

la méthode

A toi de t'exercer maintenant avec les activités proposées...