Признаки равенства треугольников

Признаки равенства треугольников

ТРЕУГОЛЬНИК. ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. РАВНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ВЫСОТА, МЕДИАНА И БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ОТРЕЗКУ

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

1. Треугольник. Виды треугольников. Равные треугольники

Треугольником называется трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает

1.1. Треугольник

1

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки

2

1.2. виды Треугольников

По углам

Равнобедренный

Разносторонний

Равносторонний

По сторонам

Остроугольный

Прямоугольный

Тупоугольный

1.3. равные Треугольники

Равными называются треугольники, которые можно совместить наложением так, что соответственно совпадут все три его стороны и все три угла

О треугольнике из истории

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ

Треугольники в архитектуре

Треугольники в географии и астрономии

Треугольники в искусстве, творчестве, литературе и живописи

Задача "Треугольники"

PISA: математическая грамотность

Нестрого 2-6 классы Описание

Строго 7-11 классы Определение

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны. Если ΔABC = ΔA1B1C1 и AB = A1B1, то ∠ C = ∠ C1, а если ∠ B = ∠ B1, то AC = A1C1

Треугольник, у которого все стороны разные по длине

Треугольник, у которого две стороны равны и называются боковыми, а третья сторона - основание

Треугольник, у которого все стороны равны

Треугольник, у которого все углы острые

У данного треугольника один из углов - прямой; стороны, образующие прямой угол - катеты, сторона, лежащая против прямого угла - гипотенуза

Треугольник, у которого один из углов тупой

Интересные факты про треугольник 1. Треугольник –это первая геометрическая фигура, которую обнаружили в древних орнаментах. 2. В Египте треугольник считается символом духовной воли, любви, интуиции, а также высшего разума человека. Эта геометрическая фигура символизирует личность и душу. 3. Согласно древнееврейской традиции, равносторонний треугольник является символом совершенства. Для христиан треугольник, прежде всего, означает святую Троицу- Отца, Сына и Святого Духа. 4. Символ креста + треугольник вместе образуют алхимический знак Серы. 5. У ацтеков треугольник с вершиной наверху в сочетании с другим перевёрнутым треугольником, считался символом временного цикла.

Ответ: D

2. первый и второй признаки равенства треугольников

2.1. первый признак равенства треугольников

1

2

2.2. второй признак равенства треугольников

ТЕОРЕМА (второй признак равенства треугольников)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

AB=MNAC=MK ∠A=∠M⇒Δ АВС = Δ MNK

ТЕОРЕМА (первый признак равенства треугольников)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

AC=MK ∠A=∠M∠С=∠К⇒Δ АВС = Δ MNK

Как в Древнем Египте применили первый признак равенства треугольников

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВОпервого признака равенства треугольников

ДОКАЗАТЕЛЬСТВОвторого признака равенства треугольников

Задача 1 "Визитные карточки"

Задача 2 "Сложенный ковер"

Говорят, что две стороны и угол между ними задают треугольник однозначно.

Говорят, что сторона и два прилежащих к ней угла задают треугольник однозначно.

А вот как в Древнем Египте применили первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), создателем которого также считается Фалес Милетский, для измерения высоты пирамиды: представим, что мы стоим перед огромной пирамидой, как же измерить её высоту? Ведь к ней не приложишь измерительные приборы! И тут на помощь Фалесу Милетскому приходит первый признак равенства треугольников: он подождал пока тень его точно совпадёт с его ростом, применил теорему, получилось, что высота пирамиды равна её тени.

ЗАДАЧА 1. "ВИЗИТНЫЕ КАРТОЧКИ" На столе лежат две визитные карточки так, что одна частично перекрыта другой. Определи размеры «визитки» по данным, указанным на рисунке ЗАДАЧА 2. "СЛОЖЕННЫЙ КОВЕР" Лежащий на полу ковер прямоугольной формы сложили по диагонали. Выполнив измерения, указанные на рисунке, Катя быстро определила размеры ковра. А ты сможешь?

Задача 1. Ответ: 3 и 5 см Задача 2. Ответ: 4 и 8 м

3. высота, медиана и биссектриса треугольника

3.1. высота треугольника

1

3

3.2. медиана ТРЕУГОЛЬНИКА

ВЫСОТОЙ треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на ее продолжение

МЕДИАНОЙ треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны

3.3. БИССЕКТРИСА ТРЕУГОЛЬНИКА

БИССЕКТРИСОЙ треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения биссектрисы с противоположной стороной

2

В равных треугольниках равны соответствующие высоты, медианы и биссектрисы. Если треугольник не равнобедренный, то высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины треугольника, не совпадают. Точки пересечения высот, биссектрис и медиан называются замечательными точками треугольника

Высота ВН

Медиана ВМ

Биссектриса ВК

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ

Задача "Детская палатка"

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (точка О)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (точка О)

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (точка О)

ЗАДАЧА "ДЕТСКАЯ ПАЛАТКА" Детская палатка представляет собой равнобедренный треугольник (∆АВС с основанием ВС, АD – медиана). Найдите длину медианы АD, если периметр треугольника АВС равен 32 дм, а периметр треугольника АВD равен 24 дм.

Ответ: 8 дм

4. СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ РАВНОБЕДРЕННОГО треугольника

4.1. равнобедренный треугольник. Определение

1

3

4.2. Теоремы равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны

ТЕОРЕМА Если в равнобедренном треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный

4.3. три признака равнобедренного треугольника, связанных с его высотой, медианой и биссектрисой

2

ТЕОРЕМА (о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является его медианой и высотой

ТЕОРЕМА (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный

ТЕОРЕМА Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный

ТЕОРЕМА Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны

1

2

ТЕОРЕМА (о свойстве углов при основании) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

ТЕОРЕМА Если в равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный

4

ТЕОРЕМА Если в равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный

В равнобедренном Δ АВС ВН - высота, медиана и биссектриса

3

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ

AB=BC ∠A=∠C⇒Δ АВС - равнобедренный

Равнобедренный треугольник. Треугольник Паскаля

5

5. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА треугольникОВ

5.1. Третий признак равенства треугольников

5.2. ПРАКТИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ ТРЕТЬЕГО ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник – жесткая фигура. Это свойство – жесткость треугольника широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку (рис. а); такой принцип используется на заборах во дворе (р. б), при установке кронштейна (р. в).

ТЕОРЕМА (третий признак равенства треугольников)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

AB = MNBC = NKAC = MK⇒Δ АВС = Δ MNK

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВОтретьего признака равенства треугольников

Задача "Воздушный змей"

О признаках равенства треугольников

• 9 признаков равенства прямоугольных треугольников
• 12 признаков равенства равнобедренных треугольников
• 11 признаков по другим элементам
• IV признак.

Если две стороны и угол, лежащий против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, лежащему против большей из них другого треугольника, то такие треугольники равны

признака равенства треугольников:

33

Говорят, что три стороны задают треугольник однозначно.

ЗАДАЧА "ВОЗДУШНЫЙ ЗМЕЙ" Жене на День рождения бабушка подарила воздушный змей, который имеет форму выпуклого четырехугольника. Известно, что у него есть равные стороны (АС = ВС, АD = BD), а один из углов - 120о (∠CAD). Чему равен ∠CBD?

Ответ: 120 градусов

Итак, теперь вы знаете три признака равенства треугольников. Можно сформулировать и другие признаки равенства треугольников, в которых неизбежно будет присутствовать соответственное равенство каких-то трех элементов двух треугольников. Не любые три элемента задают треугольник. Так, например, если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники не обязательно равны. То же касается треугольников, у которых соответственно равны две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон.

6. СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ОТРЕЗКУ

6.1. серединный перпендикуляр треугольника

6.2. Теорема о серединном перпендикуляре

Серединный перпендикуляр к отрезку - прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину

Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка

Серединный перпендикуляр CD

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку

AN = BNAM = BM AL = BL

ПРОЙДИ ТЕСТ И ПРОВЕРЬ СЕБЯ

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника — это еще одна замечательная точка треугольника помимо уже известных вам точек пересечения биссектрис, медиан, высот.

Задача на построение серединного перпендикуляра к отрезку

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО прямого утверждения

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО обратного утверждения

Построение серединного перпендикуляра к отрезку ЗАДАЧА: Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ. Поиск решения Проведем рассуждения, которые помогут осуществить необходимое построение. Предположим, что серединный перпендикуляр а к отрезку АВ построен (рис. а). Пусть точки F и D лежат на серединном перпендикуляре так, что OF = OD. Прямоугольные треугольники FOB и DOB равны по двум катетам, следовательно, BF = BD. Иначе говоря, точки F и D лежат на окружности ɷ̙ (B, BF) и BF > ОВ. Аналогично AF=AD, так как треугольник FOA равен треугольнику DOA. Кроме того, легко увидеть, что AF=BF. Таким образом, точки F и D лежат также и на окружности ɷ̙ (A, BF). Построение 1) Строим окружности ɷ̙ (A, R) и ɷ̙ (B, R) , где R ≥ AВ. Пусть, например, R = AB: ɷ̙(A, AB) и ɷ̙ (B, AB) (рис. б). 2) Отмечаем точки F и D пересечения окружностей ɷ̙ (A, AB) и ɷ̙ (B, AB). 3) Тогда прямая FD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.