Probabiliteit - Raadsel van chevalier de mere

Probeer het raadsel op te lossen

Het raadsel van Chevalier de Mere

De dobbelsteen

De dobbelsteen zoals we die vandaag kennen werd erg populair in de Middeleeuwen. Chevalier de Mere was dol op gokspelletjes en hij stelde volgend raadsel voor...

Alles kan gebeuren, niets is onmogelijk.

Wat is het meest waarschijnlijke; minstens één 6 te gooien in 4 worpen met één dobbelsteen, of minstens één dubbele 6 te gooien in 24 worpen met twee dobbelstenen?

Het raadsel

Opdrachten

+info

Probeer minstens één dubbele 6 te gooien in 24 worpen (met twee dobbelstenen)

Tweede opdracht

Probeer minstens één 6 te gooien in 4 worpen (met één dobbelsteen)

Eerste opdracht

De som van de waarschijnlijkheden van de elementaire gebeurtenissen van één experiment is 1.

De waarschijnlijkheid van een enkelvoudige gebeurtenis is altijd positief of nul. Een waarschijnlijkheid van nul betekent dat de gebeurtenis zich onmogelijk kan voordoen. Een negatieve waarschijnlijkheid zou minder dan onmogelijk betekenen, wat geen steek houdt.

De twee basiseigenschappen van kansrekening

Om een probleem op te lossen is het belangrijk om de overeenkomstige gebeurtenis correct te beschrijven.

We gooien bv met één dobbelsteen. Hierbij kan je mogelijke uitkomsten verzinnen. Je zou een even getal kunnen gooien. Of je zou een getal kleiner dan 3 kunnen gooien. Of je kan de dobbelsteen 4 keer gooien, en minstens één 6 bekomen. Of niet één 6 bij 4 worpen. Elk van bovenstaande voorbeelden zijn gebeurtenissen. Van gebeurtenissen kunnen we de kans op voorkomen bepalen.

wat is een gebeurtenis?

Met een gebeurtenis bedoelen we één of meerdere uitkomsten van een kansexperiment. We illustreren dit begrip met een voorbeeld.

Negatie: de kans dat een gebeurtenis zich niet voordoet, is 1 - de kans dat de gebeurtenis zich wél voordoet.Vb: De kans om een getal groter dan 2 te gooien, is 1 - de kans om een getal kleiner dan of gelijk aan 2 te gooien = 1 - 1/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3

Somregel: de kans dat één van twee onafhankelijke gebeurtenissen zich voordoet is de som van de kansen.Vb: de kans om een 6 of een 4 te gooien met een dobbelsteen is 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

De 3 regels van waarschijnlijkheid; het product, de som en de negatie

De 3 regels om een probleem op te lossen

Productregel: de kans dat twee onafhankelijke gebeurtenissen zich voordoen is het product van de kansen.Vb: de kans om eerst een 6 te gooien met een dobbelsteen en daarna een 4 te gooien is 1/6 * 1/6 = 1/36.

Je zou één, twee, drie of zelfs vier 6-en kunnen gooien. Al die situaties voldoen aan de voorwaarde. We zoeken dus de kans dat één van die 4 situaties zich voordoet.

Bepaal de kans op minstens één 6 bij 4 dobbelsteenworpen.

Antwoord op de eerste vraag

Antwoord op de eerste vraag

Maar we kunnen het ook anders bekijken: we kunnen ook de kans bepalen dat in 4 worpen geen 6 gegooid wordt.

Maak gebruik van de regels van de waarschijnlijkheid

Wat is de kans om geen 6 te gooien in 1 worp? Dat is 1 - de kans op 6 in 1 worp.Regel van negatie: P(geen 6 in 1 worp) = 1- P(wel 6) = 1 - 1/6 = 5/6Wat is de kans om geen 6 te gooien in 4 worpen? Hier kunnen we de productregel toepassen.P(geen 6 in 4 worpen)= P(geen 6 in 1e worp én geen 6 in 2e worp én geen 6 in 3e worp én geen 6 in 4e worp) = P(geen 6 in 1e worp)*P(geen 6 in 2e worp)*P(geen 6 in 3e worp)*P(geen 6 in 4e worp)= 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 0,482.Wat is de kans op minstens één 6 in 4 worpen?P(minstens één 6 in 4 worpen) = 1 - 0,482 = 0,518

Antwoord op de eerste vraag

Antwoord op de tweede vraag

We lossen dit op door opnieuw na te denken over de negatie: de kans om geen dubbele 6 te gooien in 24 worpen met 2 dobbelstenen.

Maak gebruik van de regels van de waarschijnlijkheid

Wat is de kans om geen dubbele 6 te gooien in één worp?Er zijn 36 mogelijke uitkomsten bij gooien met 2 dobbelstenen. Eén daarvan is de dubbele 6.Dus is P(geen dubbele 6 in één worp) = 1 - 1/36 = 35/36.Wat is de kans om geen dubbele 6 te gooien in 24 worpen? Hier kunnen we opnieuw de productregel toepassen.P(geen dubbele 6 in 24 worpen)= P(geen dubbele 6 in 1e worp én geen dubbele 6 in 2e worp én ... én geen dubbele worp in 24e worp)= P(geen dubbele 6 in 1e worp) * P(geen dubbele 6 in 2e worp) * ... * P(geen dubbele 6 in 24e worp)= 1/36 * 1/36 * ... * 1/36 = 0,509Wat is de kans op minstens één dubbele 6 in 24 worpen?P(minstens één dubbele 6 in 24 worpen) = 1 - 0,509 = 0,491

Antwoord op de tweede vraag

is de kans om minstens één dubbele 6 te gooien in 24 worpen met twee dobbelstenen.

49.1%

is de kans om minstens één 6 te gooien in 4 worpen met één dobbelsteen.

51.8%

Oplossing van het raadsel

Dank je wel om mee het raadsel op te lossen!