BASIC PRESENTATION

I numeri naturali

14. Proprietà della sottrazione e della divisione

13. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

12. Proprietà associativa della moltiplicazione

11. Proprietà associativa dell'addizione

10. Proprietà commutativa della moltiplicazione

9. Proprietà commutativa dell'addizione

7. Proprietà delle operazioni in N

6. Le espressioni letterali

5. Espressioni numeriche

4. Operazioni e operandi

3. Numeri e lettere

2. Rappresentazione e ordinamento

8. Legge dell'annulamento del prodotto

1. I numeri naturali

Indice

14. Numeri primi

13. Criteri di divisibilità

12. Multipli e Divisori

11. Multipli,divisori,MCD,mcm

10. Quoziente di potenze con lo stesso esponente

9. Prodotto di potenze con lo stesso esponente

7. Quoziente delle potenze con la stessa base

6. prodotto di potenze con la stessa base

5. Le prorpieta delle potenze

4. Proprietà invariantiva della divisione

3. Proprietà invariantiva della sottrazione

2. Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione e alla sottrazione

8. Potenza di potenze

1. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto la sottrazione

Indice

4. Algoritmo di Euclide sul MCD

3. Algoritmo di Euclide sul mcm

2. mcm

1. MCD

Indice

I numeri naturali, indicati con ℕ, sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; e tutti quelli che si possono ottenere mettendo insieme queste dieci cifre. Si dice anche che queste cifre sono la base della numerazione e si dice siano i numeri più "intuitivi" che esistono.

I numeri naturali

≥ maggiore o uguale;

≤ minore o uguale;

> maggiore;

< minore;

I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale segniamo con una freccia il verso di percorrenza. La rappresentazione sulla semiretta fa vedere che l'insieme dei numeri naturali è ordinato e possiamo sempre confrontare due numeri naturali fra loro. Per indicare le relazioni d'ordine esistono dei simboli:

Rappresentazione e ordinamento

Se n è = 5, il suo successivo sarà 5 + 1=6

La lettera utilizzata viene definita variabile dato che può essere sostituita con numeri differenti ogni volta.

Nella matematica quando si vuole indicare un numero generico si utilizzano le lettere. Come per esempio "n".

Numeri e lettere

Le operazioni con i numeri naturali sono: addizione, sottrazione,moltiplicazione, divisione e la potenza. I due numeri usati si chiamano "operandi", in base alle operazioni assumono nomi differenti.

Operazioni e operandi

Successivamente otteniamo: 20+6=26

Esempio: 4×5+6

Questo risultato lo si ottiene eseguendo prima la moltiplicazione 4×5=20 e ,a questo risultato,aggiungiamo il 6 ottenendo il risultato finale di 26

E' un espressione numerica in quanto vi è prima una moltiplicazione e poi una somma

L’espressione numerica è una scrittura in cui compaiono dei numeri legati fra di loro da varie operazioni.

Espressioni numeriche

Esempio:nell'espressione 3a + b, a e b sono variabili. se a =5 e b = 7 = 3 * 5 + 7= 22

Un’espressione letterale (o espressione algebrica letterale) è un’insieme di operazioni che legano sia fattori numerici che letterali. In generale, il valore di una espressione algebrica letterale è il risultato numerico che si ottiene eseguendo le operazioni previste, applicando alle lettere presenti il valore indicato: il valore dell’espressione, quindi, varia a seconda dei valori numerici che si assegnano alle lettere dell’espressione stessa.

Le espressioni letterali

a*b=0 0=a o 0=b

In una moltiplicazione,il prodotto è 0 se e solo uno dei due fattori è 0

Legge dell'annulamento del prodotto

a+b = b+a4+5 = 5+4

Cambiando l'ordine degli addendi, il risultato non cambia

Proprietà commutativa dell'addizione

Cambiando l'ordine dei fattori,il risultato non cambia

a*b = b*a

Proprietà commutativa della moltiplicazione

(a+b)+c = a+(b+c) (3+4)+2 = 3+(4+2)

La somma dei tre numeri non cambia se associamo diversamente gli addendi

Proprietà associativa dell'addizione

(a*b)*c = a*(b*c) (8*7)*2 = 8*(2*7)

Il prodotto dei tre numeri non cambia se associamo diversamente i fattori.

Proprietà associativa della moltiplicazione

Il prodotto di un numero per una somma è uguale alla somma dei prodotti fra il numero e ognuno degli addendi.

a*(b+c)=a*b+a*c (a+b)*c=a*c+b*c

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

a:b=d perchè d*b=a

a-b=d perchè d+b=a

La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: il quoziente fra due numeri è quel numero che moltiplicato per il divisore dà il dividendo

La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione: la differenza di due numeri è quel numero che sommato al sottraendo da il minuendo

Proprietà della sottrazione e della divisione

c*(a-b)=c*a - c*b(a-b)*c=a*c - b*c

se b≤a

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto la sottrazione

(a+b):c=a:c + b:c(a-b):c=a:c - b:c

se c≠0 e le sottrazioni e divisioni sono possibili

Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione e alla sottrazione

a-b=(a+c) - (b+c)a-b=(a-c) - (b-c)quando le sottrazioni sono possibili.

La differenza fra due numeri non cambia se ognuno si aggiunge o si toglie lo stesso numero

Proprietà invariantiva della sottrazione

a:b =(a*c) : (b*c)a:b=(a:c) : (b:c)

Il quoziente fra due numeri non cambia se ognuno viene moltiplicato o diviso per uno stesso numero diverso da 0

Proprietà invariantiva della divisione

Le propietà delle potenze

Il prodotto di due o più potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Prodotto di potenze con la stessa base

Il quoziente di potenza con la stessa base, ha la stessa base e come esponenti la differenza degli esponenti

Quoziente delle potenze con la stessa base

La potenza di potenze ha come base la stessa base e come sponenti il prodotto degli esponenti

Potenza di potenze

Il prodotto di potenze ha lo stesso esponente e per la base il prodotto delle basi

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Il quoziente tra due potenze con lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha ancora lo stesso esponente, ma per base il quoziente tra le due basi.

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Multipli,divisori,MCD,mcm

Un numero b diverso da 0 è divisore di a se il quoziente tra a e b è di resto 0

10=2*510 è multiplo di 2 2 è divisore di 10

a è un multiplo di b se esiste un numero naturale q che multiplicato per b dà a

Multipli e Divisori

I principali criteri di divisibilità sono quelli mostrati nella tabella

Se a è un multliplo di b diciamo che a è divisibile per b

Criteri di divisibilità

Esempio di scomposizione in fattori primi

Un numero non primo può essere scritto come potenze di numeri primi. La sua scomposizione in fattori primi,quindi è unica.

Un numero naturale è detto "primo" se ha come divisore solo 1 e se stesso

Numeri primi

MCM(12,18)=6

Divisori di 18: 1,2,3,6,9,18

Divisori di 12: 1,2,3,4,6,12

Consideriamo ad esempio 12 e 18

Il massimo comun divisore (MCD) è il più grande divisore comune

MCD

mcm(12,18)=36

Multipli di 18: 18,36,54,72,90..

Multipli di 12: 12,24,36,48,60,72..

Considerando 12 e 18

Il minimo comune multiplo (mcm) è il più piccolo multiplo comune diverso da 0

mcm

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Dati due numeri naturali a e b, il loro minimo comune multiplo si calcola dividendo il prodotto per il loro MCD

Algoritmo di Euclide sul Mcm

Algoritmo di Euclide sul MCD

I Numeri Interi

14. Come funziona?

13. Crivello di Eratostene

12. Potenze in Z

11. Divisione in Z

10. Usiamo la regola dei segni

9. Moltiplicazione in Z

7. Sottrazione in Z

6. Come per l'addizione in N,per l'addizione in ZPer l'addizione in Z ci sono nuove proprietà riapetto a N

5. Addizzione in Z

4. Operazioni in Z e le loro proprietà

3. Regole

2. Confronti fra numeri interi

8. Proprietà della sottrazione

1. I Numeri Interi

Indice

L' insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z o \mathbbZ, perché è la lettera iniziale di "Zahl" che in tedesco significa numero.

I numeri interi sono formati dall' unione dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno meno davanti ai naturali positivi.

I Numeri Interi

i simboli corretti sono: MAGGIORE: > MINORE: < UGUALE: =

Confrontare due numeri interi relativi significa stabilire se uno è maggiore, minore o uguale ad un altro. Nella pratica si possono seguire alcune indicazioni per eseguire facilmente il confronto di numeri interi relativi.

Confronti fra numeri interi

• 0 è maggiore di ogni intero negativo e minore di ogni intero positivo.

• Ogni intero negativo è minore di ogni intero positivo.

• Il minore di due interi positivi è quello con il valore assoluto minore.

• Il minore di due interi negativi è quello con il valore assoluto maggiore.

Regole

Operazioni in Z e le loro proprietà

Esempio: (-7)+(+3)=-4

Esempio:(-3)+(-5)=-8

Quando i numeri sono discordi la loro somma è un numero che ha:

• segno uguale a quello dell'addendo con valore assoluto maggiore
• valore assoluto uguale alla differenza tra il valore assoluto maggiore e quello minore

Quando i numeri sono concordi la loro somma è un numero che ha:

• segno uguale a quello degli addendi
• valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei due numeri

Addizzione in z

• L'operazione dell'addizione è interna: la somma di due numeri interi è sempre un numero intero
• La somma di un numero intero e del suo opposto è zero

Per l'addizione in Z ci sono nuove proprietà riapetto a N

• esiste l'elementro neutro,che è lo zero
• valgono le proprieta commutativa e associoativa

Come per l'addizione in N,per l'addizione in Z

Esempio: (-12)-(-3)=(-12)+(+3)=-9(+9)-(+4)=(+9)+(-4)=+5

La differenza di due numeri interi è la somma del minuendo con l'opposto del sottraendo

Sottrazione in z

Poichè la sottrazione si trasforma in addizione,in Z possiamo considerare addizione e sottrazione come la stessa operazione,l'addizione algebrica,e chiamare somma algebrica il suo risultato

• In Z l'operazione della sottrazione è interna,mentra in N non lo è

• Come in N,in Z la sottrazione gode della proprietà invariantiva

Proprietà della sottrazione

Il prodotto di due interi diversi da 0 è un intero che ha:1. segno positivo, e se i fattori sono concordi, segno negativo se sono discordi;2. valore assoluta è uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori.Se almeno uno dei fattori è 0, il prodotto e 0

Moltiplicazione in Z

(-1)(-2)(-3)(-2)(-1)= -12 = prodotto negativo

5 fattori negativi:

(-1)(-2)(+3)(-2)(-1)= +12 =prodotto positivo

fattori negativi:

(-6)*(-8)= (-6)(-8)= 48

il segno di moltiplicazione può essere sotto inteso

(+2)*(+5)= +10 (+4)*(-1)= -4 (-7)*(-8)= +56

usiamo la regola dei segni

(-8) : (+2)=-4 =discordi(+8) : (-2)=-4 =discordi

Il quoziente di 2 numeri interi diversi da 0, se esiste,è un intero che ha:1.segno positivo se divisore e dividendo sono concordi, segno negativo se sono discordi;2. valore assoluto uguale al quoziente del valore assoluti del dividendo e del divisore

(+8) : (+2)= +4 = concordi(-8) : (-2)= +4 =concordi

Divisione in Z

La potenza di un intero è un intero che ha:- segno negativo solo se la base è negativa e l'esponente è dispari.- valore assoluto uguale alla potenza con stesso esponente del valore assoluto alla base

Potenze in Z

È ancora utilizzato come algoritmo di calcolo dei numeri primi da molti programmi per computer, per via della sua semplicità.

Il crivello di Eratostene è un antico algoritmo per il calcolo delle tabelle di numeri primi fino a un certo numero prefissato. Questo principio deve il proprio nome al matematico Eratostene di Cirene, che ne fu l'ideatore.

Crivello di Eratostene

L'idea di Eratostene era molto semplice eliminare in sequenza i numeri composti, in modo che sulla tavola rimanessero solo i numeri primi.Procedura da seguire:1) La prima cosa da fare è scrivere in un elenco, o tabella, tutti i numeri naturali da 2 a 100.2) Si comincia con il numero 2, che è un numero primo. Si cancellano tutti i numeri divisibili per 2, cioè tutti i numeri par.3) Il primo numero successivo al 2, tra quelli non cancellati, è il 3, che sarà quindi un altro numero primo. Si cancellano tutti i suoi multipli, cioè tutti i numeri divisibili per 3.4) Il primo numero successivo al 3, tra quelli non cancellati, è il 5, che sarà quindi un altro numero primo. Si procede, ancora una volta, cancellando tutti i numeri divisibili per 5.5) Il primo numero successivo al 5, tra quelli non cancellati, è il 7, che sarà quindi un altro numero primo. Si procede cancellando tutti i numeri divisibili per 76) Tutti i numeri che restano sono stati cerchiati in rosso e sono i numeri primi da 1 a 100.A questo punto ci si potrebbe chiedere, perché la procedura si è fermata quando siamo arrivati a 7?La risposta è molto semplice. Il crivello di Eratostene permette di trovare tutti i primi minori di un certo numero.

Come funziona?

Pierfrancesco PazzaneseNaomi GranitoFederico MelloneLuigi Caso Emanuele Cauchi

GRAZIE PER L'ATTENZIONE