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I numeri naturali

Indice

1. I numeri naturali

8. Legge dell'annulamento del prodotto

2. Rappresentazione e ordinamento

3. Numeri e lettere

4. Operazioni e operandi

5. Espressioni numeriche

6. Le espressioni letterali

7. Proprietà delle operazioni in N

9. Proprietà commutativa dell'addizione

10. Proprietà commutativa della moltiplicazione

11. Proprietà associativa dell'addizione

12. Proprietà associativa della moltiplicazione

13. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

14. Proprietà della sottrazione e della divisione

Indice

1. Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto la sottrazione

8. Potenza di potenze

2. Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione e alla sottrazione

3. Proprietà invariantiva della sottrazione

4. Proprietà invariantiva della divisione

5. Le prorpieta delle potenze

6. prodotto di potenze con la stessa base

7. Quoziente delle potenze con la stessa base

9. Prodotto di potenze con lo stesso esponente

10. Quoziente di potenze con lo stesso esponente

11. Multipli,divisori,MCD,mcm

12. Multipli e Divisori

13. Criteri di divisibilità

14. Numeri primi

Indice

1. MCD

2. mcm

3. Algoritmo di Euclide sul mcm

4. Algoritmo di Euclide sul MCD

I numeri naturali

I numeri naturali, indicati con ℕ, sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; e tutti quelli che si possono ottenere mettendo insieme queste dieci cifre. Si dice anche che queste cifre sono la base della numerazione e si dice siano i numeri più "intuitivi" che esistono.

Rappresentazione e ordinamento

I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale segniamo con una freccia il verso di percorrenza. La rappresentazione sulla semiretta fa vedere che l'insieme dei numeri naturali è ordinato e possiamo sempre confrontare due numeri naturali fra loro. Per indicare le relazioni d'ordine esistono dei simboli:

< minore;

> maggiore;

≤ minore o uguale;

≥ maggiore o uguale;

Numeri e lettere

Nella matematica quando si vuole indicare un numero generico si utilizzano le lettere. Come per esempio "n".

La lettera utilizzata viene definita variabile dato che può essere sostituita con numeri differenti ogni volta.

Se n è = 5, il suo successivo sarà 5 + 1=6

Operazioni e operandi

Le operazioni con i numeri naturali sono: addizione, sottrazione,

moltiplicazione, divisione e la potenza. I due numeri usati si chiamano "operandi", in base alle operazioni assumono nomi differenti.

Espressioni numeriche

L’espressione numerica è una scrittura in cui compaiono dei numeri legati fra di loro da varie operazioni.

E' un espressione numerica in quanto vi è prima una moltiplicazione e poi una somma

Questo risultato lo si ottiene eseguendo prima la moltiplicazione 4×5=20 e ,a questo risultato,
aggiungiamo il 6 ottenendo il risultato finale di 26

Esempio:

4×5+6

Successivamente otteniamo:

20+6=26

Le espressioni letterali

Un’espressione letterale (o espressione algebrica letterale) è un’insieme di operazioni che legano sia fattori numerici che letterali.


In generale, il valore di una espressione algebrica letterale è il risultato numerico che si ottiene eseguendo le operazioni previste, applicando alle lettere presenti il valore indicato: il valore dell’espressione, quindi, varia a seconda dei valori numerici che si assegnano alle lettere dell’espressione stessa.

Esempio:


nell'espressione 3a + b, a e b sono variabili.

se a =5 e b = 7 = 3 * 5 + 7= 22

Legge dell'annulamento del prodotto

In una moltiplicazione,

il prodotto è 0 se e solo uno dei due fattori è 0

a*b=0 0=a o 0=b

Proprietà commutativa dell'addizione

Cambiando l'ordine degli addendi,

il risultato non cambia

a+b = b+a


4+5 = 5+4

Proprietà commutativa della moltiplicazione

a*b = b*a

Cambiando l'ordine dei fattori,

il risultato non cambia

Proprietà associativa dell'addizione

La somma dei tre numeri non cambia se associamo diversamente gli addendi

(a+b)+c = a+(b+c)


(3+4)+2 = 3+(4+2)

Proprietà associativa della moltiplicazione

Il prodotto dei tre numeri non cambia se associamo diversamente i fattori.

(a*b)*c = a*(b*c)


(8*7)*2 = 8*(2*7)

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

a*(b+c)=a*b+a*c

(a+b)*c=a*c+b*c

Il prodotto di un numero per una somma è uguale alla somma dei prodotti fra il numero e ognuno degli addendi.


Proprietà della sottrazione e della divisione

La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione: la differenza di due numeri è quel numero che sommato al sottraendo da il minuendo


La divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione: il quoziente fra due numeri è quel numero che moltiplicato per il divisore dà il dividendo


a-b=d perchè d+b=a


a:b=d perchè d*b=a

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto la sottrazione

se b≤a

c*(a-b)=c*a - c*b

(a-b)*c=a*c - b*c

Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione e alla sottrazione

se c≠0 e le sottrazioni e divisioni sono possibili

(a+b):c=a:c + b:c


(a-b):c=a:c - b:c

Proprietà invariantiva della sottrazione

La differenza fra due numeri non cambia se ognuno si aggiunge o si toglie lo stesso numero

a-b=(a+c) - (b+c)


a-b=(a-c) - (b-c)

quando le sottrazioni sono possibili.

Proprietà invariantiva della divisione

Il quoziente fra due numeri non cambia se ognuno viene moltiplicato o diviso per uno stesso numero diverso da 0

a:b =(a*c) : (b*c)


a:b=(a:c) : (b:c)

Le propietà delle potenze

Prodotto di potenze con la stessa base

Il prodotto di due o più potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Quoziente delle potenze con la stessa base

Il quoziente di potenza con la stessa base, ha la stessa base e come esponenti la differenza degli esponenti

Potenza di potenze

La potenza di potenze ha come base la stessa base e come sponenti il prodotto degli esponenti

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Il prodotto di potenze ha lo stesso esponente e per la base il prodotto delle basi

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Il quoziente tra due potenze con lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha ancora lo stesso esponente, ma per base il quoziente tra le due basi.

Multipli,divisori,

MCD,mcm

Multipli e Divisori

a è un multiplo di b se esiste un numero naturale q che multiplicato per b dà a

10=2*5

10 è multiplo di 2
2 è divisore di 10

Un numero b diverso da 0 è divisore di a se il quoziente tra a e b è di resto 0

Criteri di divisibilità

Se a è un multliplo di

b diciamo che a è
divisibile per b

I principali criteri di divisibilità sono quelli mostrati nella tabella

Numeri primi

Un numero naturale è detto "primo" se ha come divisore solo 1 e se stesso

Un numero non primo può essere scritto come potenze di numeri primi. La sua scomposizione in fattori primi,

quindi è unica.

Esempio di scomposizione in fattori primi

MCD

Il massimo comun divisore (MCD) è il più grande divisore comune

Consideriamo ad esempio 12 e 18

Divisori di 12: 1,2,3,4,6,12

Divisori di 18: 1,2,3,6,9,18

MCM(12,18)=6

mcm

Il minimo comune multiplo (mcm) è il più piccolo multiplo comune diverso da 0

Considerando 12 e 18

Multipli di 12: 12,24,36,48,60,72..

Multipli di 18: 18,36,54,72,90..

mcm(12,18)=36

Algoritmo di Euclide sul Mcm

Dati due numeri naturali

a e b, il loro minimo comune multiplo si calcola dividendo il prodotto per il loro MCD

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Algoritmo di Euclide sul MCD

I Numeri Interi

Indice

1. I Numeri Interi

8. Proprietà della sottrazione

2. Confronti fra numeri interi

3. Regole

4. Operazioni in Z e le loro proprietà

5. Addizzione in Z

6. Come per l'addizione in N,per l'addizione in Z

Per l'addizione in Z ci sono nuove proprietà riapetto a N

7. Sottrazione in Z

9. Moltiplicazione in Z

10. Usiamo la regola dei segni

11. Divisione in Z

12. Potenze in Z

13. Crivello di Eratostene

14. Come funziona?

I Numeri Interi

I numeri interi sono formati dall' unione dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno meno davanti ai naturali positivi.

L' insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con

Z o \mathbbZ, perché è la lettera iniziale di "Zahl" che
in tedesco significa numero.

Confronti fra numeri interi

Confrontare due numeri interi relativi significa stabilire se uno è maggiore, minore o uguale ad un altro.


Nella pratica si possono seguire alcune indicazioni per eseguire facilmente il confronto di numeri interi relativi.


i simboli corretti sono:
MAGGIORE: >

MINORE: <

UGUALE: =


Regole

  • 0 è maggiore di ogni intero negativo e minore di ogni intero positivo.

  • Ogni intero negativo è minore di ogni intero positivo.

  • Il minore di due interi positivi è quello con il valore assoluto minore.

  • Il minore di due interi negativi è quello con il valore assoluto maggiore.

Operazioni in Z e le loro proprietà

Addizzione in z

Quando i numeri sono concordi la loro somma è un numero che ha:

  • segno uguale a quello degli addendi
  • valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei due numeri

Quando i numeri sono discordi la loro somma è un numero che ha:

  • segno uguale a quello dell'addendo con valore assoluto maggiore
  • valore assoluto uguale alla differenza tra il valore assoluto maggiore e quello minore

Esempio:

(-3)+(-5)=-8

Esempio:

(-7)+(+3)=-4

Come per l'addizione in N,

per l'addizione in Z

  • esiste l'elementro neutro,che è lo zero
  • valgono le proprieta commutativa e associoativa

Per l'addizione in Z ci sono nuove proprietà riapetto a N

  • L'operazione dell'addizione è interna: la somma di due numeri interi è sempre un numero intero
  • La somma di un numero intero e del suo opposto è zero

Sottrazione in z

La differenza di due numeri interi è la somma del minuendo con l'opposto del sottraendo

Esempio:

(-12)-(-3)=(-12)+(+3)=-9

(+9)-(+4)=(+9)+(-4)=+5

Proprietà della sottrazione

  • In Z l'operazione della sottrazione è interna,mentra in N non lo è

  • Come in N,in Z la sottrazione gode della proprietà invariantiva

Poichè la sottrazione si trasforma in addizione,in Z possiamo considerare addizione e sottrazione come la stessa operazione,l'addizione algebrica,

e chiamare somma algebrica il suo risultato

Moltiplicazione in Z

Il prodotto di due interi diversi da 0 è un intero che ha:


1. segno positivo, e se i fattori sono concordi, segno negativo se sono discordi;

2. valore assoluta è uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori.

Se almeno uno dei fattori è 0, il prodotto e 0

usiamo la regola dei segni

(+2)*(+5)= +10 (+4)*(-1)= -4 (-7)*(-8)= +56

il segno di moltiplicazione può essere sotto inteso

(-6)*(-8)= (-6)(-8)= 48

fattori negativi:

(-1)(-2)(+3)(-2)(-1)= +12 =prodotto positivo

5 fattori negativi:

(-1)(-2)(-3)(-2)(-1)= -12 = prodotto negativo

Divisione in Z

(+8) : (+2)= +4 = concordi

(-8) : (-2)= +4 =concordi

Il quoziente di 2 numeri interi diversi da 0, se esiste,è un intero che ha:


1.segno positivo se divisore e dividendo sono concordi, segno negativo se sono discordi;

2. valore assoluto uguale al quoziente del valore assoluti del dividendo e del divisore

(-8) : (+2)=-4 =discordi
(+8) : (-2)=-4 =discordi


Potenze in Z

La potenza di un intero è un intero che ha:


- segno negativo solo se la base è negativa e l'esponente è dispari.

- valore assoluto uguale alla potenza con stesso esponente del valore assoluto alla base

2

2

3

3

Crivello di Eratostene

Il crivello di Eratostene è un antico algoritmo per il calcolo delle tabelle di numeri primi fino a un certo numero prefissato. Questo principio deve il proprio nome al matematico Eratostene di Cirene, che ne fu l'ideatore.

È ancora utilizzato come algoritmo di calcolo dei numeri primi da molti programmi per computer, per via della sua semplicità.

Come funziona?

L'idea di Eratostene era molto semplice eliminare in sequenza i numeri composti, in modo che sulla tavola rimanessero solo i numeri primi.

Procedura da seguire:
1) La prima cosa da fare è scrivere in un elenco, o tabella, tutti i numeri naturali da 2 a 100.
2) Si comincia con il numero 2, che è un numero primo. Si cancellano tutti i numeri divisibili per 2, cioè tutti i numeri par.
3) Il primo numero successivo al 2, tra quelli non cancellati, è il 3, che sarà quindi un altro numero primo. Si cancellano tutti i suoi multipli, cioè tutti i numeri divisibili per 3.
4) Il primo numero successivo al 3, tra quelli non cancellati, è il 5, che sarà quindi un altro numero primo. Si procede, ancora una volta, cancellando tutti i numeri divisibili per 5.
5) Il primo numero successivo al 5, tra quelli non cancellati, è il 7, che sarà quindi un altro numero primo. Si procede cancellando tutti i numeri divisibili per 7
6) Tutti i numeri che restano sono stati cerchiati in rosso e sono i numeri primi da 1 a 100.
A questo punto ci si potrebbe chiedere, perché la procedura si è fermata quando siamo arrivati a 7?
La risposta è molto semplice. Il crivello di Eratostene permette di trovare tutti i primi minori di un certo numero.

GRAZIE PER L'ATTENZIONE

Pierfrancesco Pazzanese

Naomi Granito
Federico Mellone
Luigi Caso
Emanuele Cauchi