Examen cours MAT-2101 (Kouakou D. & Mirko O.)

Références : Dappa Kouakou et Mirko Oliveri Préparation pour l'examen du cours MAT-2101, CSSDM, novembre 2021

Préparation à l'examen du cours

MAT-2101

Références : Dappa Kouakou et Mirko Oliveri Préparation pour l'examen du cours MAT-2101, CSSDM, novembre 2021

Quel est le contenu de l'examen ?

Comment est structurée l'épreuve ?

Comment est corrigée l'epreuve ?

Conseils pour mieux se préparer

Resources complémentaires

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Cours MAT- 2101

Contenu de l'examen

Structure de l'examen

Correction de l'examen

Conseil pour se préparer

Ressources complémentaires

Définitions

Notation Exponentielle

Résolutions d'équation

Bases de l'algèbre

Arithmétique

Résolutions de problèmes

Racine carrée et cubique

Priorité des opérations

Manipulations algébriques

Modèles algébriques

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 Égalité  on appelle égalité toute expression numérique contenant le signe « = ». Elle peut être vraie ou fausse

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Bases de l'algèbre - Définitions

Exemples :

Une égalité vraie, car chaque membre (chaque côté du signe =) de l’égalité vaut 8.

3 + 5 = 2+ 6

Une égalité vraie, car chaque membre de l’égalité vaut -10.

Une égalité fausse, car le membre de gauche vaut 14 tandis que celui de droite vaut 15.

- 6 • 3 + 8 = 5 - 15

17 - 3 = 14 + 1

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 Variable En algèbre, on désigne par une lettre la valeur à déterminer. Cette valeur peut être variable ou fixe (inconnue). L’adoption des lettres pour designer des nombres inconnus permet d’alléger l’écriture X désigne le nombre inconnu qui permet à cette égalité d’être vraie.

4 a

3 x + 2 = 8

Coeficient le coefficient est un nombre qui multiplie la variable Remarque : généralement, on omet le signe de la multiplication pour ne pas le confondre avec la variable X.On peut aussi le remplacer par • Exemple : 15•X ou simplement 15X au lieu de 15xX

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Bases de l'algèbre - Définitions

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Expression algébrique Une expression algébrique est un ensemble de variables (lettres) et de nombres reliés entre eux par des symboles d'opération mathématique (+, -, x, ÷) . Une expression algébrique est formée d'une ou plusieurs lettres ainsi que d'un ou plusieurs nombres.

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Bases de l'algèbre - Définitions

3x + 2y - xy + 23

3x + 2y - xy + 23

Termele terme est un élément d’une expression algébrique. On les appelle aussi des monômes. Dans l’exemple ci-dessus on a 4 termes : 3x, 2y, -xy et 23. 23 est un terme constant, car il ne contient pas de variable.

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ÉquationUne équation est une égalité qui contient des expressions algébriques.

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Résoudre une équation Trouver les valeurs numériques des variables qui rendent l’égalité obtenue vraie Pour 3z + 4 = 16, si on remplace z par 4 on obtient 3•4 + 4 = 16 qui est une égalité vraie. On dit alors que 4 est la solution de l’équation 3z + 4 = 16.

Bases de l'algèbre - Modèle Algébrique

x = 5 3z + 4 = 162t - 7 = 3w + 6

Exemples

3z + 4 = 163•4 + 4 = 16z = 4

Voir la section Manipulations algébriques et résolution d’équations pour des exemples plus complexes de résolution d’équations

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Modèle algébrique (formule)Un modèle algébrique est une relation entre plusieurs variables permettant de décrire une situation donnée.

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Bases de l'algèbre - Modèle Algébrique

Exemple: Un plombier charge 35 $ par heure de travail avec des frais de déplacement 75 $. Modélisez le prix à payer en fonction du temps (en heures) nécessaire pour une visite du plombier chez un client.

Les variables sont : Le prix à payer au plombier ($) : p Le temps nécessaire (heures) : t le prix est égal à 35 multiplié par le nombre d’heures plus 75. Le modèle est donc : p = 35t + 75

Chaque fois que l’on veut calculer le prix à payer, il suffit donc de remplacer t par les nombres d’heures et faire le calcul. Ainsi, après trois heures de travail le prix sera de 180 $ car, p = 35 . 3 + 75 = 105 + 75 = 180On peut aussi déterminer le nombre d’heure de travail si on connait le prix payé par un client au plombier.

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Principe Résoudre une équation c’est trouver l’inconnue qui rendrait l’égalité obtenue vraie.

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Bases de l'algèbre - Résolution d'équation

essai-erreurCertaines équations sont simples à résoudre, car l’inconnue peut être facilement déterminée par essai-erreur.

Isoler la variable Lorsque l’inconnue n’est pas simple à deviner, on transforme l’équation jusqu’à obtenir une équation équivalente dont l’un des membres est constitué seulement de l’inconnue cherchée.

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Bases de l'algèbre - Résolution d'équation

essai-erreurExemple : m + 5 = 15.

Isoler la variable Exemple : 3Y + 6 = 102

Il s’agit de trouver le nombre dont la somme avec 5 donne 15. C’est bien sûr le nombre 10.

On doit faire les mêmes opérations sur les membres de l’équation de sorte que l’inconnue Y soit isolée.

3Y + 6 = 1023Y + 6 -6 = 102 -6

on soustrait 6 à chaque membre et on fait les calculs nécessaires)

3Y = 963Y÷3 = 96÷3

on divise par 3 (le coefficient de Y ) pour obtenir Y

La solution à cette équation est donc 32. On vérifie bien que 3.32 + 6 = 96 + 6 = 102.

Y = 32

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Bases de l'algèbre - Résolution d'équation

Isoler la variable Exemple 2 :

Éliminer la parenthèse

Additionner ou soustraire les termes semblables

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2

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Bases de l'algèbre - Résolution d'équation

Isoler la variable Exemple 2 (suite)

Isoler les termes avec les variables d’un côté de l’équation et les termes sans variables du côté opposé

Multiplier ou diviser la variable par une constante

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2

Bases de l'algèbre - Résolutions de problèmes

3

4

Étapes pour établir un modèle algébrique

Identifier les variables dans la situation Déterminer la régularité de la situation (on peut par exemple faire quelques exemples de calculs) Établir le modèle algébrique Résoudre l’équation en remplaçant dans le modèle algébrique les données du problème

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Bases de l'algèbre - Résolutions de problèmes

Modélisation Algébrique

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Exemple :

Hélène veut s’inscrire à un centre d’entraînement local pour se garder en forme. Le centre lui charge 30$ par mois et il y a un frais fixe de 40$ pour ouvrir le dossier. Quel modèle algébrique représente le coût à payer selon le nombre de mois ? Quel est le coût pour 6 mois ? 1 an ? Hélène a finalement payé 310$, combien de mois peut-elle aller au centre?

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Identifier les variables dans la situation

Bases de l'algèbre - Résolutions de problèmes

1

Q = 30M + 40

2

3

Déterminer la régularité

Pour 1 mois on a : Q = 30•1 + 40 Pour 2 mois on a : Q = 30•2 + 40 Pour 3 mois on a : Q= 30•3 + 40 Pour M mois on a : Q = 30•M + 40

Q = coût total à payer ($) M = nombres de mois

4

Le modèle algébrique qui décrit cette situation est :

Établir le modèle algébrique

Pour M = 6 mois Q = 30 • 6 + 40 Q = 220$ Pour M = 1 an = 12 mois Q = 30 • 12 + 40 Q = 400$

Résoudre l’équation en remplaçant dans le modèle algébrique les données du problème

Pour Q = 310310 = 30 • M + 40 310 - 40 = 30 •M + 40 - 40 270 = 30 • M 270/30 = 30/30 • M 9 = M9 mois

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Bases de l'algèbre - Résolutions de problèmes

Modélisation Algébrique

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Exemple 2 :

Luc est payé par jour à un salaire fixe. Quand il travaille 7 jours, il reçoit 714 $. Écrire le modèle algébrique qui lui permettra de calculer son salaire selon de nombres de jours de travail. Déterminer son salaire s’il travaille 10 jours.

(situation directement proportionnelle)

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Identifier les variables dans la situation

Bases de l'algèbre - Résolutions de problèmes

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2

3

Vérifier le sens de variation des variables

Quand le nombre jours de travail augmente, le salaire augmente aussi. Donc il s’agit d’une situation de proportionnalité directe

N : le nombre de jours de travail (jours) S : le salaire de Luc ($)

4

Écrire la proportion et isoler l’une des deux variables

Résoudre l’équation obtenue en remplaçant l’une des variables par sa valeur

donc:

Le salaire de Luc sera donc de 1020 $ pour 10 jours de travail.

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Bases de l'algèbre - Résolutions de problèmes

Modélisation Algébrique

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Exemple 3 :

Quatre peintres ont besoin de 12 heures pour peindre une maison. Le chef d’équipe désire savoir le temps nécessaire pour peindre une maison selon le nombre de peintres. Aidez-le à modéliser cette situation. Déterminez le temps nécessaire à trois peintres pour peindre une maison.

(situation inversement proportionnelle)

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Identifier les variables dans la situation

Bases de l'algèbre - Résolutions de problèmes

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2

3

Vérifier le sens de variation des variables

Lorsque le nombre de peintres diminue, le temps nécessaire pour peindre une maison augmente. Par conséquent, les variables varient dans des sens opposés. Il s’agit d’une situation inversement proportionnelle

P : le nombre de peintres T : le temps nécessaire pour peindre une maison

4

Écrire la proportion inverse et isoler l’une des deux variables

Résoudre l’équation obtenue en remplaçant l’une des variables par sa valeur

Il faut inverser le rapport suivant

Pour 3 peintres P = 3, donc

ce qui donne

donc:

il faudra 16 heures à 3 peintres pour peindre une maison.

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Bases de l'algèbre - Résolutions de problèmes

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Exemple 4 :

L’aire totale de cette figure est de 72 m², qu’elle est la hauteur du triangle si la base du rectangle est de 10 m et la base du triangle est de 4 m ?

(situation d'algèbre géométrique)

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Subdiviser la figure complexe en figures simples et écrire les valeurs connues

Bases de l'algèbre - Résolutions de problèmes

1

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3

identifier l'inconnue

4

Écrire l'expression algébrique

Résoudre l'expression algébrique

Aire totale = aire du triangle + aire du rectangle

72 = 2h + 10h72 = 12h 72/12 = 12/12 h 6 = h

La mesure de la hauteur est de 6 mètres

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Définition La notation exponentielle est une façon d’exprimer plusieurs multiplications d’un même nombre.

Exemple :

Le nombre 5 est appelé la base Le nombre 3 est appelé l’exposant Le résultat 125 est appelé une puissance de 5

5•5•5 = 5³ = 125

Arithmétique - Notation Exponentielle

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Autres exemples :

-4² = -(4 • 4) = -16

(-4)² = (-4) • (-4) = 16

8² = 8 • 8 = 64

9 = 1

Arithmétique - Notation Exponentielle

0

3 = 3

1

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Définition Prenons le nombre X positif, la racine carrée de X est un nombre réel qui, multiplié par lui-même (élevé au carré) donne X

Arithmétique - Racine carrée et cubique

La racine cubique d’un nombre N est un nombre réel dont l’exposant 3 est N.

³

√64 = 4, car 4³ = 4 • 4 • 4 = 64

√25 = 5, car 5² = 5 • 5 = 25

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Exemples

Arithmétique - Racine carrée et cubique

³

√1000 = 10, car 10 •10.10 = 1000

√36 = 6, car 6 • 6 = 36

√1 = 1, car 1 • 1 = 1

√12² = 12, car 12 • 12 = 12²

³

√343 = 7, car 7 • 7 • 7 = 343

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Arithmétique - Manipulations Algébriques

Manipulations algébriquesPuisque les lettres représentent des nombres, elles obéissent aux mêmes règles arithmétiques vues dans les cours précédents.

Termes semblablesDeux termes qui ne diffèrent entre eux que par leurs coefficients numériques sont dits semblables. Exemples :

72a et 3a sont semblables0,5m² et m² sont semblables 3x³y et -5x³y sont semblables 12nm² et 2n²m ne sont pas semblables

37

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Arithmétique - Manipulations Algébriques

Addition et soustraction des expressions algébriquesOn peut simplifier (ou réduire) de la somme ou de la différence de deux termes semblables. Il suffit d’additionner ou soustraire leurs coefficients.

Exemples :

4S + 9S = (4 + 9)S= 13S-5yx³- 3x³y = (-5 - 3)x³y = -8x³y = -8yx³

Par contre, lorsque les termes ne sont pas semblables, on ne peut pas simplifier leur somme ou leur soustraction. Ainsi, 3x + 2y restera inchangé.

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Arithmétique - Manipulations Algébriques

Multiplication et division des expressions algébriques

Exemples :

-5a • (-3ab) = (-5 • -3) • a • a • b = 8a²b

4x³y 2•2•x•x•x•y 2•2•x•x•x•y

2x²y

2•x•x•y

2•x•x•y

= 2x

=

=

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Arithmétique - Manipulations Algébriques

Réduction d’expressions algébriques (à suivre)Réduire une expression algébrique, c’est effectuer les opérations qui s’y trouvent afin d’obtenir une forme simplifiée équivalente.

Exemples :

7x² + 8x - 2x + 12x² =(7+12)x² + (8-2)x = 19x² - 6x5x - (2x+6) + 7 - (5 - 4x) = 5x -2x -6 + 7 -5 + 4x = (5-2+4)x - 6 + 7 - 5 = 7x - 4

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Arithmétique - Priorité des opérations

Priorité des opérations

Calculer dans les parenthèses (ou les éliminer en respectant les règles)Calculer les exposants Multiplier ou diviser de gauche à droite Additionner ou soustraire de gauche à droite

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Arithmétique - Priorité des opérations

Exemple :

5² • 2 + (3 - 2 • 4 ) + 7

Étapes de calculs

Calculer dans les parenthèsesCalculer les exposants Multiplier ou diviser de gauche à droiteAdditionner ou soustraire de gauche à droite

5² • 2 + (3 - 2 • 4 ) + 75² • 2 + (3 - 8 ) + 75² • 2 -5 + 7

5² • 2 + -5 + 7 25 • 2 + -5 + 7

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Arithmétique - Priorité des opérations

Exemple :

Étapes d'une résolution

Éliminer les parenthèsesCalculer les exposants Multiplier ou diviser de gauche à droiteAdditionner ou soustraire de gauche à droite

25 • 2 - 5 + 750 - 5 + 7

50 - 5 + 745 +752

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L'examen final est une épreuve écrite constituée d’un document de réponses dénommé cahier de l’adulte.Pouvant être administré en une séance d’une durée de 2 heures 30, il comprend deux parties :1re partie : Évaluation explicite des connaissances (20% de la note finale) : 30 minutes Elle consiste à répondre à des questions menant à des réponses courtes ou à des réponses plus élaborées.2e Partie : Évaluation des connaissances mobilisées (80% de la note finale) : 2 heures Des problèmes à résoudre présentés dans une ou plusieurs situations de vie liées aux relations entre les quantités. Matériel autorisé - Une calculatrice ou une calculatrice scientifique - Des instruments de géométrie - Une règle graduée selon le système impérial - Une feuille de formules annexée au Cahier de l’adulte (voir ressources complémentaires)- Un aide-mémoire Remarque : l’épreuve est accompagnée d’une grille qui précise les critères de l’évaluation.

des questions

L’aire totale de cette figure est de 72 m². Quelle est la hauteur du triangle si la base du rectangle est de 10 m et celle du triangle est de 4 m ?

situations de vie

• Achat d’un bien
• Location d’un bien
• Abonnement à un service
• Vente lors d’une collecte de fonds

• Échange de devises
• Recherche d’emploi en tenant compte du salaire
• Planification d’un repas à partir d’une recette
• Consommation énergétique
• Utilisation d’un levier

• Déplacement en voiture
• Installation de plinthes ou de cadres
• Pose de céramique
• Entretien d’une piscine
• Aménagement paysager

• Construction d’une rampe d’escalier
• Traitement d’une pelouse

Un aide-mémoire

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Ressources complémentaires

des questions

situations de vie

Un aide-mémoire

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Ressources complémentaires

Comment est corrigée l’épreuve ? Pour réussir votre examen, vous devrez obtenir une note finale de 60% ou plus. Votre copie sera corrigée par votre enseignant selon la grille qui se trouve en dessous de chaque question ou chaque tâche. Exemple grilles pour les questions :

Ici l’élève a obtenu la note de 3/4

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Ressources complémentaires

Exemple grilles pour les tâches :

Remarque : vous pouvez donc utiliser cette grille pour faire votre auto-évaluation quand vous vous préparez à l’examen ou pendant la passation de l’épreuve.

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Conseil pour se préparer

Ressources complémentaires

Conseils pour mieux se préparer

Lire toutes les questions et les traiter dans l’ordre de votre choix : commencer à traiter les questions qui vous semblent les plus faciles afin de vous donner de la confiance.

S’assurer de donner la réponse sous la forme attendue en respectant les unités et les symboles.

Gérer le temps adéquatement. Sauter une question ou une tâche si elle vous semble trop longue ou trop difficile et y revenir plus tard en fonction du temps qui vous reste.

Penser toujours à faire le lien entre les questions et les tâches de l’examen avec les notions que vous avez vues dans le cours.

Gérer les incertitudes (en cas de manque d’informations, faites appel à votre bon sens par rapport aux situations de vie au programme du cours).

Contenu de l'examen

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Correction de l'examen

Conseil pour se préparer

Ressources complémentaires

Conseils pour mieux se préparer

Prendre le temps de relire vos réponses.

Donner le plus de détails possibles dans vos démarches.

Rédiger la feuille aide-memoire au fur et à mesure des apprentissages et faire une version définitive en fin d’apprentissage.

Vérifier si la réponse est vraisemblable selon le contexte.

Donner des titres à ce que vous faites (exemple : le nombre d’autobus est : )

Faire l’autoévaluation et l’évaluation par les paires.

Numéroter les différentes étapes de votre démarche.

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Conseil pour se préparer

Ressources complémentaires

Feuille de formules

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Conseil pour se préparer

Ressources complémentaires

Feuille de formules (suite)

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Conseil pour se préparer

Ressources complémentaires

Nous vous recommandons les sites suivants :

Allô Prof

NETMATH

Google

Khan Academy

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Bases de l'algèbre - Résolutions algébriques

Résolution algébriquebut: trouver la valeur de la variable ou l'inconnu

Étapes d'une résolution

Éliminer les parenthèsesAdditionner ou soustraire les termes semblables de chaque côté de l’équation Isoler les termes avec les variables d’un côté de l’équation et les termes sans variables du côté opposé Multiplier ou diviser la variable par une constante

1

2

3

4

2(x-4) + 3x = 2x +1

3x = 9

2x - 8 + 3x = 2x +1

2(x-4) + 3x = 2x +1

5x + 8 = 2x +1

Structure de l'épreuve

Correction de l'épreuve

Conseil pour se préparer

Ressources supplémentaires

5x - 8

-1 + 8

1

3

2x-8

5x - 2x

1

3

x = 9