Combinatoria

COMBINATORIA

Vídeo (3era parte del trabajo)

Conclusión

Aplicaciones

Combinaciones con repetición

Combinaciones sin repetición

Números combinatorios

Permutaciones con repetición

Permutaciones sin repetición

Variaciones con repetición

Variaciones sin repetición

Factorial de un número

Principio general de recuento

Historia

Introducción

Índice

Este aspecto es muy útil, es una herramienta que nos permite contar el número de situaciones que se pueden dar al someter a un conjunto finito a las acciones de ordenar y/o elegir entre sus elementos.

Introducción

La combinatoria es una rama de la matemática perteneciente al área de las matemáticas discretas, estudia los métodos para contar las distintas configuraciones de los elementos de un conjunto que cumplan ciertos criterios especificados.

Problema 3

Problema 2

Problema 1

Paralela al desarrollo de otras ramas

Desde tiempos muy remotos ha habido problemas de combinatoria que han llamado la atención de los matemáticos

El nacimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido paralelo al desarrollo de otras ramas de las Matemáticas, como es el caso de la teoría de números, álgebra y probabilidad.

Historia

Se puede considerar que en Occidente la combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad, contenían paralelamente los principios para determinar el número de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se estableció la tradicional conexión entre combinatoria y probabilidad.

Fermat, Pascal

Occidente

Wihemn Leibniz en su Dissertatio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la Combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (el arte de conjeturar) de J. Bernouilli. Este trabajo estaba dedicado a establecer las nociones básicas de probabilidad. Pero para esto era necesario introducir un buen número de nociones básicas de combinatoria ya que se usaron aplicaciones al cálculo de probabilidades. Por ello, se puede decir que ambos trabajos establecieron como independiente esta rama de las matemáticas.

Introducido por

Término

Posteriormente el matemático Leonard Euler desarrolló una escuela de combinatoria. Esto sería en torno al siglo XVIII.En sus artículos sobre la partición y descomposición de enteros positivos en sumandos, estableció las bases de uno de los métodos fundamentales para el cálculo de configuraciones combinatorias, que es el método de funciones generadoras.

Escuela

Leonard Euler

En Inglaterra a finales del siglo XIX Arthur Cayley (motivado por el problema de calcular el número de isómeros de hidrocarburos saturados) hizo importantes contribuciones a la teoría de enumeración de grafos. Por este tiempo el matemático George Boole usó métodos de combinatoria en conexión con el desarrollo de la lógica simbólica y con las ideas y métodos que Henri Poincaré desarrolló en relación con problemas de topología.Los grafos toman su importancia debido a quelos grafos pueden servir como modelos abstractos para modelar una gran variedad de relaciones entre objetos de un conjunto.

Enumeración grafos

Arthur Cayley

Para facilitar el conteo examinaremos diferentes técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica aditiva, la técnica de la suma o adición, la técnica de la permutación o la técnica de la combinación

Principio general de recuento

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de uno o varios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

La función factorial se representa con un signo de exclamación “!” detrás de un número. Esta exclamación quiere decir que hay que multiplicar todos los números enteros positivos que hay entre ese número y el 1. A este número le llamamos generalmente X factorial.Los números factoriales se usan generalmente en combinatoria, para calcular combinaciones y permutaciones. A través de la combinatoria, los factoriales también se suelen utilizar para calcular probabilidades.

un número

Factorial de

Formación 4

Formación 3

Formación 1 y 2

Sin repetición

Las repeticiones sin repetición de m elementos tomados de n en n (de orden n), se definen como las distintas agrupaciones formadas con n elementos distintos, eligiéndolos de entre los m elementos de los cuales disponemos, considerando una variación distinta a otra que sí difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden. Siguiendo la construcción ordenada que se ha realizado, es fácil deducir una fórmula para obtener el número de variaciones sin repetición. V m,n = m . (m-1) … (m-n+1) = m!/(m-n)!

Variaciones

Formación 4

Formación 3

Formación 1 y 2

Con repetición

Las variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por VRm,n.Siguiendo la construcción ordenada que se ha realizado, es fácil deducir la fórmula para deducir u obtener el número de variaciones ordinarias o sin repetición: VR m,n = mn

Variaciones

Se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos n y m, siendo n = m. La única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos. En estas intervienen todos los elementos, no se pueden repetir e influye el orden en el que se coloca. Para construir permutaciones con repetición de un conjunto de elementos, tenemos que construir grupos de n elementos sin que se puedan repetir. Se trata entonces de hacer lo mismo que se ha hecho con las variaciones sin repetición de orden n a partir de un conjunto de n elementos. Pm = m ! = m. (m-1) . (m-2) . … . 3 . 2 . 1

Sin repetición

Permutaciones

Las permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces, etc n = a + b + c + etc Son distintos los grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que: - Sí entran todos los elementos - Sí importa el orden - Sí se repiten los elementos Su fórmula sería la siguiente: PRn^a, b, c, … = Pn / a! . b! . c! . ...

Con repetición

Permutaciones

Combinatorios

Las agrupaciones combinatorias que sólo consideran la esencia de los grupos formados y no su orden, llamadas combinaciones, han constituido una rama específica dentro del análisis combinatorio, con múltiples usos en diversos campos. La expresión numérica de tales combinaciones recibe el nombre de número combinatorio o coeficiente binómico.

Números

Se entiende por combinatoria sin repetición a los diferentes conjuntos que se pueden formar con n elementos, seleccionados de x en x. Cada conjunto se debe diferenciar del anterior en al menos uno de sus elementos (el orden no importa) y estos no se pueden repetir. La combinatoria sin repetición suele utilizarse en estadística y matemáticas. Esta se ajusta a muchas situaciones de la vida real y su aplicación es bastante sencilla.

Sin repetición

Combinaciones

La combinatoria con repetición son los diferentes conjuntos que se pueden formar con n elementos, seleccionados de x en x, permitiendo que estos se puedan repetir. Cada conjunto se debe diferenciar del anterior en al menos uno de sus elementos (el orden no importa) La combinatoria con repetición suele utilizarse en estadística y matemáticas. Esta se ajusta a muchas situaciones de la vida real y su aplicación es bastante sencilla.

Con repetición

Combinaciones

Los problemas combinatorios surgen en muchas áreas de la matemática pura, especialmente en álgebra, teoría de probabilidades, topología y geometría. Además, tiene muchas aplicaciones en la optimización matemática, la informática, la teoría ergódica y la física estadística.

Aplicaciones

Los métodos combinatorios son muy aplicables a la vida cotidiana, de echo, los utilizamos con mucha frecuencia y muchas de las veces sin darnos cuenta. Estos son algunos de los usos que se le da a la combinatoria.Además de los ya nombrados, su uso es destinado también para confeccionar y descifrar claves o para resolver problemas de la teoría de la información.

Usos

de horarios

Confección

características genéticas

Determinar

producción y mecanización

Planes de

de transporte

Problemas

Con las letras de la palabra Aurelio se forman todas las permutaciones. ¿Cuántas de ellas tienen las dos consonantes separadas?

Resueltos

Problema 3

Se suponen formadas todas las permutaciones posibles con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 9 y se toma una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número representado sea múltiplo de 12?

Resueltos

Problema 2

Se tienen 7 libros grandes distintos, 5 medianos y 3 pequeños, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden alinear en un estante si han de colocarse juntos los del mismo tamaño?

Resueltos

Problema 1

Como tal, hemos aprendido la magnitud del tema a trabajar, hemos visto las aplicaciones que tiene y nos hemos dado cuenta de que más allá de fórmulas, introducimos las matemáticas en nuestra rutina más banal y sencilla. Por ello, el trabajo ha resultado de gran ayuda.

Conclusión

Me ha parecido un trabajo muy interesante de realizar. Sin darnos cuenta utilizamos muchos aspectos de las matemáticas en nuestro día a día y realmente mejoran nuestro estilo y calidad de vida. Me ha parecido una manera más amena, profunda e interesante de aprender acerca de la combinatoria.

Tercera parte del trabajo

Vídeo acerca de mi trabajo