chap 1 - proba conditionnelle

Probabilites conditionnelles

Chapitre 1 :

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Cours

3 Indépendance de deux évènements

2 Formule des probabilités totales

1 Quelques rappels de première STMG

Sommaire

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Quelques rappels de 1.STMG

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Pour calculer la probabilité de l’évènement A, on applique la formule :

On considère un évènement A d’une expérience aléatoire d’univers Ω. On note Card(A) le nombre de fois où l’évènement A se produit. On l’appelle le cardinal de A.

On dit qu'une expérience est aléatoire lorsqu'on peut la reproduire dans les mêmes conditions et que le résultat, appelé issue est imprévisible

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Propriété : Si 𝑃(𝐴) ≠ 0, on a la formule :

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On considère A et B deux évènements tels que 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) ≠ 0. La probabilité de B sachant que l’évènement A est réalisé se note 𝑃𝐴(𝐵) et est donné par la formule :Cette probabilité s’appelle une probabilité conditionnelle.

On définit l’intersection de deux évènements A et B comme l’évènement réalisant en même temps l’évènement A et l’évènement B. On le note 𝐴⋂𝐵

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Le jeu d'échecs est constitué de 16 pièces noires et 16 blanches réparties comme suit : un roi, une dame, 2 fous, 2 cavaliers, deux tours et 8 pions dans chaque couleur. Les fous et cavaliers sont appelés pièces mineures alors que le roi et la dame des pièces lourdes.La probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit un pion est :La probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit une pièce mineure est :

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Dans une maternité, sur les 640 bébés nés cette année, 336 sont des garçons. La probabilité qu'un nouveau né soit une fille est :

Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. On note R : "tirer un coeur ou un carreau" et F : "Tirer une figure"La probabilité de F sachant R est :

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Lucie choisit au hasard un objet dans la boite.La probabilité de choisir une vis est :La probabilité de choisir un clou à tête ronde est :Sachant que l'objet choisi est une vis, la probabilité qu'elle soit à tête plate est :

Lucie décide de faire du tri dans son garage.Elle découvre une boite avec 140 clous et vis. Parmi ces clous et vis, 51 sont à tête ronde et les autres à tête plate. De plus il y a 85 clous dont 40% à tête ronde.Complète le tableau ci-dessous avant de répondre aux questions.

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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On interroge un jeune d'ile de France au hasard. La probabilité qu'il ait le permis est :

On interroge au hasard un jeune ayant le permis. La probabilité qu'il soit d'une zone rurale est : (arrodir le résultat à 0,01 près)

Lors d'une enquête, on a demandé à 1000 jeunes de 18 à 25 ans s'ils étaient titulaires du permis de conduire. Les résultats ont permis d'établir le tableau suivant :

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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La probabilité conditionnelle qu'un élève choisi parmi les moins de 17 ans fume est :

On choisit un élève au hasard parmi les fumeurs, la probabilité qu'il ait plus de 17 ans est : (à 0,01 près)

On choisit au hasard un élève dans un lycée. On note respectivement F et J les évènements "l'élève est fumeur" et "l'élève a moins de 17 ans"

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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La probabilité qu'un produit non écarté ait malgré tout un défaut est :

On choisit un appareil au hasard parmi les produits écartés. La probabilité qu'il ait un défaut est :

Dans une usine de montage, 7% des appareils sortants ont un défaut de fabrication. Dans 75% des cas, ce défaut est visible et le produit est écarté. Certains appareils, sans défauts sont retirés par erreur. Sur un lot de 400 appareils, 32 sont écartés.Complétez le tableau suivant :

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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Sachant que la solution ne précipite pas, la probabilité qu'elle contienne des ions sulfates est :

La probabilité que la solution ait des ions sulfates est:

On souhaite tester la présence d'ions sulfate dans une solution. On y verse successivement du chlorure de baryum puis du chlorure d'hydrogène.Dans 80% des échantillons, il se forme un précipité blanc et dans 25% des cas, ce précipité se dissout avec le chlorure d'hydrogène, ce qui montre qu'il n'est pas dû aux ions sulfate.Cependant, il arrive une fois sur 100 que malgré la présence des ions sulfate, le précipité ne se forme pas. On note B et S les évènements : "il se forme un précipité blanc" et "la solution contient des ions sulfates" . Compléter le tableau

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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Formule des probabilités totales

Soit A et B deux évènements avec P(A) non nul. Alors :

On considère des évènements A1, A2, ..., An formant la partition d'un univers.On considère B un évènement de cet univers. On a alors :Cette formule s'appelle la formule des probabilités totales

On considère des évènements A1, A2, ..., An d'un univers. On dit que ces évènements forment une partition de l'univers si:- ils sont disjoints deux à deux.- la réunion de tous ces évènements représente l'univers.

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La somme des probabilités issues d'un même noeud vaut 1La probabilité d'un évènement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités portées sur les branchesLa probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités qui aboutissent à sa réalisation

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Partition de l'univers

Formule des probas totales

Construire et lire un arbre

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La probabilité P(A) est :La probabilité est :La probabilité est :La probabilité est : La probabilité est : La probabilité P(B) est :

On considère l'arbre ci contre :

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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La probabilité P(A) est :La probabilité P(B) est : est :La probabilité P(C) est :La probabilité est : La probabilité est : La probabilité P(E) est :

On considère l'arbre ci contre :

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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La probabilité P(M3) est :La probabilité est :La probabilité est :La probabilité que l'appareil soit rouge est :

Un grossiste en appareils ménagers est approvisionné par 3 marques de gaufriers M1, M2 et M3. La moitié des appareils de son stocks provient de M1, un huitième de M2 et le reste de M3. 13% des gaufriers de la marque M1, 5% de la marque M2 et 10% de ceux de la marque M3 sont rouges. On choisit un gaufrier au hasard. On note R l'évènement "le gaufrier est rouge". Compléter l'arbre des probabilités.

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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La probabilité que la puce choisie vienne du fournisseur F2 et qu'elle ait un défaut est :La probabilité que la puce choisie ait un défaut est :Sachant que la puce choisie a un défaut, la probabilité qu'elle vienne du fournisseur F3 est :(à 0.0001 près)

Une entreprise achète des puces électroniques auprès de 3 fournisseurs F1, F2 et F3. 30% chez F1, 20% chez F2. Certaines puces présentent des défauts: 5% venant de F1, 3% venant de F2 et 10% de F3.On appele D l'évènement "la puce a un défaut". Compléter l'arbre des probabilités.

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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La probabilité de tirer deux boules de la même couleur est :

Une urne contient 3 boules rouges, 2 boules vertes et 2 boules noires. On tire successivement 2 boules dans l'urne sans les remettre. On considère les évènements R: "la boule est rouge", V :"la boule est verte" et N: "la boule est noire". Compléter l'arbre des probas.

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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Une agence de voyage ne propose que 3 destinations: les Antilles françaises, Cuba et les Maldives. Elle souhaite évaluer le niveau de satisfaction de ses clients.9% des clients partent aux Maldives et 98% d'entre eux sont satisfaits de leur séjour.79% des clients partent aux Antilles et 95% d'entre eux sont satisfaits de leur séjour.12% des clients artent à Cuba et 93% d'entre eux sont satisfaits de leur séjour.On note M : "le client est parti aux Maldives", C: "le client est parti à Cuba" et A : "le client est parti aux Antilles" et S : "le client est satisfait".On interroge un client au hasard, la probabilité qu'il soit satisfait est :Vous répondrez à la question après avoir fait un arbre sur votre cahier.

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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Au début des années 2000, Internet n'était pas aussi populaire et une étude sur l'intérêt accordé à internet sur un échantillon de 2000 personne a donné les résultats du tableau.Complétez le tableauOn choisit une personne au hasard. On note A1 :"la personne a moins de 30 ans", A2 :"la personne a entre 30 et 60 ans" et A3 :"la personne a plus de 60 ans". On note I:"la personne s'interesse à Internet"A l'aide du tableau, complétez les deux arbres.

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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En France, pour chaque naissance, la probabilité qu'il s'agisse d'un garçon est de 0.51.Un couple souhaite avoir 2 enfants. On suppose que les sexes des enfants sont indépendants l'un de l'autre. La probabilité que ce couple ait 2 garçons est :La probabilité que ce couple ait 2 filles est :Un autre couple souhaite avoir 3 enfants. La probabilité que ce couple ait 3 garçons est :Vous répondrez aux questions après avoir fait un arbre sur votre cahier.

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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Un sondage est réalisé par une mairie pour connaître les habitudes de ses administrés sur le traitement des déchets. 80% des personnes interrogées se déclarent sensibles au développement durable mais parmi elles, seulement 75% trient leurs déchets.70% des personnes interrogées déclarent trier leurs déchets. On choisit au hasard une personne de la commune. On note D: "la personne est sensible au développement durable" et T:"la personne trie ses déchets"Parmi les personnes non sensibles au DD, la probabilité qu'une personne trie ses déchets est :Pami les personnes qui trient leurs déchets, la probabilité d'interroger une personne sensible au DD est :Vous répondrez aux questions après avoir fait un arbre et avoir utilisé la formule des probas totales sur votre cahier.

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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J'habite dans une ville où il pleut un jour sur trois. S'il pleut, il y a une chance sur 2 que le trafic soit dense et une chance sur 4 qu'il le soit quand il ne pleut pas.Si le trafic est dense et s'il pleut, j'arrive en retard dans un cas sur 2. La probabilité que j'arrive en retard est de 1/16 s'il ne pleut pas et si le trafic n'est pas dense. Dans tous les autres cas, la probabilité que j'arrive en retard est de 1/8.On appelle P : "il pleut", D : "le trafic est dense" , R : "je suis en retard"La probabilité que j'arrive est retard est :Si j'arrive en retard, la probabilité qu'il pleuve est :Vous répondrez aux questions après avoir fait un arbre

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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Indépendance de deux évènements

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Remarques:Si A et B sont indépendants, la réalisation ou non de l'évènement A n'a pas d'influence sur celle de l'évènement B.Ne pas confondre deux évènements indépendants avec incompatibles (dont l'intersection est vide)Des tirages successifs peuvent être réalisés de manière indépendante : c'est le cas des tirages avec remise

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Démontrer indépendance

Utiliser indépendance

Utiliser indépendance

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On considère deux évènements A et B tels que P(A)=0.7 et P(B)=0.5. AUB est un évènement certain.Les évènements A et B sont-ils indépendants ?

On considère deux évènements A et B tels que P(A)=0.3 et P(B)=0.5. Déterminer la valeur de P(AUB) dans les deux cas suivants:Si A et B sont indépendants, P(AUB) vaut :Si A et B sont incompatibles, P(AUB) vaut :

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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A la sortie d'une usine, les montres peuvent présenter un défaut (D1) sur le bracelet et un défaut (D2) sur le cadran. Une montre est dite défectueuse si elle présente au moins l'un des deux défauts. On prélève au hasard une montre dans la production de la journée.On donne P(D1)=0.02 et P(D2)=0.01.On suppose que les deux évènements sont indépendants.La probabilité que la montre présente les deux défauts est:La probabilité que la montre n'ait aucun défaut est :

On considère deux évènements indépendants A et B tels que P(A)=0.3 et P(AUB)=0.65. La valeur de P(B) est donc :

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Résous les exercices ci-dessous dans ton cahier, en détaillant toutes les étapes, puis valide le résultat final en complétant les champs encadrés.

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Les évènements M et I ne sont pas indépendants

Les évènements M et I sont indépendants

Les évènements M et I sont incompatibles

0,8

0,25

0,9

0,75

0,12

0,4

1,3

0,9

0,24

0,7

0,448

On lance un dé cubique équilibré. On considère les évènements M = " le numéro est un multiple de 3" et I = " le numéro est inférieur ou égal à 3"

On considère une expérience aléatoire avec deux évènements A et B tels que P(A)=0,4 P(B)=0,25 et = 0,5. La probabilité de A sachant B est

On considère une expérience aléatoire avec deux évènements A et B tels que P(A)=0,6 et P(AnB)=0,3La probabilité = ?

On considère une expérience aléatoire avec deux évènements incompatibles A et B tels que P(A)=0,5 P(B)=0,4. Alors, P(AUB)=?

On considère une expérience aléatoire avec deux évènements A et B tels que P(A)=0,8 et P(AnB)=0,56La probabilité de B sachant A est

Pour chaque question, choisis la bonne réponse.

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2. Le tirage est réalisé avec remise.Après avoir fait un arbre sur votre cahier et justifier que A et B étaient indépendants, donner la probabilité de tirer deux boules de la même couleur.

1. Le tirage est réalisé sans remise.Après avoir fait un arbre sur votre cahier, donner la probabilité de tirer deux boules de la même couleur.

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Une urne opaque contient 2 boules noires et 9 blanches, toutes indiscernables au toucher. On tire successivement 2 boules. On note A : "la 1ere boule tirée est noire" et B : "la 2e boule tirée est noire".

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2. Quelle est la probabilité que Stéphane soit à l'heure.

1. Quelle est la probabilité que Stéphane entende son réveil et que le bus soit en retard. (Vous ferez un arbre sur votre cahier pour vous aider)

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Chaque matin, Stéphane peut être victime de deux évènements :R : "il n'entend pas son réveil" et B : "son bus est en retard" .Il a observé que chaque jour, P(R)=0,05 et P(B)=0,1Lorsque l'un au moins des deux se produit, Stéphane arrive en retard au lycée. Sinon, il est à l'heure.

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5. Que pouvez vous en conclure ?

3. En déduire la probabilité de l’événement E. P(E) =

p(B ∩E) =

p(A ∩E) =

2. Calculer les probabilités des évènements A ∩E et B ∩E.

4. Calculer la probabilité conditionnelle de A sachant E, et celle de B sachant E

1. Définir par une phrase l’évènement A ∩E.

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Dans un lycée, on interroge les élèves de terminale STMG sur leurs intentions d’orientation post-bac après le conseil de classe du troisième trimestre. On compte parmi ces élèves 45 % de filles. – 95 % des filles souhaitent s’inscrire en BTS ou DUT. – 90 % des garçons souhaitent cette même orientation. On choisit une fiche au hasard. Chaque fiche a la même probabilité d’être choisie. On note A, B et E les évènements suivants : – A : « l’élève est une fille » ; – B : « l’élève est un garçon » ; – E : « l’élève souhaite s’inscrire en BTS ou DUT ».

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3. Calculer la probabilité de l'évèement S. P(S)=

p(N ∩S) =

2. Décrire par une phrase l’événement N∩S puis calculer sa probabilité.

1. En utilisant les données de l'énoncé, calculer P(N)

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Le parc informatique d’une entreprise est constitué de 2000 ordinateurs. Parmi ceux-ci, 500 sont considérés comme neufs car ils ont moins d’un an. Les autres sont considérés comme anciens.Le service informatique de cette société estime que la probabilité qu’un ordinateur neuf ait un problème de sécurité est égale à 0,05. Pour un ordinateur plus ancien, la probabilité qu’il en ait un est égale à 0,4. On choisit au hasard un ordinateur du parc informatique. On considère les évènements suivants : N : " l'ordinateur est neuf ". S : " L’ordinateur a un problème de sécurité ".

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p(D ∩O) =

3. On choisit au hasard un élève faisant partie d’un orchestre. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il suive un parcours diplômant?

2. Calculer la probabilité de l'évènement O. P(O)=

1. Décrire par une phrase l’événement D∩O puis calculer sa probabilité.

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Un conservatoire de musique propose deux parcours à ses élèves : un parcours diplômant et un parcours loisir. On observe que 40% des élèves choisissent le parcours diplômant. Parmi ceux qui ont sélectionné le parcours diplômant, 30% choisissent de faire partie d’un orchestre. Parmi les élèves ayant choisi le parcours loisir, 25% choisissent de faire partie d’un orchestre. On sélectionne un élève de ce conservatoire au hasard.On considère les évènements suivants : D : " L’élève sélectionné a choisi le parcours diplômant ".L : " L’élève sélectionné a choisi le parcours loisir ". O : " L’élève sélectionné a choisi de faire partie d’un orchestre ".

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oui

non

non

oui

Pour chaque question, choisis la bonne réponse.

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