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Le Pentagone régulier


Marie José Pestel

φ

Le nombre d’or et les pavages

Avant de commencer ...

Pour suivre activement cet atelier, munissez -vous d'abord :

  • d'une bande de papier de 3 cm de large,
  • de compas, crayon, règle,
  • de ciseaux pour découper vos pentagones réguliers ,

N’oubliez pas de rechercher avec votre souris d’éventuels commentaires !


  • Platon semble avoir eu des contacts avec les milieux pythagoriciens.
  • Pour lui, le nombre est facteur d’ordre, de mesure et de beauté.
  • Son livre « Le Timée » nous livre ses conceptions sur l’harmonie et la proportion.

Platon (VIe siècle avant JC)

Platon était fasciné par la beauté des formes géométriques.

Platon et les 5 solides réguliers de l’espace

Tétraèdre, hexaèdre, octaèdre et icosaèdre symbolisent les 4 éléments,

et le dodécaèdre symbolise l’univers !

Platon était particulièrement attiré par le dodécaèdre régulier et ses 12 faces pentagonales.

Euclide dans ses Éléments, un siècle plus tard après Platon, revient à quatre reprises sur le partage en moyenne et extrême raison

(liv. II, prop. 11, liv. IV, prop. 10-14, liv. VI, prop. 30, liv. XIII)

Euclide cherchait à construire, à la règle et au compas, le pentagone régulier.

" Une droite est dite coupée en extrême et moyenne

raison quand la “droite entière”

est au plus grand segment

comme le plus grand est au

plus petit.“

(L+l) / L = L / l

Euclide illustre son propos :

L’aire du carré construit sur A Ф

est égale à l’aire du rectangle

construit sur Ф B.

Euclide en donne la définition suivante …..

L

l

Euclide définit donc « partage en moyenne et extrême raison »

L et l sont les longueurs de deux segments dans le rapport d’or, elles vérifient : (L + l) / L = L / l.

Donc : L² = l ( L + l )

Ce qui donne L² – lL - l² = 0 ;

et en divisant par l² : (L/l)² –L/l – 1 = 0

    L/l est la solution positive de l’équation

    X² – X – 1 = 0

    ou (X – ½ )² – 5/4 = 0

      D'où : L / l = (1+√5)/2

      Comment le calculer puisque :
      « La grande est à la petite ce que le tout est à la grande »

      Calculons ce rapport avec nos mathématiques d’aujourd’hui.

      Le nombre d'or ϕ est donc égal à

      (1+√5)/2



      Il vérifie ϕ
      2 = ϕ + 1

      Retenons sa valeur approchée

      ϕ = 1,618...

      Le pentagone régulier

      Observons un pentagone régulier pour en déduire une construction, à la manière d’Euclide.

      Où est le nombre d’or ?

      H est le pied

      de la hauteur issue de B

      BD = 1 /( 2 sin 18°)

      BD = 1,618 03398…

      BD = ϕ

      BDE

      est un triangle d’or

      Le triangle d’or

      Euclide s’intéresse particulièrement au triangle BDE et au rapport BD/DE !

      1

      √5/2

      AE =ϕ

      Construction de ϕ

      ϕ = (1+√5 )/2

      AE = ½+ √5/2

      AEF est

      un triangle d’or

      Construction

      du triangle d’or au pentagone régulier

      (construction d’Euclide ) ….

      ARESF

      est un

      pentagone régulier

      Ma construction n’est pas parfaite ... Vous pouvez faire mieux !


      Puis découpez votre pentagone pour vous en servir comme calque

      et en dupliquez plusieurs ….

        Plier une bande de papier pour faire un nœud bien plat, un pentagone apparait …

        Il n’est régulier que si le rapport entre la largeur de la bande de papier et le côté du pentagone est égal au sinus de 72°.

        (Le nombre d’or, collection Que Sais-Je)

        Le nœud doré

        Pliez avec soin, les plis de la bande doivent coïncider avec ses bords

        Pentagones réguliers et pentagones étoilés

        Repérer

        des

        triangles d’or

        La canne de Hue Libergier, mort en 1263,

        Maître d'oeuvre de l'église Saint-Nicaise à Reims

        Dans un triangle d’or, côté/base est égal au nombre d’or

        Donc palme/paume = empan/palme = pied/empan = coudée/pied = ϕ

        Cette suite de mesures était inscrite sur la canne des bâtisseurs des églises romanes.

        Zoom sur le tableau de Nicolas Neufchatel (1539-1567)

        Le maître Johann Neudörffer l’ancien et un élève

        Le rectangle d’or dans le dodécaèdre

        Un triangle d’or et deux triangles d’argent dans un pentagone régulier

        Un triangle d’Or et un triangle d’Argent

        Vous pouvez découper vos pentagones réguliers en triangles d’or et d’argent …

        Pentagones réguliers

        et pentagones étoilés :

        repérer les

        triangles

        d’or

        et les

        triangles d’argent

        et observer leur taille.

        Ces triangles sont de différentes tailles : cherchons à déterminer les rapports d'agrandissement qui les lient.

        Il en est de même pour les pentagones.

        Jouons avec les triangles d’or et d’argent

        Découpez vos pentagones et jouez avec nous.

        Un Argent et un Or

        ϕ

        ϕ

        Étape 0

        1

        1

        ϕ +1

        Avec 2 Or et 1 Argent

        on fait un Or de base ϕ

        Avec 1 Or et 1 Argent
        on fait un Argent de base

        ϕ + 1 = ϕ2

        On agrandit, mais dans quel rapport ?

        Étape 1

        ϕ

        Dans le rapport ϕ

        2ϕ +1

        Avec 3 Or

        et 2 Argent

        on fait un Argent

        de base


        2ϕ+1 = ϕ3

        On recommence, toujours dans le même rapport :

        Étape 2

        avec

        5 Or

        et

        3 Argent

        on fait un Or de base

        ϕ +1 = ϕ2

        …….et

        encore Étape 2

        ϕ +1

        A l’étape 3 ,

        combien d’Or et d’Argent pour cet Argent ?

        3ϕ+2

        A l'étape 3, combien faudrait-il de triangles d'Or et d'Argent pour faire un Or ?

        8 Or et 5 Argent ; sa base mesure 3ϕ+2 = ϕ^4

        Réponse au prochain écran !

        Le puzzle impossible

        Une autre approche :

        A chaque étape :

        1 triangle d’or est décomposé en 2 Or et 1 Argent

        1 triangle d’argent est décomposé en 1 Or et 1 Argent

        Et apparait

        la suite de Fibonacci

        1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,

        Pour faire un or à l'étape 3, il faut donc 13 Or et 8 Argent.

        Pour en savoir plus sur la suite de Fibonacci, allez voir notre Genially sur le rectangle d'or.

        Quel est le rapport d'agrandissement entre les deux pentagones ?

        Réponse sur le prochain écran !

        1

        ϕ

        ϕ + 1

        On transforme un pentagone de côté 1 en un pentagone de côté ϕ + 1 (= ϕ2). On a un agrandissement de ϕ2.

        Sir Roger Penrose,

        parrain du 22e salon Culture & Jeux Mathématiques

        donnant une conférence le 2 octobre 2015 à l’IHP, Paris

        Photo Edouard Thomas

        Comment Sir Roger Penrose intervient dans cette histoire ?

        Sir Roger Penrose

        • Mathématicien et Physicien britannique, Roger Penrose, né en 1931, a reçu en 2020 le prix Nobel de Physique pour ses travaux théoriques sur les trous noirs.

        • Dans nos associations de culture mathématique nous connaissons ses pavages du plan qu’il a découvert vers 1970.

        • En 1984, les pavages de Penrose ont été utilisés comme un modèle intéressant de la structure des quasi-cristaux.

        • Soit des losanges

        • Soit des fléchettes et des cerf-volants

        Roger Penrose décompose le pentagone en triangles d’or et d’argent et pave le plan avec

        Ici avec des flèches

        et des

        cerfs volants

        Attention aux jonctions …

        A vous de jouer et de créer !

        Les pavages de Penrose

        Ils sont

        asymétriques

        et

        apériodiques

        Après avoir observé, à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, ces pavages, les élèves de 6ème du collège Albert Camus de Frontenay dans le Jura, sous la conduite de leur enseignant, ont étudié les propriétés de ce pavage et ont réalisé de superbes vidéos.

        Pour en savoir plus :

        https://acamus.net/index.php?option=com_content&view=article&id=67:pavage-de-penrose

        A vous de jouer et de créer !

        CIJM, Marie José Pestel, Mai 2021

        φ

        Merci !