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Le nombre d’or et les pavages

Marie José Pestel

Le Pentagone régulier

Pour suivre activement cet atelier, munissez -vous d'abord :

  • d'une bande de papier de 3 cm de large,
  • de compas, crayon, règle,
  • de ciseaux pour découper vos pentagones réguliers ,
N’oubliez pas de rechercher avec votre souris d’éventuels commentaires !

Avant de commencer ...

Platon (VIe siècle avant JC)

  • Platon semble avoir eu des contacts avec les milieux pythagoriciens.
  • Pour lui, le nombre est facteur d’ordre, de mesure et de beauté.
  • Son livre « Le Timée » nous livre ses conceptions sur l’harmonie et la proportion.

Platon et les 5 solides réguliers de l’espace Tétraèdre, hexaèdre, octaèdre et icosaèdre symbolisent les 4 éléments, et le dodécaèdre symbolise l’univers !

Euclide dans ses Éléments, un siècle plus tard après Platon, revient à quatre reprises sur le partage en moyenne et extrême raison (liv. II, prop. 11, liv. IV, prop. 10-14, liv. VI, prop. 30, liv. XIII)

Euclide en donne la définition suivante …..

" Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand la “droite entière” est au plus grand segment comme le plus grand est au plus petit.“ (L+l) / L = L / l Euclide illustre son propos : L’aire du carré construit sur A Ф est égale à l’aire du rectangle construit sur Ф B.

Comment le calculer puisque : « La grande est à la petite ce que le tout est à la grande »

Donc : L² = l ( L + l ) Ce qui donne L² – lL - l² = 0 ; et en divisant par l² : (L/l)² –L/l – 1 = 0

    L/l est la solution positive de l’équation X² – X – 1 = 0 ou (X – ½ )² – 5/4 = 0
      D'où : L / l = (1+√5)/2

      L et l sont les longueurs de deux segments dans le rapport d’or, elles vérifient : (L + l) / L = L / l.

      Le nombre d'or ϕ est donc égal à (1+√5)/2 Il vérifie ϕ2 = ϕ + 1 Retenons sa valeur approchée ϕ = 1,618...

      Le pentagone régulier

      Le triangle d’or

      Où est le nombre d’or ? H est le pied de la hauteur issue de B BD = 1 /( 2 sin 18°) BD = 1,618 03398… BD = ϕ BDE est un triangle d’or

      AE = ½+ √5/2

      Construction de ϕ ϕ = (1+√5 )/2

      AE =ϕ

      √5/2

      Construction du triangle d’or au pentagone régulier (construction d’Euclide ) ….

      AEF est un triangle d’or

      ARESF est un pentagone régulier

      Le nœud doré

        Plier une bande de papier pour faire un nœud bien plat, un pentagone apparait … Il n’est régulier que si le rapport entre la largeur de la bande de papier et le côté du pentagone est égal au sinus de 72°. (Le nombre d’or, collection Que Sais-Je)

        Repérer des triangles d’or

        Pentagones réguliers et pentagones étoilés

        La canne de Hue Libergier, mort en 1263, Maître d'oeuvre de l'église Saint-Nicaise à Reims

        Zoom sur le tableau de Nicolas Neufchatel (1539-1567) Le maître Johann Neudörffer l’ancien et un élève

        Le rectangle d’or dans le dodécaèdre

        Un triangle d’or et deux triangles d’argent dans un pentagone régulier

        Un triangle d’Or et un triangle d’Argent

        et observer leur taille.

        Pentagones réguliers et pentagones étoilés : repérer les triangles d’or et les triangles d’argent

        Jouons avec les triangles d’or et d’argent

        Étape 0

        Un Argent et un Or

        Étape 1

        On agrandit, mais dans quel rapport ?

        Avec 1 Or et 1 Argent on fait un Argent de base ϕ + 1 = ϕ2

        Avec 2 Or et 1 Argent on fait un Or de base ϕ

        ϕ +1

        Étape 2

        On recommence, toujours dans le même rapport :

        Avec 3 Or et 2 Argent on fait un Argent de base 2ϕ+1 = ϕ3

        2ϕ +1

        ϕ +1

        encore Étape 2

        …….et

        avec 5 Or et 3 Argent on fait un Or de base ϕ +1 = ϕ2

        A l'étape 3, combien faudrait-il de triangles d'Or et d'Argent pour faire un Or ?

        3ϕ+2

        A l’étape 3 , combien d’Or et d’Argent pour cet Argent ?

        Une autre approche : A chaque étape : 1 triangle d’or est décomposé en 2 Or et 1 Argent 1 triangle d’argent est décomposé en 1 Or et 1 Argent Et apparait la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,

        Le puzzle impossible

        Quel est le rapport d'agrandissement entre les deux pentagones ?

        On transforme un pentagone de côté 1 en un pentagone de côté ϕ + 1 (= ϕ2). On a un agrandissement de ϕ2.

        ϕ + 1

        Photo Edouard Thomas

        Sir Roger Penrose, parrain du 22e salon Culture & Jeux Mathématiques donnant une conférence le 2 octobre 2015 à l’IHP, Paris

        • Mathématicien et Physicien britannique, Roger Penrose, né en 1931, a reçu en 2020 le prix Nobel de Physique pour ses travaux théoriques sur les trous noirs.
        • Dans nos associations de culture mathématique nous connaissons ses pavages du plan qu’il a découvert vers 1970.
        • En 1984, les pavages de Penrose ont été utilisés comme un modèle intéressant de la structure des quasi-cristaux.

        Sir Roger Penrose

        Roger Penrose décompose le pentagone en triangles d’or et d’argent et pave le plan avec

        • Soit des fléchettes et des cerf-volants
        • Soit des losanges

        Ici avec des flèches et des cerfs volants Attention aux jonctions …

        Ils sont asymétriques et apériodiques

        Les pavages de Penrose

        https://acamus.net/index.php?option=com_content&view=article&id=67:pavage-de-penrose

        Pour en savoir plus :

        Après avoir observé, à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, ces pavages, les élèves de 6ème du collège Albert Camus de Frontenay dans le Jura, sous la conduite de leur enseignant, ont étudié les propriétés de ce pavage et ont réalisé de superbes vidéos.

        CIJM, Marie José Pestel, Mai 2021