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Le rectangle d’or

Marie José Pestel

φ

et la spirale d’or

Avant de commencer ...

Pour suivre activement cet atelier, munissez -vous d'abord :d'un crayon papier et de crayons de couleur,d'un compasd'une règle graduéed'une feuille A4 de papier blanc etd'une feuille A4 de papier quadrillée.Partons maintenant à la découverte du rectangle d’or…N’oubliez pas de rechercher avec votre souris d’éventuels commentaires !

Un rectangle est d’or si ses dimensions sont dans le rapport du nombre d’or soit : « la grande dimension L est à la petite dimension lce que le tout L+l est à la grande dimension L. » L/l = (L+l)/L

L/l = ϕ

L

l

Le rectangle d’or

Sa valeur approchée 1,6….

Le rectangle d’or est au format du nombre d’or soit environ L/l = 1,6

Quel est le rectangle dont le format s’approche du nombre d’or ?

En haut, à gauche, la largeur de ce rectangle est un peu plus d’une fois et demi dans sa longueur.

Le Cirque - Georges Seurat ( 1859 – 1891 )

Seurat dit avoir peint la ligne de lampions pour que l’essentiel du tableau s’inscrive dans un rectangle d’or … Ce que l’on peut vérifier en mesurant !

L et l sont les longueurs de deux segments dans le rapport d’or, elles vérifient : (L + l) / L = L / l.

Donc : L² = l ( L + l ) Ce qui donne L² – lL - l² = 0 ; et en divisant par l² : (L/l)² –L/l – 1 = 0 L/l est la solution positive de l’équation X² – X – 1 = 0 ou (X – ½ )² – 5/4 = 0D'où : L / l = (1+√5)/2

Un peu de calcul

Laissons ces calculs aux mathématiciens et retenons la valeur exacte du rapport L/l

Le nombre d'or ϕ est donc égal à (1+√5)/2 On le note ϕ en l’honneur de Phidias, architecte et sculpteur du Parthénon Retenons sa valeur approchée ϕ = 1,618...

En résumé ….

Un peu de calcul avec le nombre d’or

ϕ vérifie ϕ2 – ϕ – 1 = 0 donc ϕ2 = ϕ + 1 et en divisant par ϕ on trouve : ϕ = 1 + 1/ϕ soit 1/ϕ = ϕ - 1

Construction d’un rectangle d’or

AB=1 ; KC= √5/2 ; AE = 1/2 + √5/2 = ϕ

1

√5/2

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle KCD.

Construisons donc un rectangle d’or

ϕ

1

Sur votre feuille de papier construisez votre rectangle d’or en prenant pour unité un carré de côté 2cm

Une propriété caracteristique du rectangle d’or

Quand un rectangle est d’or, si on le prolonge d’un carré sur sa longueur le rectangle obtenu est encore d’or 1+ ϕ = ϕxϕ donc (1+ϕ)/ϕ = ϕ/1

ϕ

1

Ou encore …

Quand un rectangle est d’or, si on le diminue d'un carré sur sa largeur le rectangle obtenu est encore d’or ϕ -1 = 1/ϕ donc 1/ϕ-1 = ϕ/1

ϕ

1

e

Une suite de rectangles d’or …..

N’oubliez pas : « Quand un rectangle est au format du nombre d’or on ne change pas son format en lui ajoutant ou en lui enlevant un carré »

Construisons une suite de rectangles d’or

ϕ

1

ϕ

ϕ

ϕ+1

ϕ+1

2ϕ +1

2ϕ +1

3ϕ+2

3ϕ+2

On part du rectangle de largeur 1 et de longueurϕ puis on construit une suite de carrés …

Ils sont bien d’Or

1 ϕ le rectangle ϕx1 est d’or 1+ ϕ= ϕ2 le rectangle (ϕ +1)x ϕ est d’or 1+2 ϕ= (1+ ϕ)+ ϕ= ϕ2+ ϕ= ϕ(ϕ + 1)= ϕ3 le rectangle (2 ϕ+1)x(ϕ+1) est d’or 2+3 ϕ = (1+ ϕ)+(1+2 ϕ)= ϕ2+ ϕ3 = ϕ2(ϕ+1)= ϕ4 le rectangle (2+3ϕ)x(2 ϕ+1) est d’or

Remarquons que la suite de nombres qui apparait1, ϕ, 1+ ϕ, 1+2 ϕ, 2+3 ϕ, puis 3+5 ϕ…..est aussi la suite géométrique 1, ϕ, ϕ2, ϕ3, ϕ4, puis ϕ5…..

Construisons une spirale d’or

Quart de cercle par quart de cercle …

Avec votre compas, construisez le quart de cercle A qui s’inscrit dans le premier carré.

Puis dans les carrés suivants les quarts de cercle qui s’enchainent …

Dans une suite de rectangles d’ors’inscrit une spirale parfaite

La nature aime la spirale

Une suite de carrés pour approcher le rectangle d’or

Repérons les rectangles 2x1 ; 3x2 ; 5x3 ; 8x5 ; 13x8 ; 21x13

Sur une feuille quadrillée, construisez les rectangles : 2x1 ; 3x2 ; 5x3 ; 8x5 ; 13x8 ; 21x13 …. Et calculez leur format : 2/1 ; 3/2= 1,5 ; 5/3= 1,66 ; 8/5= 1,6 ; 13/8= 1,625 ; 21/13= 1,615 Nous approchons de la valeur approchée du nombre d’or ….Quels seront les formats suivants ? 34/21 =55/34 =

34/21 = 1,619 55/34 = 1,617 Remarquons que les valeurs de ces rapports donnent un encadrement de plus en plus précis du nombre d’or !

Leonardo Pisano surnommé Fibonacci (1170-1250 env.)

Auteur du très fameux Lieber abati (extrait ci-contre)

Au milieu du Moyen Age naquit à Pise un certain Léonardo, connu sous le nom de Fibonacci (fils de Bonaccio). Il fut sans doute le plus grand mathématicien de son temps. C'était aussi un homme d'affaires international et un grand voyageur, érudit de sciences arabes, c’est lui qui introduisit les chiffres arabes en Occident.

La suite de Fibonacci :

1

1

2

3

5

8

13

Puis …

La suite de Fibonacci : 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 – …

Une propriété remarquable : 89/55= 1,61818…. Le rapport de deux termes consécutifs de cette suite s’approche du nombre d’or. Une jolie propriété 12+12+22+32+52+82+132= 13x21

Cette suite nous rappelle celle trouvée avec la suite des rectangles d’or …

Le tournesol et la suite de Fibonacci

21 spirales vers la droite , 34 spirales vers la gauche

Retour sur le dodécaèdre régulier

Zoom sur le tableau de Nicolas Neufchatel (1539-1567)Le maître Johann Neudörffer l’ancien et un élève

Dans le dodécaèdre régulier s’inscrivent trois rectangles d’or.

CIJM, Marie José Pestel, Mai 2021

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Rendez-vous dans l’atelier sur le pentagone régulier.

Merci.