CIJM Le nombre d_or et le rectangle

et la spirale d’or

Marie José Pestel

Le rectangle d’or

Pour suivre activement cet atelier, munissez -vous d'abord :

• d'un crayon papier et de crayons de couleur,

• d'un compas
• d'une règle graduée
• d'une feuille A4 de papier blanc et
• d'une feuille A4 de papier quadrillée.

Partons maintenant à la découverte du rectangle d’or… N’oubliez pas de rechercher avec votre souris d’éventuels commentaires !

Avant de commencer ...

Sa valeur approchée 1,6….

Le rectangle d’or

L/l = ϕ

Un rectangle est d’or si ses dimensions sont dans le rapport du nombre d’or soit : « la grande dimension L est à la petite dimension l ce que le tout L+l est à la grande dimension L. » L/l = (L+l)/L

Quel est le rectangle dont le format s’approche du nombre d’or ?

Le Cirque - Georges Seurat ( 1859 – 1891 )

Un peu de calcul

Donc : L² = l ( L + l ) Ce qui donne L² – lL - l² = 0 ; et en divisant par l² : (L/l)² –L/l – 1 = 0 L/l est la solution positive de l’équation X² – X – 1 = 0 ou (X – ½ )² – 5/4 = 0

D'où : L / l = (1+√5)/2

L et l sont les longueurs de deux segments dans le rapport d’or, elles vérifient : (L + l) / L = L / l.

En résumé ….

Le nombre d'or ϕ est donc égal à (1+√5)/2 On le note ϕ en l’honneur de Phidias, architecte et sculpteur du Parthénon Retenons sa valeur approchée ϕ = 1,618...

ϕ vérifie ϕ2 – ϕ – 1 = 0

donc ϕ2 = ϕ + 1

et en divisant par ϕ on trouve : ϕ = 1 + 1/ϕ soit 1/ϕ = ϕ - 1

Un peu de calcul avec le nombre d’or

√5/2

AB=1 ; KC= √5/2 ; AE = 1/2 + √5/2 = ϕ

Construction d’un rectangle d’or

Sur votre feuille de papier construisez votre rectangle d’or en prenant pour unité un carré de côté 2cm

Construisons donc un rectangle d’or

Quand un rectangle est d’or, si on le prolonge d’un carré sur sa longueur le rectangle obtenu est encore d’or 1+ ϕ = ϕxϕ donc (1+ϕ)/ϕ = ϕ/1

Une propriété caracteristique du rectangle d’or

Quand un rectangle est d’or, si on le diminue d'un carré sur sa largeur le rectangle obtenu est encore d’or ϕ -1 = 1/ϕ donc 1/ϕ-1 = ϕ/1

Ou encore …

N’oubliez pas : « Quand un rectangle est au format du nombre d’or on ne change pas son format en lui ajoutant ou en lui enlevant un carré »

Une suite de rectangles d’or …..

3ϕ+2

3ϕ+2

2ϕ +1

2ϕ +1

ϕ+1

ϕ+1

Construisons une suite de rectangles d’or

• 1
• ϕ le rectangle ϕx1 est d’or
• 1+ ϕ= ϕ2 le rectangle (ϕ +1)x ϕ est d’or

• 1+2 ϕ= (1+ ϕ)+ ϕ= ϕ2+ ϕ= ϕ(ϕ + 1)= ϕ3

le rectangle (2 ϕ+1)x(ϕ+1) est d’or

• 2+3 ϕ = (1+ ϕ)+(1+2 ϕ)= ϕ2+ ϕ3 = ϕ2(ϕ+1)= ϕ4

le rectangle (2+3ϕ)x(2 ϕ+1) est d’or

Ils sont bien d’Or

Quart de cercle par quart de cercle …

Construisons une spirale d’or

Dans une suite de rectangles d’or s’inscrit une spirale parfaite

La nature aime la spirale

Repérons les rectangles 2x1 ; 3x2 ; 5x3 ; 8x5 ; 13x8 ; 21x13

Une suite de carrés pour approcher le rectangle d’or

Sur une feuille quadrillée, construisez les rectangles : 2x1 ; 3x2 ; 5x3 ; 8x5 ; 13x8 ; 21x13 …. Et calculez leur format : 2/1 ; 3/2= 1,5 ; 5/3= 1,66 ; 8/5= 1,6 ; 13/8= 1,625 ; 21/13= 1,615 Nous approchons de la valeur approchée du nombre d’or ….Quels seront les formats suivants ? 34/21 = 55/34 =

Au milieu du Moyen Age naquit à Pise un certain Léonardo, connu sous le nom de Fibonacci (fils de Bonaccio). Il fut sans doute le plus grand mathématicien de son temps. C'était aussi un homme d'affaires international et un grand voyageur, érudit de sciences arabes, c’est lui qui introduisit les chiffres arabes en Occident.

Auteur du très fameux Lieber abati (extrait ci-contre)

Leonardo Pisano surnommé Fibonacci (1170-1250 env.)

Puis …

13

La suite de Fibonacci :

Une propriété remarquable : 89/55= 1,61818…. Le rapport de deux termes consécutifs de cette suite s’approche du nombre d’or. Une jolie propriété 12+12+22+32+52+82+132= 13x21

La suite de Fibonacci : 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 – …

21 spirales vers la droite , 34 spirales vers la gauche

Le tournesol et la suite de Fibonacci

Zoom sur le tableau de Nicolas Neufchatel (1539-1567) Le maître Johann Neudörffer l’ancien et un élève

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CIJM, Marie José Pestel, Mai 2021