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Découvrir Le nombre d’or

Marie José Pestel

φ

avec le compas de proportion

Avant de commencer ...

Pour suivre activement cet atelier, munissez -vous d'abord : de 2 bandes de papier cartonnéde3 cm de large et de 26,2cm de long,de ciseaux,d'un double décimètre etd’une épingle parisienne (ou à défaut d’un trombone)N’oubliez pas de rechercher avec votre souris d’éventuels commentaires !

Il y a plus de 25 siècles, l’histoire du nombre d’or commence dans le bassin méditerranéen entre Grèce et Egypte en passant par les rivages orientaux de la Méditerranée

Petite histoire de ce nombre situé entre géométrie, calcul et harmonie.

VIe siècle av JC Ce célèbre savant, disciple de Thalès, nous est connu uniquement par ses disciples et successeurs, les Pythagoriciens. Pythagore et ses disciples accordaient une grande place à la géométrie. «Nul ne rentre ici s’il n’est géomètre» Cette confrérie semble avoir attiré les esprits curieux de science et de mysticisme.

Pythagore

Et puisqu’il va être question de géométrie, commençons par Pythagore

« Tout est arrangé d’après le nombre »est le fondement de sa philosophie qui pourrait remonter à l’ancienne Egypte. Le pentagramme est le signe de ralliement des initiés

Platon semble avoir eu des contacts avec les milieux pythagoriciens. Pour lui, le nombre est facteur d’ordre, de mesure et de beauté. Son livre «Le Timée» nous livre ses conceptions sur l’harmonie et la proportion. Platon a décrit les cinq formes polyédriques régulières de l’espace.

Platon (VIesiècle avant JC)

Platon et les 5 solides réguliers de l’espace Tétraèdre, hexaèdre, octaèdre et icosaèdre symbolisent les 4 éléments,et le dodécaèdre symbolise l’univers !

Regardez bien le dodécaèdre et ses 12 faces pentagonales ...

Enfin Euclide vint …..et dans ses Éléments, un siècle plus tard après Platon, il revient à quatre reprises sur le partage en moyenne et extrême raison. (liv. II, prop. 11, liv. IV, prop. 10-14, liv. VI, prop. 30, liv. XIII)

Un des objectifs d’Euclide est de donner une construction du dodécaèdre régulier et donc du pentagone régulier.

Un des objectifs d’Euclide est de donner une construction du dodécaèdre régulier et donc du pentagone régulier.

Euclide, donne, dans son Sixième Livre des Elements, la définition suivante de ce rapport qu’il nomme : “partage en moyenne et extrême raison” «Une “droite” est dite coupée en extrême et moyenne raison quand la “droite entière” estau plus grand segment commele plus grand est au plus petit.”

A φ et φ B partagent le segment AB en moyenne et extrême raison.

Euclide illustre son propos par un calcul d’aires

L’aire du carré de côté L est la même que celle du rectangle de longueur L+l et de largeur L donc que : L2 = l (L+l) C’est à dire L x L = l x (L+l) soit L/l=(L+l)/L

Intéressons nous à ce rapport L/l et à cette proportion …..

L

l

DANTE (1265-1321) «La plus grande est à la petite ce que le tout est à la grande» Luca PACIOLI di Borgo(1445-1517)«Divine proportion» Léonard de VINCI (1452-1519) «Section aurea»KEPLER (1571-1630)«Joyau de la géométrie»19e siècle : «Nombre d’or»

Comment le nomme-t-on ?

Selon les siècles comment parle-t-on et définit-on ce rapport ?

Comment le calculer ….

L et l sont les longueurs de deux segments ; ces longueurs sont dans le rapport d’or si elles vérifient : (L + l) / L = L / l«La grande est à la petite ce que le tout est à la grande»

L et l vérifient : (L + l) / L = L / l.

Donc : L² = l ( L + l ) Ce qui donne L² – lL - l² = 0 ; et en divisant par l² : (L/l)² –L/l – 1 = 0 L/l est la solution positive de l’équation X² – X – 1 = 0 ou (X – ½ )² – 5/4 = 0D'où : L / l = (1+√5)/2

Un peu de calcul

Laissons les mathématiciens à leurs calculs et retenons la valeur exacte de L/l.

Le nombre d'or ϕ est donc égal à (1+√5)/2 (On le note ϕ en l’honneur de Phidias, architecte et sculpteur du Parthénon) Retenons sa valeur approchée ϕ = 1,618...

En résumé ….

Calculons avec le nombre d’or

ϕ + 1

ϕ x ϕ =

1,618 x 1,618 =

2,618

1 /ϕ =

ϕ - 1

1/1,618 =

0,618

ϕ est la solution positive de l’équation X2 –X – 1 = 0

Hue Libergier, mort en 1263,est le Maître d'œuvre qui construisit l'égliseSaint-Nicaise à Reims.Il repose dans cette cathédrale

Le moyen Age et les outils du Maitre d’œuvre

L’art roman au Moyen Age est très soucieux d’harmonie et a inscrit cette proportion jusque dans ses outils

La canne

L’équerre

Le compas de proportion

Le Compas de proportion pour aller à la chasse au nombre d’or

Le matériel

Fabriquer un compas de proportion

Recette

Construisez votre compas de proportion Dans une feuille cartonnée format A4 découpez deux bandes de 26,2 cm de long et de 3 cm de large. Faire un petit trou au centre de chaque bande à 10 cm du haut . Lier ces deux bandes avec une épingle parisienne

Fabriquer un compas de proportion

Dans le compas de proportion , L / l est égal au nombre d’orOn a Le grand triangle est un agrandissement du petit et donc quelque soit l’écartement on a : E / e = L / l

e

Le compas de proportion pour traquer le nombre d’or

L

l

e

E

Avec votre compas de proportion allez à la découverte du nombre d’or …..

L = 16,2 cm l = 10cm L/l = 1,62

L/l = E/e

e

E

Dans votre main . . .

paume

palme

empan

Palme Paume

Palme/paume = 1,6

Empan Palme

Empan/palme = 1,6

La canne

Vous pouvez vérifier avec votre compas que :Palme/paume = empan/palme = pied/empan = coudée/piedCes graduations sont inscrites sur la canne des maitres d’oeuvre

Dans votre corps . . .

Le Modulor de l’architecte Le Corbusier1887 - 1965

H

L

l

H/L = L/l = ϕ

Le Modulor du Corbusier est sa canne, son repère pour inscrire l’harmonie dans ses constructions.

Quel est le rectangle dont le format s’approche du nombre d’or ?

Dans un rectangle. . .

C’est celui qui est en haut à gauche !

Piet Mondrian, né en 1872 auxPays-Bas et mort en 1944 àNew York, est unpeintre reconnu comme l'un des pionniers de l’art abstrait.

Dans ce tableau de Mondrian, quels sont les rectangles dont le format est le plus proche du nombre d’or ?

Dans le pentagone étoilé …..?

Avec le compas, il est facile de retrouver le nombre d'or.

Zoom sur le tableau de Nicolas Neufchatel (1539-1567)Le maître Johann Neudörffer l’ancien et un élève)

Laurent Pflughaupt

Dans le dodécaèdre régulier, recherche du nombre d’or …..

CIJM, Marie José Pestel, Mai 2021

φ

Dans un prochain atelier je vous parlerai du rectangle d’or.

Merci !