CIJM Le nombre d_or et le compas

avec le compas de proportion

Marie José Pestel

Découvrir Le nombre d’or

Pour suivre activement cet atelier, munissez -vous d'abord :

• de 2 bandes de papier cartonné de 3 cm de large et de 26,2cm de long,

• de ciseaux,
• d'un double décimètre et

• d’une épingle parisienne (ou à défaut d’un trombone)

N’oubliez pas de rechercher avec votre souris d’éventuels commentaires !

Avant de commencer ...

Il y a plus de 25 siècles, l’histoire du nombre d’or commence dans le bassin méditerranéen entre Grèce et Egypte en passant par les rivages orientaux de la Méditerranée

Pythagore

VIe siècle av JC Ce célèbre savant, disciple de Thalès, nous est connu uniquement par ses disciples et successeurs, les Pythagoriciens. Pythagore et ses disciples accordaient une grande place à la géométrie. « Nul ne rentre ici s’il n’est géomètre » Cette confrérie semble avoir attiré les esprits curieux de science et de mysticisme.

« Tout est arrangé d’après le nombre » est le fondement de sa philosophie qui pourrait remonter à l’ancienne Egypte. Le pentagramme est le signe de ralliement des initiés

Platon (VIe siècle avant JC)

• Platon semble avoir eu des contacts avec les milieux pythagoriciens.
• Pour lui, le nombre est facteur d’ordre, de mesure et de beauté.
• Son livre « Le Timée » nous livre ses conceptions sur l’harmonie et la proportion.
• Platon a décrit les cinq formes polyédriques régulières de l’espace.

Platon et les 5 solides réguliers de l’espace Tétraèdre, hexaèdre, octaèdre et icosaèdre symbolisent les 4 éléments, et le dodécaèdre symbolise l’univers !

Enfin Euclide vint …..et dans ses Éléments, un siècle plus tard après Platon, il revient à quatre reprises sur le partage en moyenne et extrême raison. (liv. II, prop. 11, liv. IV, prop. 10-14, liv. VI, prop. 30, liv. XIII)

Euclide, donne, dans son Sixième Livre des Elements, la définition suivante de ce rapport qu’il nomme : “partage en moyenne et extrême raison”

«Une “droite” est dite coupée en extrême et moyenne raison quand la “droite entière” est au plus grand segment comme le plus grand est au plus petit.”

Intéressons nous à ce rapport L/l et à cette proportion …..

L’aire du carré de côté L est la même que celle du rectangle de longueur L+l et de largeur L donc que : L2 = l (L+l) C’est à dire L x L = l x (L+l) soit L/l=(L+l)/L

Euclide illustre son propos par un calcul d’aires

Comment le nomme-t-on ?

DANTE (1265-1321) «La plus grande est à la petite ce que le tout est à la grande» Luca PACIOLI di Borgo (1445-1517) «Divine proportion» Léonard de VINCI (1452-1519) «Section aurea» KEPLER (1571-1630) «Joyau de la géométrie» 19e siècle : «Nombre d’or»

L et l sont les longueurs de deux segments ; ces longueurs sont dans le rapport d’or si elles vérifient : (L + l) / L = L / l« La grande est à la petite ce que le tout est à la grande »

Comment le calculer ….

Un peu de calcul

Donc : L² = l ( L + l ) Ce qui donne L² – lL - l² = 0 ; et en divisant par l² : (L/l)² –L/l – 1 = 0

L/l est la solution positive de l’équation X² – X – 1 = 0 ou (X – ½ )² – 5/4 = 0

D'où : L / l = (1+√5)/2

L et l vérifient : (L + l) / L = L / l.

En résumé ….

Le nombre d'or ϕ est donc égal à (1+√5)/2

(On le note ϕ en l’honneur de Phidias, architecte et sculpteur du Parthénon)

Retenons sa valeur approchée ϕ = 1,618...

ϕ est la solution positive de l’équation X2 –X – 1 = 0

0,618

1/1,618 =

ϕ - 1

1 /ϕ =

2,618

1,618 x 1,618 =

ϕ x ϕ =

ϕ + 1

Calculons avec le nombre d’or

Le compas de proportion

L’équerre

La canne

Le moyen Age et les outils du Maitre d’œuvre

Hue Libergier, mort en 1263, est le Maître d'œuvre qui construisit l'église Saint-Nicaise à Reims. Il repose dans cette cathédrale

Le Compas de proportion pour aller à la chasse au nombre d’or

Fabriquer un compas de proportion

Le matériel

Fabriquer un compas de proportion

Construisez votre compas de proportion Dans une feuille cartonnée format A4 découpez deux bandes de 26,2 cm de long et de 3 cm de large. Faire un petit trou au centre de chaque bande à 10 cm du haut . Lier ces deux bandes avec une épingle parisienne

Recette

Le compas de proportion pour traquer le nombre d’or

Dans le compas de proportion , L / l est égal au nombre d’or On a Le grand triangle est un agrandissement du petit et donc quelque soit l’écartement on a : E / e = L / l

L/l = E/e

L = 16,2 cm l = 10cm L/l = 1,62

Avec votre compas de proportion allez à la découverte du nombre d’or …..

empan

palme

paume

Dans votre main . . .

Empan/palme = 1,6

Empan Palme

Palme/paume = 1,6

Palme Paume

La canne

H/L = L/l = ϕ

Le Modulor de l’architecte Le Corbusier 1887 - 1965

Dans votre corps . . .

Dans un rectangle. . .

Quel est le rectangle dont le format s’approche du nombre d’or ?

Dans ce tableau de Mondrian, quels sont les rectangles dont le format est le plus proche du nombre d’or ?

Piet Mondrian, né en 1872 aux Pays-Bas et mort en 1944 à New York, est un peintre reconnu comme l'un des pionniers de l’art abstrait.

Dans le pentagone étoilé …..?

Dans le dodécaèdre régulier, recherche du nombre d’or …..

Laurent Pflughaupt

Zoom sur le tableau de Nicolas Neufchatel (1539-1567) Le maître Johann Neudörffer l’ancien et un élève)

CIJM, Marie José Pestel, Mai 2021