Formation Construction du nombre Chris

La construction du nombre

Stéphanie Mimouni-MoinardChristelle Le RuyetCPC Essonne Ecole Inclusive

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Note

Cette formation sous forme de parcours présente des modules dont le plan est accessible sur la page suivante. Il est préférable de suivre l'ordre chronologique des modules. Toutefois, vous pourrez aller directement aux modules souhaités en cas de relecture.

Cette formation reprend les bases de la construction du nombre dans la perspective de votre rôle de personne ressource auprès des enseignants de l'ordinaire.

Parcours : La construction du nombre

1

La construction du nombre dans les ProgrammesConférence de consensus

2

Le nombre dans les neurosciences et les recherches

3

Deux systèmes de numération

4

Comment construire le nombre?

5

Les obstacles et difficultés

6

Les activités pour la classe

D’après les programmes, « la construction du nombre s’appuie sur la notion de quantité, sa codification orale et écrite, l’acquisition de la suite orale des nombres et l’usage du dénombrement. »Juin 2021

Le rôle de l'école maternelle

Prévenir les échecs qui risquent de s'installer.

Traiter en temps réel les difficultés.

Remédier aux difficultés.

Le rôle de l'école maternelle

Apprendre en jouant

Apprendre en résolvant des PB

Apprendre en s'exerçant

Apprendre en se remémorant

L'école maternelle doit conduire progressivement chacun à comprendre que les nombres permettent à la fois:

Exprimer des quantités (usage cardinal)

Exprimer un rang ou un positionnement dans une liste (usage ordinal)

Le cycle 1

L'itération de l'unité (Trois c'est deux et encore un) se construit progressivement, et pour chaque nombre. Les enfants doivent comprendre que toute quantité s'obtient en ajoutant 1 à la quantité précédente (ou en enlevant 1 à la quantité supérieure).

Les enfants doivent comprendre que la dénomination d'une quantité s'obtient en avançant de 1 dans la suite des noms des nombres ou dans l'écriture des chiffres.

L’usage cardinal des nombres est le plus important car c’est celui qui permet de comprendrecomment les quantités sont reliées entre-elles.

Pourdésigner des rangs (l'usage ordinal), il est préférable de parler des positions et des rangs en utilisant lesmots "premier", "deuxième",... ceux que la grammaire qualifie d’ordinaux. "

Il faut travailler les deux usages en parallèle.

Rémi Brissiaud

Dans l'apprentissage du nombre à l'école maternelle, il convient de faire construire le nombre pour exprimer les quantités, de stabiliser la connaissance des petits nombres et d'utiliser le nombre comme mémoire de la position.

Construire le nombre pour exprimer les quantités

Stabiliser les connaissances des petits nombres

Utiliser le nombre comme mémoire de la position

Objectifs visés et éléments de progressivité

Comprendre la notion de quantité implique pour l'enfant de concevoir que la quantité n'est pas la caractéristique d'un objet mais d'une collection d'objets (l'enfant doit également comprendre que le nombre sert à mémoriser la quantité). L'enfant fait d'abord appel à une estimation perceptive et globale (plus, moins, pareil, beaucoup, pas beaucoup). Progressivement, il passe de l'apparence des collections à la prise en compte des quantités. La comparaison des collections et la production d'une collection de même cardinal qu'une autre sont des activités essentielles pour l'apprentissage du nombre. Le nombre en tant qu'outil de mesure de la quantité est stabilisé quand l'enfant peut l'associer à une collection, quelle qu'en soit la nature, la taille des éléments et l'espace occupé : cinq permet indistinctement de désigner cinq fourmis, cinq cubes ou cinq éléphants.

Au cycle 1, la construction des quantités jusqu'à dix est essentielle. Cela n'exclut pas le travail de comparaison sur de grandes collections. La stabilisation de la notion de quantité, par exemple trois, est la capacité à donner, montrer, évaluer ou prendre un, deux ou trois et à composer et décomposer deux et trois. Entre deux et quatre ans, stabiliser la connaissance des petits nombres (jusqu'à cinq) demande des activités nombreuses et variées portant sur la décomposition et recomposition des petites quantités (trois c'est deux et encore un ; un et encore deux ; quatre c'est deux et encore deux ; trois et encore un ; un et encore trois), la reconnaissance et l'observation des constellations du dé, la reconnaissance et l'expression d'une quantité avec les doigts de la main, la correspondance terme à terme avec une collection de cardinal connu. L'itération de l'unité (trois c'est deux et encore un) se construit progressivement, et pour chaque nombre. Après quatre ans, les activités de décomposition et recomposition s'exercent sur des quantités jusqu'à dix.

Le nombre permet également de conserver la mémoire du rang d'un élément dans une collection organisée. Pour garder en mémoire le rang et la position des objets (Il est important d'utiliser les termes deuxième, troisième, ... cinquième, etc...), les enfants doivent définir un sens de lecture, un sens de parcours, c'est-à-dire donner un ordre. Cet usage du nombre s'appuie à l'oral sur la connaissance de la comptine numérique et à l'écrit sur celle de l'écriture chiffrée.

L'enseignant favorise le développement très progressif de chacune de ces dimensions pour contribuer à la construction de la notion de nombre. Cette construction ne saurait se confondre avec celle de la numération et des opérations qui relèvent des apprentissages de l'école élémentaire.

Les attendus de fin de cycle 1

Utiliser les nombres

Etudier les nombres

Étudier les nombres

2

3

4

1

1

2

4

3

5

6

Passez sur les numéros pour lire les attendus

- Réaliser une collection dont le cardinal est donné. Utiliser le dénombrement pour comparer deux quantités, pour constituer une collection d'une taille donnée ou pour réaliser une collection de quantité égale à la collection proposée.

- Utiliser le nombre pour exprimer la position d'un objet ou d'une personne dans un jeu, dans une situation organisée, sur un rang ou pour comparer des positions.

- Mobiliser des symboles analogiques, verbaux ou écrits, conventionnels ou non conventionnels pour communiquer des informations orales et écrites sur une quantité.

Évaluer et comparer des collections d'objets avec des procédures numériques ou non numériques.

Évaluer et comparer des collections d'objets avec des procédures numériques ou non numériques.

- Avoir compris que le cardinal ne change pas si on modifie la disposition spatiale ou la nature des éléments.

- Quantifier des collections jusqu'à dix au moins ; les composer et les décomposer par manipulations effectives puis mentales. Dire combien il faut ajouter ou enlever pour obtenir des quantités ne dépassant pas dix.

- Avoir compris que tout nombre s'obtient en ajoutant un au nombre précédent et que cela correspond à l'ajout d'une unité à la quantité précédente.

- Parler des nombres à l'aide de leur décomposition.

- Dire la suite des nombres jusqu'à trente. Lire les nombres écrits en chiffres jusqu'à dix.

Le cycle 2

Poursuivre la construction du nombre tout au long du cycle 2

Nombre et calculs

La connaissance des nombres entiers et du calcul est un objectif majeur du cycle 2. Elle se développe en appui sur les quantités et les grandeurs, en travaillant selon plusieurs axes.

Des résolutions de problèmes contextualisés

L’étude de relations internes aux nombres

L’étude des différentes désignations orales et/ou écrites

L’appropriation de stratégies de calcul

Une bonne connaissance des nombres inférieurs à mille et de leurs relations

Le cycle 2

Comprendre et utiliser des nombres entiers pour dénombrer, ordonner, repérer, comparer

Nommer, lire, écrire, représenter des nombres entiers

Résoudre des problèmes en utilisant des nombres entiers et des calculs

Calculer avec des nombres entiers

1

Les attendus

2

3

4

Le langage

Les problèmes

Les invariants

Trois composantes

- Dénombrer, constituer et comparer des collections en les organisant, notamment par des groupements par dizaines, centaines et milliers : * désignation du nombre d’éléments de diverses façons : écritures additives ou multiplicatives, écritures en unités de numération, écriture usuelle ; * utilisation de ces diverses désignations pour comparer des collections. - Repérer un rang ou une position dans une file ou sur une piste. - Faire le lien entre le rang dans une liste et le nombre d’éléments qui le précèdent : * relation entre ordinaux et cardinaux. - Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres entiers, en utilisant les symboles =, ≠, <, > : * égalité traduisant l’équivalence de deux désignations du même nombre ; * ordre ; * sens des symboles =, ≠, <, >.

- Utiliser diverses représentations des nombres (écritures en chiffres et en lettres, noms à l’oral, graduations sur une demi-droite, constellations sur des dés, doigts de la main…). Passer d’une représentation à une autre, en particulier associer les noms des nombres à leurs écritures chiffrées. - Interpréter les noms des nombres à l’aide des unités de numération et des écritures arithmétiques. - Utiliser des écritures en unités de numération (5d 6u, mais aussi 4d 16u ou 6u 5d pour 56) : * unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers) et leurs relations (principe décimal de la numération en chiffres) ; * valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture d’un nombre (principe de position) ; * noms des nombres. - Itérer une suite de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100. - Associer un nombre entier à une position sur une demi-droite graduée, ainsi qu’à la distance de ce point à l’origine. - Graduer une demi-droite munie d’un point origine à l’aide d’une unité de longueur. - Associer un nombre ou un encadrement à une grandeur en mesurant celle-ci à l’aide d’une unité. - Faire le lien entre unités de numération et unités du système métrique étudiées au cycle 2.

- Résoudre des problèmes issus de situations de la vie quotidienne ou adaptés de jeux portant sur des grandeurs et leur mesure, des déplacements sur une demi-droite graduée, etc., conduisant à utiliser les quatre opérations : * sens des opérations ; * problèmes relevant des structures additives (addition/soustraction) ; * problèmes relevant des structures multiplicatives, de partages ou de groupements (multiplication/division). - Modéliser ces problèmes à l’aide d’écritures mathématiques : * sens des symboles +, −, ×, :

- Mémoriser des faits numériques et des procédures : o tables de l’addition et de la multiplication ; * décompositions additives et multiplicatives de 10 et de 100, compléments à la dizaine supérieure, à la centaine supérieure, multiplication par 10 et par 100, doubles et moitiés de nombres d’usage courant, etc. - Mobiliser en situation ses connaissances de faits numériques et ses connaissances sur la numération pour par exemple : * répondre à des questions comme : 7 × 4 = ? ; 28 = 7 × ? ; 28 = 4 × ?, etc. ; * retrouver que 24 × 10, c’est 24 dizaines, c’est 240. Calcul mental et calcul en ligne - Traiter à l’oral et à l’écrit des calculs relevant des quatre opérations ; - Élaborer ou choisir des stratégies, expliciter les procédures utilisées et comparer leur efficacité : * addition, soustraction, multiplication, division ; * propriétés implicites des opérations : 2 + 9, c’est pareil que 9 + 2 ; 3 × 5, c’est pareil que 5 × 3 ; 3 × 5 × 2, c’est pareil que 3 × 10. * propriétés de la numération : « 50 + 80, c’est 5 dizaines + 8 dizaines, c’est 13 dizaines, c’est 130 » ; « 4 × 60, c’est 4 × 6 dizaines, c’est 24 dizaines, c’est 240 » ; * propriétés du type : 5 × 12 = 5 × 10 + 5 × 2. Calcul mental - Calculer sans le support de l’écrit, pour obtenir un résultat exact, pour estimer un ordre de grandeur ou pour vérifier la vraisemblance d’un résultat. - Résoudre mentalement des problèmes arithmétiques, à données numériques simples. En particulier : *calcul sur les nombres 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 en lien avec la monnaie ; * calcul sur les nombres 15, 30, 45, 60, 90 en lien avec les durées. Calcul en ligne - Calculer avec le support de l’écrit, en utilisant des écritures en ligne additives, soustractives, multiplicatives, mixtes. Calcul posé - Mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication.

La conférence de consensus

Si je veux écouter toute la conférence

L'apport des neurosciences

Les neurosciences permettent d’identifier les mécanismes mentaux et les processus psychologiques mis en jeux lors des apprentissages. Les comprendre et en maîtriser la dynamique permet de proposer des outils en adéquation avec les possibilités des élèves, ainsi que d’optimiser le temps et l’énergie déployée par l’enseignant.Ceci est un paragraphe prêt à contenir créativité, expériences et histoires géniales.

Des pré-requis

Fonctionnements de base du cerveau qui sous-tendent les apprentissages

Apprentissage : altération de la mémoire à long terme (savoir, procédure, etc.). Par exemple : pour faire du vélo je vais mettre en jeu mes connaissances sur l’équilibre, le fonctionnement moteur, le calcul des distances. Il faudra tout altérer pour construire une nouvelle association de fonctionnement qui permet de se maintenir à l’équilibre tout en pédalant.

Qu'est-ce-qu'apprendre?

Le recyclage neuronal

C’est la modification structurelle des régions cérébrales pour en changer leur fonction.Nous avons une architecture de base, des zones préférentielles dédiées à certaines fonctions (audition, vision, etc.). Cela va influencer notre manière d’apprendre.

Par exemple

Pour reconnaître un chiffre : « Tout se passe à gauche », le développement et la compréhension de la parole se passent dans l’hémisphère gauche. Quand l’enfant arrive pour « devenir un élève » il a déjà stimulé et activé cette zone de manière privilégiée. Au moment de l’accès au chiffre il va devoir le différencier d’un objet quelconque (celui-ci peut être regardé sous n’importe quel axe). Voici comment le cerveau traite les objets: activation de l’aire occipitale (la vue) puis stimulation de manière égale des aires gauche et droite. Voici comment il traite un chiffre : activation de l’aire occipitale puis stimulation majoritaire de la partie gauche. Comment un objet devient un chiffre => grâce au son qu'on lui donne. C’est en associant le chiffre à sa sonorité qu’il devient un chiffre et non un objet. L’enfant va consolider les neurones à gauche, cela permet d’avoir des bonnes capacités de reconnaissance car l’apprentissage se fixe sur une zone déjà efficace (Neuroplasticité). Dans les expériences chez les dyscalculiques, on identifie un manque de latéralisation, le chiffre reste un objet il ne fait pas sens pour le cerveau. Si les chiffres 6-9 sont perçus comme des objets, l’enfant n’est pas en mesure de les différencier.

La neuroplasticité

C’est la capacité du cerveau à changer ses connections neuronales grâce à l’apprentissage en renforçant, augmentant ou diminuant ses réseaux de neurones.

Comment cela fonctionne?

ET

Plus l’enfant le mobilise, l’utilise, plus il se développe. En classe par exemple, vous activez ce processus à chaque fois que vous questionnez, testez, interagissez, demandez à l’enfant de se poser à lui même des questions. C’est en stimulant le plus d’axes possibles sur les réseaux choisis qu’ils se développent.

Il faut des périodes de repos pour intégrer un savoir, l’effet du sommeil est très important, pendant que l’enfant dort il réactive les réseaux de la journée (consolidation). Un réseau non utilisé dans le cerveau s’éteint (mais reste toujours réactivable). En classe par exemple, vous activez ce processus quand vous revenez régulièrement sur les contenus.

Par réactivation

Par espacement

L'inhibition

C’est la capacité du cerveau à éteindre les stratégies, connaissances ou croyances, inadaptées à la situation.

Les heuristiques

Le principe d’ordre stable (un puis deux puis trois, etc.)

Le principe de stricte correspondance terme à terme (chaque objet à compter ne peut être désigné que par un et un seul mot-nombre)

Le principe du cardinal (le mot nombre du dernier objet désigné égale le nombre total d’objets)

Le principe d’abstraction (les objets ne sont que des entités distinctes à compter, peut importe s’ils sont différents du point de vue de leur forme, de leur couleur, etc.)

Le principe de non pertinence de l’ordre (peu importe l’ordre dans lequel les objets sont énumérés durant le comptage, à condition que le deuxième principe soit respecté).

1

2

3

4

5

En grandissant nous construisons notre répertoire de savoirs, de croyances, de logiques, qui deviennent nos "lois".Certaines sont correctes mais d’autres sont fausses ou ne sont pas toujours vraies : "si c’est petit c’est loin de moi, si c’est grand c’est proche". Il va falloir contrer ses effets constamment pour apprendre.

Les neurones inhibiteurs sont là pour éteindre nos fausses croyances éviter de tomber dans des automatismes ou des pièges cognitifs. Ils ont un très gros travail car le cerveau ne perd jamais une croyance enregistrée, il se contente de l’inhiber à chaque fois que celle-ci se présente.

Elles sont activées (cortex cingulaire antérieur) puis elles sont comparées (cortex pré frontal dorsolatéral) et ensuite celles qui ne sont pas pertinentes sont inhibées (cortex ventrolatéral). Même chez les experts, ce système est toujours en place, il n’y a pas d’activation directe de la bonne réponse. On devient un expert par ce qu’on sait inhiber. On apprend à activer les bonnes conceptions.

En classe

Si l’enseignant met l’enfant en état de vigilance : « attention il y a des pièges », il va être capable de les éviter. Cela permet de bien différencier les enfants qui n’auraient pas compris une leçon de ceux qui ne savent pas inhiber de manière efficace. Il ne s’agirait pas, pour ces derniers, d’un manque de compétence mais de l’utilisation de la mauvaise stratégie pour répondre au problème. L’enfant inhibe une stratégie pas une connaissance donc il faut bien connaitre son cerveau pour arriver à le faire fonctionner de manière optimale.

De l'équilibre

Cette structure cognitive est sous tendue par des mécanismes permettant d'intégrer la manipulation, l’organisation des savoirs, les connaissances, les apprentissages: L’attention, la mémoire et les fonctions exécutives. Elles permettent la génération d’hypothèses, la prise de décision, le contrôle, la vérification et la détection d’erreurs, la déduction de règles, la planification par rapport à un but.

Cette structure cognitive est un socle mais celui-ci ne peut fonctionner correctement si l’autre partie, le socle émotionnel, est en déséquilibre.

Parlons abstraction

Las activités mentales en jeu dans l'abstraction

Percevoir Donner une signification à ce que l’on perçoit grâce à ses sens. Identifier les propriétés (ex. la couleur, la forme, la taille…). Repérer des différences, des ressemblances. Comparer Distinguer des ressemblances en fonction d’un critère. Inférer Après avoir identifié les similarités, malgré les différences, tirer une conclusion hypothétique sur la règle de classification possible. Vérifier son inférence Cette similarité est-elle présente dans tous les exemples ? Sinon, nouvelle inférence et nouvelle vérification. Et ainsi de suite… D’où la nécessité d’un grand nombre d’exemples pour affiner la définition d’un concept. A l’issue de ce processus, la situation réelle est codifiée par un symbole, l’abstraction. Ce symbole est provisoire car il est seulement vérifié pour un contenu limité. Généraliser Proposer une conclusion (une règle, un principe général) et vérifier. A partir du CM1-CM2, les élèves deviennent capables de généraliser des catégories portant sur le réel ou le vécu. « L’important n’est pas tant d’apprendre aux enfants à généraliser : ils n’y sont que trop enclins ; c’est de leur apprendre à généraliser prudemment et méthodiquement, à interpréter les faits avec réserve, à multiplier les observations, à compléter et contrôler les expériences les unes par les autres. » Henri Marion → L’élève perçoit l’information, puis il la traite, ensuite il abstrait et, enfin il généralise. Il a acquis le concept quand il est capable de le transférer.

Deux systèmes de numération

La numération orale

La numération écrite

Eric Mounier Maître de conférence en didactique des mathématiques

2 numérations distinctes sont un enjeu d'apprentissage

Numération Orale

Numération Ecrite

Aspect ordinal

Aspect cardinal

[ cinquante-deux]

Nom du nombre

"52"

Ecriture chiffrée

Cinquante deuxième

Deux après cinquante

5 x 10 + 2

Comptage: un, deux, trois, ......., cinquante-deux.

Pas d'organisation de la collection

Comptage: dix, vingt, ......., cinquante, cinquante et un, cinquante-deux.

[ cinquante-deux]

Comptage des dizaines(5) puis des unités restantes (2)et codage en accolant les chiffres : 52

Nom du nombre

Organisation de la collection

"52"

Ecriture chiffrée

On ne connaît pas le nombre de dizaines

Cinquante deuxième

Deux après cinquante

5 x 10 + 2

Une numération orale irrégulière

Une numération écrite régulière

Conséquences pour la classe

Une numération écrite régulière : 2 principes

Faire construire la numération écrite, c'est demander aux élèves de coder la quantité d'une collection avant qu'ils ne connaissent sa désignation orale.

Principe décimal

Il existe un rapport de 10 entre les différents unités et groupements réguliers de 10. La valeur d'un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus grande que celle du chiffre qui est écrit immédiatement à sa droite. Exemple : 243 dans 243, le 2 vaut 2 centaines donc 20 dizaines, dans 243, le 4 vaut 4 dizaines donc 40 unités.

Principe positionnel

La valeur du chiffre dépend de sa position dans le nombre

Remarque: Les unités s’écrivent à droite car l’écriture arabe se fait de droite à gauche.

La valeur d'un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus grande que celle du chiffre qui est écrit immédiatement à sa droite.

Exemple: le 2 n’a pas la même valeur dans les nombres 243 et 423: Dans 243, le 2 vaut 2 centaines donc 200, Dans 423, le 2 vaut 2 dizaines donc 20.

Notre système actuel de numération est appelé décimal car il utilise seulement dix symboles, les chiffres arabes 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, pour écrire les nombres. Ce système de numération est très performant car avec uniquement dix symboles, nous pouvons effectuer une infinité de possibilités de nombre. Il procède toujours par groupement de dix (10 unités forment une dizaine, 10 dizaines forment une centaine, etc.) : c'est une numération en base 10. De plus, selon sa position, le symbole indique une valeur particulière. Chaque position successive vers la gauche indique une valeur dix fois plus importante que celle juste à droite. Étant donné que dans notre système de numération, les chiffres n'ont pas la même valeur selon leur position dans l'écriture du nombre, on dit que c'est également un système de numération de position.

Une numération orale irrégulière

Il existe des nombres irréguliers de 11 à 16 et d’autres pour les dizaines (vingt, trente, etc). De plus les nombres au-delà de soixante ont des noms composés et certaines combinaisons renvoient à l’addition (soixante-douze), d’autres à la multiplication (quatre-vingt-trois) ou même aux deux opérations (quatre-vingt-onze).

La numération orale n'est pas en correspondance avec la numération écrite

1

Des irrégularités

- la numération écrite n’est pas la version écrite de la numération orale : 53 ne se dit pas « cinq-trois » ; - la numération orale n’est pas la version orale de la numération écrite : cinquante-trois ne s’écrit pas 503.

2

Comment construire le nombre?

Rappel vocabulaire mathématique

Les chiffres sont des signes servant à écrire des nombres. Ils sont omniprésents dans le quotidien, et ce dès le plus jeune âge. Ils sont culturels et prennent des sens différents selon les situations (mesure, code, numéro, quantité, position…).Cette familiarité ne facilite pourtant pas la compréhension des nombres.

Le nombre n’est ni une quantité, ni un numéro. C’est une idée, un concept abstrait.C’est un outil mathématique permettant de raisonner sur de l’abstrait.

Le concept de nombre

Les 3 représentations du nombre

La pédagogie du nombre construit des relations étroites entre ces trois représentations. Il faut être vigilant car l'élève peut mémoriser les liens entre mots-nombres et nombres chiffrés sans les relier à aucune représentation figurative, sans leur donner de sens.

Exemple de représentation analogique: les cartes à points

Ce modèle a été proposé par deux chercheurs, Dehaene et Cohen (1992) pour rendre compte du traitement des nombres et des quantités. Il est utilisé pour expliquer le fonctionnement arithmétique chez l’adulte. On peut néanmoins postuler qu’il aide à analyser les erreurs mathématiques chez les enfants. On considère qu'il s'agit aujourd'hui du modèle théorique de référence. Dans ce modèle, le traitement du nombre mobilise trois systèmes de représentation, à savoir un code « analogique », un code « oral » et un code « arabe ». Le code analogique est un code non symbolique : il correspond à la capacité innée de traiter les quantités, représentées par des objets (par exemple des billes, des points, des cailloux, les doigts de la main). Deux processus permettent de traiter ces quantités : le subitizing et l’estimation. Les codes symboliques sont le code verbal et le code arabe : c'est tout simplement le fait de représenter le nombre par un mot ("trois") ou par un symbole (le chiffre écrit, "3"). Ces trois codes, analogique, verbal, arabe, fonctionnent indépendamment mais entretiennent des relations étroites les uns avec les autres. Chacun de ces modules serait associé à des réseaux de neurones différents dans le cerveau.

Apprendre

Abstraire

Relier

Valoriser les exercices, entraînements, activités qui visent à:

La compréhension du nombre est toujours systémique. Ce n'est pas un enseignement pointilliste mais c'est mettre en relation les choses (les codes, les procédures)

Apprendre c'est étendre ses connaissances à un même niveau de développement (donc à un même niveau cognitif de fonctionnement).

C'est à dire aller à l'essentiel et repérer des analogies ainsi la notion de nombre impose: - de s'abstraire de critères et quantifications spatialisées (l'organisation spatiale n'a pas d'incidence sur la quantité: certains élèves pensent qu'il y a plus dans le carré de gauche car le rond prend plus de place que les deux petits ronds dans le carré de droite) - de compter des unités abstraites, pas seulement des objets. - de reconnaître l'équivalence de procédures (par exemple compter dans un sens puis dans l'autre).

Relier des codes, des procédures. Relier par exemple: - le comptage au subitizing - les mots nombres aux signes écrits - les signes arbitraires aux signes analogiques ( comme les doigts de la main) - l'ordinalité et la cardinalité - les nombreuses manières d'obtenir une même somme.

Trois dimensions

La cardinalité

1

2

L'ordinalité

Les transformations

3

Les quantités s'ordonnent et s'emboîtent en fonction de leur cardinalité

Le cardinal varie en fonction des transformations : ajouts ou retraits

Quels que soient les éléments d'une collection, leurs caractéristiques physiques et leurs dispositions spatiales = invariance du cardinal

S'approprier en priorité l'aspect cardinal du nombreLe nombre"quantité"

La cardinalité

1

Des propriétés

- La quantification est précise

- Le cardinal peut s'obtenir par correspondance terme à terme (pas besoin de noms des nombres)

- Le cardinal peut s'obtenir par dénombrement : correspondance entre noms des nombres (symboles) et entités; itération de l'unité (4 c'est 3 et encore 1); égalité des distances entre successeurs (entre 7et8 et 2 et 3 par exemple)

La notion de cardinal est longue et difficile à établir. Elle est très abstraite.

La notion d'itération de l'unité

Opposition Comptage-numérotage VS comptage-dénombrement

Importance des stratégies de décompositions-recompositions

Trois notions fondamentales pour penser ce que sont les nombres et le cheminement optimal pour les construire

Itération de l'unité

Propriété conceptuelle fondamentale du nombre

Le comptage numérotage

VS

Le comptage dénombrement

Le comptage numérotage et le comptage dénombrement ne font pas le même usage des mots nombres (un, deux, trois,...)

Rémi Brissiaud (1989) différencie le comptage-numérotage du dénombrement qu'il définit comme un niveau de comptage nettement plus fouillé. À un tel degré, l'enfant dénombre une collection d'objets et comprend que le dernier mot-nombre qu'il prononce n'est pas un simple numéro, mais représente à lui seul la quantité de tous les objets. Il doit accorder une double signification au dernier mot-nombre prononcé: lorsqu'il est prononcé, au cours du comptage, le dernier mot-nombre a le même statut que tous les autres mots-nombres. Il s'agit d'un numéro qui distingue un objet (le «7», par exemple). L'enfant doit alors changer la signification de ce mot-nombre pour qu'il représente la quantité de tous les objets: il passe de «le 7» à «les 7». 0 0 0 0 0 0 0 le un le deux le trois le quatre le cinq le six le sept «les sept»

Décompositions/recompositions

Trois conditions nécessaires au dénombrement

Pour pouvoir dénombrer correctement un ensemble d'éléments, l'enfant doit avoir acquis les principes du comptage et être capable de les coordonner (Grégoire et Van Nieuwenhoven, 1995).

Créer les unités

Les énumérer

Dénombrer

Les totaliser

• Les contextes familiers présentent majoritairement le nombre dans son aspect ordinal (touches de la télécommande, du téléphone, de l’ascenseur…). • La procédure de comptage-numérotage des objets (pointage au fur et à mesure de la récitation de la comptine, avant de passer à la totalisation) apporte encore le nombre dans son aspect ordinal. Elle ne favorise donc pas l’accès à l’aspect cardinal du nombre.

Dénombrer

Parvenir à une quantification précise est une activité compliquée qui nécessite trois composantes

Symbolique

Motrice

Coordination entre les 2 composantes

Noms des nombres, chiffres arabes, formes signées...)Il faut savoir compter mais cela ne se réduit pas au comptage.

Pointage, mouvement des yeux.

Les procédures de dénombrement

Le subitizing

Le comptage numérotage

Le comptage dénombrement

Dans un comptage numérotage, le calcul +1 répété sous-jacent à ce comptage est complètement implicite

En revanche, dans un comptage dénombrement ce calcul est explicite: on verbalise l'itération de l'unité

Rémi Brissiaud Conférence de consensus

Attention de ne pas ancrer les élèves dans le comptage-numérotage

Le comptage numérotage

Le comptage dénombrement

L'ordinalité

2

Une composante largement ignorée. Importance croissante de la GS au CE1 puis au delà.

C'est le rang ou la position dans un ensemble. C'est le troisième cube de la file, c'est le cube n°3.

"La ligne numérique permet à l'enfant de situer l'ordinalité en tenant compte du cardinal et de situer sur un espace, les relations entre les nombres entre eux." Michel Fayol

Travail sur la bande numériqueVoir lien sur la page Ressources à la fin du Genially

On parle de construction du nombre plus que d'enseignement car les notions logico-mathématiques se construisent à partir de stratégies cognitives comme :

Explorer

Comparer

Trier

Classer

Sérier

Evoquer

Mettre en lien

Favoriser, faire émerger d’autres procédures que le comptage, non numériques et numériques sur les premiers nombres :

Estimer pour comparer

Subitiser « subitizing» pour les quantités jusqu’à trois,

Recourir à une collection-témoin organisée

Faire correspondre terme à terme ou groupe à groupe

Recourir à une grandeur

Utiliser les longueurs

Grouper les objets et usage des décompositions

Par exemple la longueur de deux barres de cubes emboîtables ou des objets alignés de collections homogènes (d'objets identiques)

pour des collections homogènes, groupement d'objets et usage des premiers nombres

en priorité : - comparer deux collections qui mettent en jeu d’emblée des quantités importantes. - constituer une collection pour introduire les premiers nombres (« donne-moi trois jetons : un, un et encore un ou deux et un », tout en sortant le nombre de doigts correspondants) car ces deux tâches, et une façon de les mettre en mots, impliquent directement l’aspect cardinal du nombre. -composer/compléter des collections

Proposer d’autres tâches que le dénombrement :

La manipulation

La verbalisation

L'abstraction

Manipuler, oui! Mais pas que....

La trace écrite

La notion de preuve

L'apprentissage explicite

La trace écrite est une référence qui permet à l'élève de structurer sa pensée, ses savoirs et ses compétences. Il ne faut pas la négliger. Elle favorise "la mise en mémoire". Tous les élèves doivent bénéficier d'une trace écrite de qualité et pourront s'y référer autant que besoin, lors de la résolution d'exercices ou de problèmes, avec l'aide de l'enseignant. La trace écrite doit servir de référence et ne pas se limiter à un "catalogue" de résultats ou de recettes. Les définitions et propriétés doivent être clairement identifiées. Elle doit respecter à la fois les enchaînements logiques, être rigoureuse et précise, et être compréhensible. L'enseignant pourra expliciter certains énoncés mathématiques par une reformulation en français courant compréhensible par le plus grand nombre.

Obstacles et difficultés

Définitions

Acalculie:

Trouble acquis, caractérisé par l'incapacité à reconnaître ou à former et des chiffres et des symboles arythmétiques soit à effectuer des calculs arithmétiques élémentaires (addition, soustraction...).

Anarithmétie:

Type d'acalculie qui se manifeste par la difficulté, voire l'impossibilité de faire des opérations de calculs.

Identifier les obstacles

Pour rappel, le tableau des compétences à travailler afin d'acquérir de sens du nombre.

Il est donc nécessaire de construire une grille d'évaluation synthétisant l'ensemble des items afin d'apprécier la progression des élèves.

Une fois l'évaluation de compétences scolaires menées, il convient de croiser les données recueillies avec l'évaluation plus globale de l'élève au regard des besoins énoncés dans les projets d'accueil individualisés des établissements pour déterminer le(s) niveau(x) d'aide(s) requis:

Sensori-moteur

Psycho-affectif

Socio-affectif

Fonctions cognitives

Relation aux apprentissages

Processus d' apprentissages

- Coordination motrice globale : maladresse générale : heurte les objets, chute souvent … - Motricité fine : essentiellement utilisation de la main dans des manipulations et tracés en relation avec l'âge réel, maladresse dans les dessins, l’écriture (attention aux décalages normaux de maturation physiologique entre enfants en C1) - Audition : inattention, semble parfois absent. Il est facile de procéder à un petit test de désignation d’images, à voix haute devant lui puis derrière lui sans lecture labiale - Vision : s’approche très prêt du support : penché sur ses documents où les porte très près des yeux), ne voit pas au tableau, tendance à se frotter les yeux ou à cligner des yeux, à fermer un oeil ou à l’occulter en penchant la tête, besoin aussi de souvent fermer les yeux, parfois larmoiement, démangeaisons, brûlures, maux de tête assez fréquents plutôt le soir ou après un effort visuel prolongé, diminuant le week-end. Les difficultés de vision et d'audition sont diagnostiquées à 4O% pendant l'âge scolaire, et souvent après signalement par l'enseignant. Cependant trop de déficiences, auditives ou visuelles, souvent légères mais toujours handicapantes pour une scolarité réussie, restent ignorées et sont découvertes très tard, trop tard, dans la scolarité, ou sont acquises en cours de vie. Enfin, les troubles des fonctions cognitives sont assez souvent associées à des troubles ou difficultés sensori-motrices qu’il faut identifier pour les travailler conjointement à la difficulté cognitive. Il n’est pas du rôle et des compétences de l’enseignant de diagnostiquer un trouble ou une déficience sensori-motrice, mais c’est le sien d’alerter les parents en cas de suspicion, pour qu’ils puissent alors consulter un spécialiste.

- L’estime de soi : Elle peut se définir comme la capacité à se reconnaître une certaine valeur, à se faire confiance (ce qui est primordial pour se lancer dans les apprentissages), à s’affirmer dans un groupe. Elle se construit à travers le regard et l’attention de l’entourage, à travers les expériences. Elle est donc en perpétuelle évolution ; positive ou négative. Son évaluation se fera donc par la valeur que l’enfant se donne, difficile à identifier avec les outils de l’enseignant, par l’engagement de l’élève dans les activités nouvelles, par la gestion des difficultés d’apprentissages. - L’autonomie affective : Elle est en lien avec l’item précédent, elle peut s’observer à travers la capacité à travailler seul, avoir des avis et faire des choix, prendre des initiatives. - La maîtrise des émotions : L’élève maîtrise-t-il l’intensité de ses émotions, les contrôle-t-il (l’émotion l’envahit et le rend indisponible aux apprentissages ou aux relations), l’expression est-elle socialement acceptable (de l’expression physique plus ou moins acceptée à la verbalisation des émotions qui permet de les mettre à distance). - La projection : Elle est la capacité à différer ses désirs et de s’inscrire dans des projets personnels à moyen et long terme. - La gestion de sa sécurité : L’élève ne se met pas en danger, physique ou psychique, est capable de mesurer, donc de connaître, la balance sécurité-risque.

- Qualité des relations : prend-il en compte ses camarades, comprend-il leurs réactions, leurs sentiments ? Ignore-t-il le groupe, se maintient-il à l’écart … ? - Respect des règles de vie : les suit-il ou les transgresse-t-il régulièrement ? - Maîtrise de ses comportements et gestion des conflits: les règle-t-il dans le cadre habituel, par la parole (apaisante ou injurieuse, par les gestes …), les affects (amitié, joie, colère …) restent-ils dans le domaine de l’acceptable, débordent-ils, ou sont-ils inhibés?

- Mémoire : empan, mémoire de travail, mémoire à long terme, stratégies de mémorisation. - Expression et communication : modes de communication utilisés : communication verbale, gestuelle, expressive … et qualité de cette communication : aisée, réduite, unilatérale … - Fatigabilité : temps d’attention, tenue de l’effort - Vitesse d’exécution : rapidité ou lenteur - Autonomie : peut faire seul, va seul au bout de la tâche, prend des initiatives … - Repérage dans le temps : compréhension et utilisation des outils et des marqueurs temporels - Repérage dans l'espace : compréhension et utilisation des outils et des marqueurs spatiaux Les fonctions décrites ci-dessus sont les grandes fonctions cognitives définies dans la classification internationale des fonctionnements. Elles ont transversales à tous les apprentissages. La mémoire réduite, la lenteur d’exécution sont souvent cités comme caractéristiques de la déficience intellectuelle, les troubles de l’expression et de la communication concernent tous les publics, le repérage spatio-temporel est une compétence sur laquelle se reposent un grand nombre d’apprentissages.

- Compréhension du sens de l’école et des apprentissages : peut donner un sens à l’école et aux apprentissages qui ne sont pas uniquement du domaine relationnel ou affectif, mais qui prennent en compte les fonctions sociales de l’école ou de la discipline - Compréhension du sens de l’activité : peut dire à quoi sert, ou va servir, ce qu’il fait - Gestion de la difficulté d’apprendre : blocage émotif, refus de s’engager, fonctionnement de fuite (colère, bavardage …), recherche du soutien de l’enseignant … ou plaisir de la nouveauté, de la difficulté, de l’effort intellectuel …

- Prise d’information : Comportement exploratoire (non systématique, impulsif, non planifié …) des données, choix des données (oubli, ne voit pas leur importance …), perception de l’implicite à l’oral et à l’écrit (référents culturels connus ou manquants), compréhension lexicale (ignorance de certains termes, manque de connaissances préalables nécessaires …) - Mobilisation des connaissances : identification des connaissances préalables (ou oubli), utilisation des cadres de résolution déjà acquis, transfert des acquis, automatisation des procédures (cette automatisation est longue chez les élèves déficients intellectuels) - Mise en œuvre d’inférences (c’est l’activité mentale qui consiste à augmenter l’information disponible en produisant de nouvelles informations à partir des informations disponibles) : manque de pensée inférentielle (ex: si j’avais …), capacité à déduire, à comparer, à faire des liens. La difficulté à mettre en place des inférences est importante chez les enfants atteints de troubles psychiques et de troubles envahissants du développement. - Anticipation et planification : peut dire ce qu’il faut faire pour réaliser l’activité, tâtonnement non organisé rigidité ou souplesse cognitive (n’envisage pas d’autre stratégie…), - Restitution des connaissances : l’élève refuse-t-il de restituer ? Est-il bloqué par les aspects (et les exigences fortes) formels au détriment du fond ? Maîtrise-t-il le média (ses difficultés à l’écrit, par exemple, l’amènent-elles à se concentrer sur cet aspect et reléguer ceux relatifs à la discipline ? Etc.

Difficultés et obstacles

Les activités pour la classe

Les préconisations de Rémi Brissiaud

Travailler la décomposition avant le comptage

Comment savoir quand le système des 3 premiers nombres est installé?

- Quand l’enfant sait dire combien il y en a très rapidement- Quand l’enfant sait résoudre des problèmes arithmétiques sur ces 3 nombres (ajout, retrait)

Il est inutile de passer au nombre 4 tant que le 3 n'est pas acquis

Ce n’est pas à travers une seule épreuve qu’on peut apprécier la compréhension du nombre

Varier les supports de représentation

Ne pas conditionner les enfants à une réponse face à une image

-Introduire le comptage quand l’enfant est prêt (quand il a construit le système des 3 premiers nombres).-On enseigne le comptage en y allant doucement, il est des retards apparents qui valent des avances

Attention à la différence nombre/numéro. Les enfants sont très souvent confrontés à des numéros (caractère ordinal).

-Privilégier le dénombrement par construction de collections équivalentes (les doigts sont interchangeables).-Proposer d’autres outils que les doigts. -Entraîner les élèves à simuler mentalement ce que l'enseignant fait.

Travailler sur la décomposition du nombre

-Utiliser les albums à calculer de Brissiaud
-Album à compter « les 10 petits déménageurs »
-Fabriquer son propre album à compter (style « et si on comptait.. »)
- Observer les différentes constellations..
-Jeux: la course aux couleurs, le 1er qui, la marchande de couleurs…
-Matériel: cubes, cartes à points, etc…
-Situations problèmes amenant à la décomposition du nombre

Proposer des situations problèmes portant sur les quantités (ajout, retrait, comparaison, échanges).

-Jeux, la bataille, la marchande..
-Rallye maths de Emprin
-Rallye Coop 54 : photos problèmes

Situation de classe avec un problème: on note ici les différentes représentations des cerises proposées par l'enseignant: des vraies cerises dans un vrai panier, des cubes figuratifs, des nombres. La situation est mimée, puis dessinée au tableau afin de donner le maximum de visibilité aux élèves.

Jeux Hoptoys à télécharger

Règle : Ce jeu se jour en plusieurs manches. Chaque joueur pioche des dominos : 12 pour 2 joueurs, 8 pour 3 joueurs. Le premier joueur doit poser en une seule fois le maximum de dominos en respectant la règle classique. Lorsqu’il a terminé, les autres joueurs en font autant. Chaque joueur totalise ensuite le nombre de points sur les dominos non joués. Le premier arrivé à 30 est le perdant.

Domino hongrois

Règle: phase de mises : Chaque joueur place 1 jeton sur le 10 de carreau, 2 sur le Valet de trèfle, 3 sur la dame de pique, 4 sur le roi de cœur, 5 sur le 7 de carreau : le nain jaune Phase de jeu : Les joueurs doivent se débarrasser de leurs cartes en créant des suites. Le premier joueur joue sa suite et annonce lorsqu’il s’arrête, la carte manquante, par exemple : « sans 7 ». Le joueur suivant repart alors du 7 et ainsi de suite. Le joueur qui place le roi recommence une nouvelle suite d’où il le souhaite. Lorsqu’un joueur pose une carte du plateau de mises, il l’annonce et remporte la mise correspondante. S’il oublie l’annonce ou si la carte lui reste dans les mains en fin de partie, il devra remettre sur la carte autant de jeton qu’il en aurait pris. La partie se termine lorsqu’un joueur s’est débarrassé de toutes ses cartes.

Le nain jaune

Matériel: un plateau comportant 9 plaques numérotées de 1 à 9 Règle: Chaque joueur joue individuellement. Après un lancer de 2 dés, l’enfant retourne les plaques dont les écritures correspondent au tirage, soit en décomposant les points des deux dés, soit en les additionnant. Par exemple un élève qui fait 4 et 3 peut abaisser le 7, 4 et 3, 5 et 2, 6 et 1, 4 et 2 et 1… Lorsqu’il ne peut plus jouer, la somme des nombres des plaques non retournées est comptabilisée. Le gagnant est celui qui a abaissé toutes ses plaques ou qui le moins de points

Fermer la boîte

Matériel : la cage, 2 dés, 20 jetons par joueurs Règle : Le joueur jette les deux dés et totalise les points: - Si la case correspondante est vide : il la remplit d’autant de jetons.- Si la case est pleine, il ramasse les jetons. Exception: - Sur la case 7, il faut toujours déposer des jetons (ils s’accumulent) - 2 et 12 : on récupère tous les jetons de la case puis on relance les dés. Si on fait à nouveau 2 ou 12, il faut alors déposer un jeton dans chacune des cases.

La cage

Règle: 2 dés Chaque joueur écrit sur une feuille les nombres de 2 à 12. Le joueur lance les 2 dés qu’il additionne et barre le nombre correspondant. Il rejoue jusqu’à obtenir un nombre déjà barré. Il passe alors les dés au joueur suivant. Le gagnant est le premier joueur qui a barré tous ses nombres.

Le 12 barré

1 dé Règle: Chaque joueur lance le dé et barre sur son cœur le nombre obtenu. Si ce nombre est déjà barré, il l’offre à son voisin ou au suivant si le premier l’a déjà barré… Le gagnant est le premier joueur qui a rayé tous ces nombres

Le grand coeur

Matériel : 12 cartes, cartes de 1 à 4 de 3 couleurs Règle: 3 joueurs Distribuer 2 cartes à chaque joueur. Il reste une pioche de 6 cartes. Chaque joueur compte les points des cartes qu’il a en main. Il y a plusieurs possibilités : le joueur compte 5, il ne demande pas d’autres cartes et dit « servi » le joueur a plus que 5, il ne demande pas d’autres cartes et dit « servi » le joueur a moins de 5 ; il peut demander « carte » et espérer s’approcher le plus possible de 5 ou obtenir 5 ou il peut estimer qu’il ne peut pas faire mieux et espère être le plus près du nombre 5. Le gagnant est celui qui a obtenu 5 ou celui qui est le plus proche de 5.

Le black Jack

Matériel : 10 cartes, de 1 à 5 dans 2 couleurs puis ajouts progressifs Règles: Placer sur le plateau deux rangées de 5 cartes, dos visible et de manière aléatoire. Le premier joueur retourne une carte de son choix, la regarde et la range à la bonne place. Par exemple, s’il a tiré le 4 de trèfle, il le posera sur la quatrième case de la première ligne, tout en récupérant la carte cachée à cet endroit. Il continuera à jouer avec cette carte de la même manière et ainsi de suite jusqu’à ce qu’il tombe sur un « trou » laissé par la carte qu’il a retirée au début. Alors le deuxième joueur tirera une carte au choix et jouera de la même façon. Et ainsi de suite jusqu’ à ce qu’il ne reste plus aucune carte à retourner. La partie est gagnée par celui qui aura retourné la dernière carte.

La réussite à 2

Le jeu des cochons

Règle: Chaque joueur lance simultanément les 2 cochons et note le nombre de points correspondant à la figure obtenue. Il peut rejouer autant de fois qu’il le souhaite au risque de tout perdre. Le premier joueur qui totalise 100 points a gagné.

Ressources

construction du nombreà la maternelle

Activités mathématiques ritualisées

Travailler la bande numérique

Découvrir les nombres et leurs utilisations

Olivier Houdé Apprendre à inhiber

Guides Eduscol

christelle.le-ruyet1@ac-versailles.fr

Ce GEnially comptera pour 4h au lieu des 2h prévues initialement