CARTE CONCEPTUELLE PROBLÈMES MATHÉMATIQUES

pour CATÉGORISER les

problèmes mathématiques

CARTE CONCEPTUELLE

La conceptualisation est une perspective abstraite et simplifiée de la connaissance que nous avons du "monde", et que, pour quelque raison, nous voulons représenter. Cette représentation est notre connaissance du “monde”, dans laquelle tout concept est exprimé en termes de relations verbales avec d'autres concepts et avec ses exemples “du monde réel” (relations d'attribut, etc., non nécessairement hiérarchiques), et avec des relations hiérarchiques (la catégorisation, ou assignation de l'objet à une catégorie) multiples (l’objet appartient à plusieurs hiérarchies en même temps, ce qui élimine totalement l'aspect exclusivement hiérarchique de la conceptualisation). Conceptualiser peut donc être compris comme “le développement ou la construction d'idées abstraites à partir de l'expérience : notre compréhension consciente (non nécessairement vraie) du monde”. Une carte conceptuelle (ou un réseau sémantique) ou une base de connaissance, ou une ontologie (toutes des associations logiques et cognitives de données), sont des expressions concrètes, explicites (que l'on peut gérer aussi par ordinateur) de la conceptualisation.

Présentation réalisée par Pierre DELENGAIGNEEnseignant Circonscription Béthune 3 - Académie de Lille - France

aller plus loin

Catégorisation de Vergnaud

Catégorisation de C. Houdement

Sources : Houdement & Vergnaud

BASIQUES

composition

COMPLEXES

comparaison

ATYPIQUES

transformation

Une étape - sans information superflue - syntaxe simple

Plusieurs étapes composées de problèmes basiques

Pas de modèle identifiable : il faut faire preuve de créativité.

proportionalité

CARTE CONCEPTUELLE DES PROBLÈMES MATHÉMATIQUES

La conceptualisation est une perspective abstraite et simplifiée de la connaissance que nous avons du "monde", et que, pour quelque raison, nous voulons représenter. Cette représentation est notre connaissance du “monde”, dans laquelle tout concept est exprimé en termes de relations verbales avec d'autres concepts et avec ses exemples “du monde réel” (relations d'attribut, etc., non nécessairement hiérarchiques), et avec des relations hiérarchiques (la catégorisation, ou assignation de l'objet à une catégorie) multiples (l’objet appartient à plusieurs hiérarchies en même temps, ce qui élimine totalement l'aspect exclusivement hiérarchique de la conceptualisation). Conceptualiser peut donc être compris comme “le développement ou la construction d'idées abstraites à partir de l'expérience : notre compréhension consciente (non nécessairement vraie) du monde”. Une carte conceptuelle (ou un réseau sémantique) ou une base de connaissance, ou une ontologie (toutes des associations logiques et cognitives de données), sont des expressions concrètes, explicites (que l'on peut gérer aussi par ordinateur) de la conceptualisation.

Cliquer sur les zones bleues pour voir des exemples.

Typologie des problèmes mathématiques : LES BASIQUES

composition

composition

CP : Dans un bouquet, il y a 8 roses et 7 iris. Combien y a-t-il de fleurs ?

?

?

exemples

MS : Maïté a 3 images. Mohamed a 1 image. Combien ont-ils ensemble d’images?

CM1 : De Paris à Bourges il y a 230km. De Bourges à Montluçon il y a 92 km. Quelle distance sépare Paris de Montluçon ?

CM1 : Dans une salle de spectacle, il y a 1 200 places. 896 places sont occupées.Combien de places sont inoccupées ?

CP : Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes.Combien Léo a–t–il de billes ?

PS : Voici ma main, voici mes doigts. J'en montre 3. Combien de doigts sont cachés?

MS : Maïté a 3 images. Mohamed a 1 image. Combien ont-ils ensemble d’images? 341

CP : Dans un bouquet, il y a 8 roses et 7 iris. Combien y a-t-il de fleurs ? 8157

CM1 : De Paris à Bourges il y a 230km. De Bourges à Montluçon il y a 92 km. Quelle distance sépare Paris de Montluçon ? 23032292

PS : Voici ma main, voici mes doigts. J'en montre 3. Combien de doigts sont cachés? 352

CP : Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a–t–il de billes ? 8179

CM1 : Dans une salle de spectacle, il y a 1 200 places. 896 places sont occupées. Combien de places sont inoccupées ? 8961200304

Typologie des problèmes mathématiques : LES BASIQUES

exemples

transformation

transformation

transformation

?

?

?

MS : Il me reste 5 ballons. J'en ai prêté 2 à la classe des grands. Au départ, j'en avais combien?

PS : Charles a 5 bonbons dans son sachet. Il en mange 2. Combien lui reste-t-il de bonbons?

GS : J'ai 7 images maintenant. Hier j'en avais 4. Combien j'en ai gagnées?

CP : Je suis sur la case 17, je recule de 5 cases. Où vais-je arriver ?

CE1 : J’avance de 12 cases et j’arrive sur la 17.D’où suis-je partie ?

CE2 : J’avais 17 billes au début de la partie et maintenant, j’en ai 34. Combien en ai-je gagné ?

CM1 : Le réservoir de ma voiture est plein : il contient 60 litres. Au cours d’un voyage, j’ai consommé 49 litres. Combien reste-t-il d’essence dans mon réservoir ?

CM2 : Il faut 756 mètres de grillage pour encadrer la cour de l’école. On n’en possède que 418 mètres. Combien de mètres de grillage doit-on encore acheter ?

CM2 : J’achète un sweat-shirt en solde qui coûte 29 €. La remise était de 10 €. Combien coûtait le sweat-shirt avant les soldes ?

PS : Charles a 5 bonbons dans son sachet. Il en mange 2. Combien lui reste-t-il de bonbons? - 253

CP : Je suis sur la case 17, je recule de 5 cases. Où vais-je arriver ? - 51712

CM1 : Le réservoir de ma voiture est plein : il contient 60 litres. Au cours d’un voyage, j’ai consommé 49 litres. Combien reste-t-il d’essence dans mon réservoir ? - 496011

MS : Il me reste 5 ballons. J'en ai prêté 2 à la classe des grands. Au départ, j'en avais combien? - 275

CE1 : J’avance de 12 cases et j’arrive sur la 17. D’où suis-je partie ? + 12517

CM2 : J’achète un sweat-shirt en solde qui coûte 29 €. La remise était de 10 €. Combien coûtait le sweat-shirt avant les soldes ? - 103929

GS : J'ai 7 images maintenant. Hier j'en avais 4. Combien j'en ai gagnées? + 347

CE2 : J’avais 17 billes au début de la partie et maintenant, j’en ai 34. Combien en ai-je gagné ? + 171734

CM2 : Il faut 756 mètres de grillage pour encadrer la cour de l’école. On n’en possède que 418 mètres. Combien de mètres de grillage doit-on encore acheter ? + 338418756

Typologie des problèmes mathématiques : LES BASIQUES

exemples

comparaison

comparaison

?

?

CP : J’ai 25 voitures, j’en ai 5 de plus que ma sœur. Combien en a-t-elle ?

CM1 : Dans un magasin, un jouet vaut 24 €. Il vaut 65 € dans un autre magasin.De combien est-il plus cher dans le 2ème magasin ?

CM2 : Dans le club du village, il y a 32 basketteurs. Ils sont 19 de moins que les footballeurs. Combien y a-t-il de footballeurs ?

CE1 : Mon ballon vaut 13 € dans un magasin et 22 € dans un autre. De combien est-il plus cher dans le 2e magasin ?

MS : Julie a 3 images, Pierre a 5 images. Il en a combien en plus?

MS : Julie a 3 images, Pierre a 5 images. Il en a combien en plus? 3+ (5 - 3) = + 25

GS : Il y a 5 élèves de plus chez les moyens que dans notre classe de 20 enfants. Combien y-a-t-il d'élèves chez les moyens?

MS : Julie a 3 images, Pierre a 5 images. Il en a combien en plus? 3+ 2 = 5 - 35

CE1 : Mon ballon vaut 13 € dans un magasin et 22 € dans un autre. De combien est-il plus cher dans le 2e magasin ? 13+ 9 = 22 - 1322

CM1 : Dans un magasin, un jouet vaut 24 €. Il vaut 65 € dans un autre magasin. De combien est-il plus cher dans le 2ème magasin ? 24+ 41 = 65 - 2465

GS : Il y a 5 élèves de plus chez les moyens que dans notre classe de 20 enfants. Combien y-a-t-il d'élèves chez les moyens? 20+ 525

CP : J’ai 25 voitures, j’en ai 5 de plus que ma sœur. Combien en a-t-elle ? 20- 525

CM2 : Dans le club du village, il y a 32 basketteurs. Ils sont 19 de moins que les footballeurs. Combien y a-t-il de footballeurs ? 51 footballeurs- 1932 basketteurs

Typologie des problèmes mathématiques : LES BASIQUES

exemples

CM1 : 4 boites d’œufs contiennent 24 œufs. Combien d’œufs trouve-t-on dans 6 boites ?

CE1 : J’ai 5 sacs de 32 billes. Combien ai-je de billes ?

GS : Trois enfants se partagent 9 bonbons. Combien chaque enfant aura de bonbons?

proportionalité simple

proportionalité simple composée

proportionalité double

CE1 : Je monte un escalier de 25 marches 4 fois par jour. Combiende marches montées en 5 jours ?

MS : A l'école, si je mets un masque le matin et un autre l'après midi. Combien de masques faut-il préparer pour ma semaine d'école?

CM2 : J’ai 14 cartons d’œufs. Chaque carton contient des boîtes de 18 œufs. Il y a 2016 œufs en tout. Combien y a-t-il de boîtesd’œuf dans chaque carton ?

CM2 : Un groupe a passé 12 nuits dans un hôtel et a payé 23184€. Une chambre coûte 21€ par nuit et par personne. Combien y a-t-il de personnes dans ce groupe ?

CE1 : Une chambre d’hôtel coûte 25€ par personne et par nuit. 5 personnes passent 10 nuits dans cet hôtel. Combien le groupeva-t-il payer ?

GS : Il y a 2 biscuits dans chaque sachet. Je prends deux sachets chaque jour quand je vais à l'école. Combien de biscuits je mange à l'école par semaine?

CE1 : Je monte un escalier de 25 marches 4 fois par jour. Combien de marches montées en 5 jours ? joursfoismarches1251454x5 = 2020 x 25 = 500

GS : Trois enfants se partagent 9 bonbons. Combien chaque enfant aura de bonbons? Groupe = 3 enfants9 bonbons1 enfant3 bonbons

CE1 : J’ai 5 sacs de 32 billes. Combien ai-je de billes ? x321 sac32 billes5 sacs160 billes

CM1 : 4 boites d’œufs contiennent 24 œufs. Combien d’œufs trouve-t-on dans 6 boites ? x 241 boîte24 oeufs6 boîtes144 oeufs

MS : A l'école, si je mets un masque le matin et un autre l'après midi. Combien de masques faut-il préparer pour ma semaine d'école? joursfoismasques1112244 x 2 = 8

CM2 : J’ai 14 cartons d’œufs. Chaque carton contient des boîtes de 18 œufs. Il y a 2016 œufs en tout. Combien y a-t-il de boîtes d’œuf dans chaque carton ? cartonsboîtesoeufs118142016 / 18 = 11220161112 / 14 = 8

CM2 : Un groupe a passé 12 nuits dans un hôtel et a payé 23184€. Une chambre coûte 21€ par nuit et par personne. Combien y a-t -il de personnes dans ce groupe ? 12 nuits23184 euros pour le groupe1 nuit23184 / 12 = 1932 euros pour le groupe1 nuit = 21 euros par personne1932 / 21 = 92 personnes

CE1 : Une chambre d’hôtel coûte 25€ par personne et par nuit. 4 personnes passent 10 nuits dans cet hôtel. Combien le groupe va-t-il payer ? 1 nuit25 euros10 nuits25 x 10 = 250 eurospour 4 personnes4 x 250 = 1000 euros

GS : Il y a 2 biscuits dans chaque sachet. Je prends deux sachets chaque jour quand je vais à l'école. Combien de biscuits je mange à l'école par semaine? 1 sachet2 biscuits2 sachets par jour4 biscuits1 semaine d'école = 4 jours4 x 4 = 16 biscuits

Plusieurs étapes composées de problèmes basiques

Recherche de la composée de plusieurs transformations : « Léo a gagné 18 billes, puis il en a perdu 5. En a-t-il plus ou moins qu’au départ? Et combien? »

Typologie des problèmes mathématiques : LES COMPLEXES

exemples

Recherche d’une des composantes de plusieurs transformations : « Léo a gagné 18 billes. Puis il en a perdu. Il a maintenant 2 billes de moins qu’au départ. Combien a-t-il perdu de billes ? »

Les combinaisons

Pour ma maison, j’ai le choix entre 2 formes de fenêtres, 4 couleurs de murs et 6 modèlesde tuiles. Combien de combinaisons puisje faire ?

Léo a gagné 18 billes, puis il en a perdu 5. En a-t-il plus ou moins qu’au départ? Et combien? + 18- 5+ 15

Léo a gagné 18 billes. Puis il en a perdu. Il a maintenant 2 billes de moins qu’au départ. Combien a-t-il perdu de billes - 20+ 18- 2

Pour ma maison, j’ai le choix entre 2 formes de fenêtres, 4 couleurs de murs et 6 modèles de tuiles. Combien de combinaisons puis-je faire ?248X4X6

EXEMPLE

EXEMPLE

EXEMPLE

EXEMPLE

EXEMPLE

EXEMPLE

EXEMPLE

EXEMPLE

EXEMPLE

Typologie des problèmes mathématiques : LES ATYPIQUES

PS

MS

GS

CP

CE1

CE2

CM1

CM2

6°

exemples

PS - Les deux tours en Période 3 Cf Maths à grand pas p43 Objectifs : - utiliser le dénombrement pour constituer une collection de quantité égale à une collection donnée - parler des nombres à l’aide de leur décomposition Matériel : - une vingtaine de briques empilables de dimensions égales et de deux couleurs différentes - un tube opaque (type rouleau papier wc) par élève Problème : Fabriquer une tour, la cacher, puis en faire une seconde de même hauteur.

GS Les problèmes de lapins Période 2 Cf Access P54 Objectif : - résoudre un problème - trouver le complément d’un nombre à 5 Matériel : - une cagette représentant le jardin - 5 choux (feuille verte froissée) - Une boite avec couvercle pour la maison des lapins - 5 lapins - des pions - ardoise, feutre… Problème : Savoir combien de lapins sont rentrés dans le terrier.

CE1 - Source : Apprentissage à la résolution de problème Je pense à deux nombres qui se suivent. Je les additionne, je trouve 23. Quels sont ces deux nombres?

CE2 - Source d'inspiration : Aides pédagogiques pour le CM On dispose de pièces de 50 centimes, 20 centimes et 5 centimes. Peut-on constituer une somme de 5 euros avec exactement 20 pièces ?

CP - inspiré d'ERMEL -1991 Dans ma tirelire il n'y a qu'une sorte de pièces. En tout il y a 20 euros. Combien y a-t-il de pièces dans ma tirelire?

Période 4 Le train Cf Maths à grands pas P83 Objectifs : - utiliser les nombres pour exprimer la position d’un objet sur le rang. (Aspect ordinal du nombre) Matériel : - un tunnel en bois ou en carton - 8 à 12 briques identiques (couleur et taille) - 1 gommette collée sous une de des briques Problème : Retrouver un wagon d’après sa position dans la file

CIRCONSCRIPTION de BÉTHUNE 3 - Pas-de-Calais - FRANCE

ALLER PLUS LOIN SUR LA RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

MOOC