Suites Arithmétiques

Suites Arithmétiques

1 - Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

2 - Comment montrer qu'une suite est ou n'est pas arithmétique ?

3 - Comment déterminer et utiliser la formule explicite d'une suite arithmétique ?

4 - Comment calculer la somme de termes d'une suite arithmétique ?

5 - Modéliser une situation concrète par une suite arithmétique.

Crée par Cécile Bertrand - Lycée Lafayette Brioude

1 - Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme est obtenu en additionnant au terme précédent un même nombre (appelé la raison).Une suite arithmétique (un) de raison r est donc définie par son premier terme et par la relation de récurrence un+1 = un + r.

Exemples

2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ...... est une suite arithmétique de 1er terme 2 et de raison 1 10 ; 5 ; 0 ; -5 ; ...... est une suite arithmétique de 1er terme 10 et de raison -5 est une suite arithmétique de 1er terme 3 et de raison -8

(un ) est une suite arithmétique de raison 5 telle que u4 = 11.

Que vaut u5 ?

Que vaut u3 ?

Que vaut u8 ?

La relation de récurrence est un+1 = un + ......

Que vaut u28 - u27 ?

(vn ) définie par v1 = 35 et vn+1 = vn - 3,2 est une suite arithmétique de raison r = ......

A toi de jouer !

VALIDER

2 - Comment montrer qu'une suite est ou n'est pas arithmétique ?

MéthodeOn calcule les 3 premiers termes u0 ; u1 et u2.Si u1 – u0 ≠ u2 – u1 alors (un) n'est pas arithmétique.Si u1 – u0 = u2 – u1 = r alors (un) semble arithmétique.Pour le prouver, on montre que un+1 – un = r.

Exemple en vidéo

u2 - u1 u1 - u0

uo = ; u1 = ; u2 =

donc (un) arithmétique

vo = ; v1 = ; v2 =

A toi de jouer !

1. Pour tout entier naturel n : un = n2 + 1.

Complète les deux démonstrations ci-dessous :

• -11
• -2
• 7
• -9
• -4
• 0

• -9
• 1
• 7
• 9
• -7

• 7
• -11
• -2
• -9
• -4
• 0

• 5
• 0
• 1
• 2
• 3
• 4

• 2
• 0
• 1
• 3
• 4
• 5

• -9
• -18n+1
• -1
• -18n-9
• 9

• 1
• 0
• 2
• 3
• 4
• 5

• ≠
• =
• <

• -2
• -11
• 7
• -9
• -4
• 0

donc (vn) arithmétique

donc (vn) arithmétique de raison

vn+1 - vn = =

2. Pour tout entier naturel n : vn = 7 - 9n .

VALIDER

• n'est pas
• est
• semble

• est
• n'est pas
• semble

• semble
• est
• n'est pas

• 7 - 9n - 9 - 7 + 9n
• 7 - 9n + 1 - 7 - 9n
• 7 - 9n - 1 - 7 + 9n
• 7 - 9n - 9 - 7 - 9n
• 7 - 9n + 9 - 7 + 9n

3 - Comment déterminer et utiliser la forme explicite d'une suite arithmétique ?

"Formule explicite" ou "Expression de un en fonction de n"

un = u0 + nr

un = u1 + (n -1)r

(un) est une S.A de 1er terme u0 = 15 et de raison -3.

la formule explicite est un =

Que vaut u8 ?

Que vaut v4 ?

(wn) est une suite S.A telle que w6 = 30 et w11 = 34.

(vn) est une S.A de 1er terme v1 = 8 et de raison 1,5.

la formule explicite est vn =

la raison de la suite est r =

VALIDER

Que vaut w1 ?

A toi de jouer !

4 - Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

Formule

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Un jour de 1786, à l’école primaire, le professeur qui voulait occuper ses élèves pendant un moment, leur demanda d’écrire tous les nombres de 1 à 100 et d’en calculer la somme.Très peu de temps après, le jeune Carl Friedrich Gauss qui n’était âgé que de 9 ans alla le voir et lui montra sa réponse, 5050, qui était exacte.Son professeur, stupéfait, lui demanda comment il avait fait pour trouver cette réponse aussi rapidement.

1 + 2 + 3 + ...... + 33 = ?

25 + 26 + 27 + ...... + 85 = ?

30 + 33 + 36 + ...... + 264 = ?

Exemples

1 + 2 + 3 + ...... + 150 =

VALIDER

113 + 114 + 115 + ...... + 199 =

5 + 10 + 15 + ...... + 500 =

22 + 33 + ...... + 275 =

Combien faut-il de canettes pour construire une pyramide de 30 rangées de canettes ?

A toi de jouer !

5 - Modéliser une situation concrète par une suite arithmétique.

A toi de jouer !