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Conceptos, ejemplos

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RADIANES Y GRADOS

LIC. INGRY CARINA COY CHACÓN

Presentación

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ÍNDICE

SISTEMA CICLICO

RADIANES

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LONGITUD DE ARCO

EJEMPLOS

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Gracias

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HISTORIA

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RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES

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HISTORIA

UTILIDAD DE LOS ÁNGULOS

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DESDE LA ANTIGUEDAD EL ÁNGULO DE 90° O ÁNGULO RECTO SE UTILIZA EN LA CONSTRUCCIÓN DE VIVIENDAS O EDIFICIOS Y EL RADIAN EN LA FABRICACIÓN DE RUEDAS

ÁNGULOS Y RADIAN

SISTEMA CICLICO

EN UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO R, SE MARCA UN ARCO DE LONGITUD R, EL ÁNGULO CENTRAL DETERMINADO POR EL ARCO Y SUS RADIOS EXTREMOS MIDEN UN RADIAN, ESTO SE REPRESENTA COMO 1 RAD.

Observa la figura

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Analiza

Cuando el radio de la circunferencia es 1, la longitud de la circunferencia es 2π. Por lo tanto la medida angular de una rotación completa es 2π rad.

Un ángulo que gira en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, se considera positivo, mientras que si lo hace en el sentido horario, se considera negativo.

Un ángulo de π/2 corresponde a 1/4 de rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
Un ángulo de -π/2 corresponde a 1/4 de rotación en el sentido horario.

RADIANES

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Un radian (rad) es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco subtendido es igual a su radio.

Como la medida angular de una rotación completa es de 360° o 2π radianes, la relación entre grados y radianes está dada por la proporción:

(360°)/(2π rad)=(180°)/(π rad)

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RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES

Para escribir grados en radianes se multiplica (π rad)/(180°)

Para escribir radianes en grados se multiplica (180°)/(π rad)

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Ejemplos

1. Las bisagras de una puerta de seguridad tienen una apretura máxima de 60°. Expresar esta medida en radianes.

Se debe multiplicar 60° por (π rad)/(180°)

Se simplifica y finalmente la apertura máxima de la puerta de seguridad es de 1/3 π rad

2. El minutero de un reloj marca el número 3 y al cabo de un tiempo se ha desplazado 5/6 π rad. Expresar esta medida en grados.

Debemos multiplicar 5/6 π rad por (180°)/(π rad)

Simplificamos

Luego entonces el minutero hace un giro de 150°

LONGITUD DE ARCO

La longitud de un arco S comprendido por un ángulo ∅, se calcula mediante la expresión S=r∅, donde ∅ se mide en radianes (rad)

Debes tener en cuenta que las unidades de r y S deben ser iguales, las medidas de ∅ son en radianes, es una medida neutra.

Para hallar la medida del radio aplicas

r=S/∅

Si debes hallar el ángulo ∅

Aplicas ∅=r/S

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EJEMPLO

¿Qué distancia ha recorrido un patinador que se mueve desde A hasta B una pista circular representada en la figura. Si describe un ángulo de 108°?

Si la distancia recorrida por el patinador es la longitud de arco S, que corresponde al ángulo ∅.
Primero se expresa el ángulo en radianes

108°*((π rad)/(180°)) = 3/5 π rad

Se calcula la longitud de arco.

S= ∅r

S=3/5 π*25=15 π


La distancia recorrida por el patinador es 15π rad m o 47,12m

Determinar la longitud de arco que describe el Santuario delas Lajas ubicado en Ipiales-Nariño, debido al movimiento de rotación de la Tierra, pasadas 8 de las 24 horas del día.

Se debe tener encuenta que el radio promedio de la Tierra es 6371 Km.

Como debemos hallar la longitud de arco, se debe conocer el ángulo en radianes que describe el Santuario desde su posición inicial hasta su posición final transcurridas las 8 horas.

En ese tiempo la Tierra realiza 8/24 de vuelta, es decir 1/3 de vuelta.

Aplicamos regla de tres
1 vuelta 2π
1/3 de vuelta ∅

Se aplica la expresión S= ∅r para hallar la longitud de arco que describe el Santurario de las Lajas, transcurridas las 8 horas.

EJEMPLO

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¡GRACIAS!

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