curvas cónicas

Introducción y definiciones

la elipse

trazados por puntos

otros métodos

tangente desde un punto

diámetros conjugados

tangente en una dirección

la parábola

trazados

la hipérbola

intersecciones

trazados

propiedades de las cónicas

tangentes y normales

curvas cónicas

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curvas cónicas: definición y elementos

elipse

hipérbola

parábola

elipse

trazados

focos

trazados

c

trazados

Construcción dados los diámetros conjugados: Del mismo modo que una circunferencia vista en perspectiva es una elipse, dos diámetros perpendiculares aparecerán con un ángulo diferente, y serán diámetros conjugados. Los diametros conjugados son centros de las cuerdas paralelas al otro diámetro, por lo que si se tratara de una circunferencia serían los diámetros perpendiculares. Si imaginamos que el conjugado del menor era antes del mismo tamaño y perpendicular al mayor, podemos aplicar el supuesto desplazamiento de sus extremos (C' =C, D'=D) al resto de los puntos de una circunferencia inicial. También podemos inscribir los diámetros conjugados en un romboide de lados pa ralelos a ellos y aplicar el método de cruce de proyecciones.

parábola

Es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro punto y de una recta (Foco y recta Directriz). Puede compararse a una elipse en la que uno de los focos se desplaza al infinito. La recta Directriz corresponde a la circunferencia focal.

Puede construirse cortando con arcos desde el foco rectas paralelas a la directriz, tomando como radio la distancia a ésta de cada una de las paralelas. También por cruce de proyecciones si conocemos el eje, el vértice y un punto P de la curva, o definirla uniendo el foco con distintos puntos de la tangente principal y trazando desde estos puntos rectas perpendiculares, que serán tangentes a la curva.

trazados

La Hipérbola es una curva plana, abierta y con dos ramas. Es el lugar geométrico de los puntos de los que la diferencia de distancias a otros dos fijos es constante. También es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a otra dada que pasan por un punto exterior a ésta, o de los puntos que equidistan de una circunferencia y de un punto exterior. La medida nominal del eje mayor sigue siendo la distancia entre los vértices A e B de la curva. Las asíntotas son las tange ntes de la curva en el infinito.

hipérbola

Dependiendo de los datos, su construcción se hace por métodos esencialmente iguales a los empleados en las otras curvas cónicas.

trazados

Cualquier recta trazada desde un foco a una elipse será reflejada en dirección al otro foco. En la parábola todos los reflejos serán paralelos al eje. Así, las antenas parabólicas permiten la emisión o recepción unidireccional de las ondas. tx a a F e En la hipérbola, los reflejos formarán un haz divergente polarizado por el foco contrario. Las estructuras convexas basadas en curvas cónicas presentan una muy buena resistencia a las presiones exteriores, siendo utilizadas, entre otras cosas, en la construcción de arcos y puentes.

propiedades de las curvas cónicas

tangente y normal

Tangente y normal en un punto P de la curva: son las bisectrices de los ángulos producidos por las rectas que pasan por P y por cada uno de los focos. Su posición en la Hipérbola es inversa que en la Elipse. En la Parábola se considera el segundo foco en el infinito.

tangentes desde un punto exterior

Trácese una circunferencia con centro en E que pase por uno de los focos, y la circunferencia focal con centro en el otro (recta Directriz, en la Parábola). Las rectas tangentes son las mediatrices de los segmentos definidos por cada intersección entre los dos arcos y el primer foco. Los puntos de tangencia están alineados con los de intersección y el centro de la circunferencia focal.

tangentes paralelas a una dirección

Tangentes paralelas a una dirección dada: Trácese por un foco una perpendicular a la dirección dada, y la circunferencia focal con centro en el otro foco. Las tangentes (una en el caso de la Parábola) y los puntos de tangencia quedan definidos de la misma manera que en el caso anterior.

intersección de recta con elipse

Se conocen el eje AB y los focos F1 y F2 de la elipse, así como la recta secante r. Mediante una perpendicular, se localiza el simétrico del foco F1 respecto de la recta: F’1, Se traza una circunferencia que pase por los dos puntos simétricos con centro en cualquier punto P de r, con tal que corte a la focal de F2. Se traza el eje radical de ambas pasando por los puntos de corte, y se localiza en centro radical donde corte a la prolongación de F1 F’1. Se une el centro Cr con F2 y desde el punt o medio M se traza una tercera circunferencia que corta a la focal en los puntos 1 y 2. Uniendo cada uno de ellos con F2, se obtienen en r las intersecciones I1 e I2. Un método algo más breve consiste en escoger cualquier punto C en la recta F1 F’1 y trazar la circunferencia de diámetro F2 C. Las mediatrices de los segmentos F’1 1 y F’1 2 dan en la recta r los puntos de intersección

Intersección de recta con hipérbola

Se conocen el eje AB y los focos F1 y F2 de la hipérbola, así como la recta secante r. Mediante una perpendicular, se localiza el simétrico del foco F1 respecto de la recta: F’1, Se traza una circunferencia que pase por los dos puntos simétricos con centro en cualquier punto P de r, con tal que corte a la focal de F2. Se traza el eje radical de ambas pasando por los puntos de corte, y se localiza en centro radical donde corte a la prolongación de F1 F’1. Se une el centro Cr con F2 y desde el p unto medio M se traza una tercera circunferencia que corta a la focal en los puntos 1 y 2. Uniendo cada uno de ellos con F2, se obtienen en r las intersecciones I1 e I2.

Intersección de recta con parábola

Se conocen el eje e de una parábola, el foco F y la recta directriz d, así como la recta secante r. Mediante una perpendicular, se localiza F’, simétrico de F respecto de r, y se prolonga hasta cortar la directriz en P. Se traza una circunferencia con centro en C que tiene como diámetro P’, así como la cuerda perpendicular A B que pasa por F. Con centro en P se traza otra circunferencia que pase también por A y B, que corta a la directriz en los puntos 1 y 2. Trazando por ellos paralelas al ej e tendremos en r los puntos de intersección.