Grandeurs et mesures CE2/CM1/CM2

GrandeursetMesures

Groupe de réflexion

Circonscription Meaux-villenoy

Apports didactiques

Vidéo

Manipuler et donner du sens

Exemples d'activités

Partage de pratiques

Différentes approches

Grandeurs et mesures

Céline Mousset est docteur en sciences mathématiques. Après avoir été assistante pendant une dizaine d’années en faculté de sciences de gestion à l’UMons, elle enseigne depuis plus de 12 ans en formation initiale des instituteurs primaires à la HELHa (Mons). Elle est membre des Mathophiles, du GEM et du CRIPEDIS (groupes d’échanges et de recherche autour de l’enseignement des mathématiques).

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Si vous aimez réfléchir...

Nous avons deux tasses de même capacité. La première est remplie par le lait et la deuxième est remplie par le café.On ajoute une cuillère de la tasse de lait dans la tasse de café. Après avoir mélangé, on prend une cuillère de cette tasse de café et on la verse dans la tasse de lait.Aura-t-on plus de lait dans la deuxième tasse, qu'on aura de café dans la première ?

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Didactiques

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Vocabulaire

Une grandeur est une caractéristique d'objets (ou de phénomènes) qu'il est possible de comparer et de quantifier. Une mesure est l'expression de cette grandeur à l'aide d'un nombre et d'une unité étalon. Mesurer c’est aussi dénombrer / calculer.

Obstacles

2) L'estimation d'une mesureDifficultés à trouver la bonne unité parmi les unités et sous-unités de la grandeur : Difficultés à donner un ordre de grandeur : Lorsqu’elle est abordée trop tôt ou trop rapidement, la mesure s’érige en obstacle à la perception de la grandeur qu’elle est censée représenter.

Le point de Thomas Barrier

Enseignant à l’Éspé Lille – Nord de France Membre du Laboratoire de mathématiques de Lens

Matrice d’apprentissage en grandeurs et mesures

Les attendus

Comment aider les élèves à se détacher du perceptif ? Comment donner des repères aux élèves, comment construire des références ? Comment travailler les relations entre les unités ? Quand introduire le tableau de conversion ? Faut-il le construire progressivement avec les élèves ?

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Exemples d'activités

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Les angles

Le géoplan

Problèmes sans texte

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Le concept d'angle

« J’ai remarqué que jusqu’au début ils sont égaux mais après l’angle C est plus grand ».

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Une approche originale

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Le concept d'angle

Des enfants vont traverser la rue alors qu’ils ne sont pas visibles d’un véhicule qui double un bus en stationnement. Les élèves doivent analyser cette situation. Demander aux élèves ce qu'ils en pensent .Faire émerger un débat aboutir à la formulation du problème : « Que voit-on quand on a un obstacle devant les yeux ?».

Problème à résoudre Quelle est la zone cachée quand on est devant un obstacle ? Les élèves émettent des hypothèses puis trouver un moyen de valider ou pas.

Suite

Hypothèse 1: effet bande Hypothèse 2: correct Hypothèse 3 : Zone délimitée par lignes obliques passant par les bords de l'écran mais ne passant pas par l'observateur Hypothèse 4: zone non rectiligne

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Le concept d'angle

Expérimentation

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Situation problème

Est-ce que la zone cachée est la même partout, plus grande ou plus petite ?

La machine à coder

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Avec des mesures usuelles

Le passage aux unités usuelles apparait dans la nécessité de communiquer avec des références communes.

Apprendre à mesurer

Mesurer ?

Mesurer, c'est dénombrer : c’est sectionner la grandeur en morceaux égaux (l’unité) qui seront dénombrés, ce dénombrement pouvant ensuite être confirmé par un instrument de mesure. Mesurer = associer chaque grandeur à un nombre. La mesure permet de : - Communiquer sur la grandeur, grâce aux nombres. - Fabriquer un objet dont la grandeur est donnée par un nombre rapporté à une unité. - Comparer des objets selon une grandeur en leur attribuant un nombre ou en utilisant les encadrements entre 2 nombres, ces nombres étant rapportés à une unité.

Estimer

Trouver ce qui mesure à peu près 1 m dans l’école, ce qui équivaut à une masse de 1 kg, ce qui correspond à 1l,… Trouver ce qui mesure à peu près 10 m dans l’école, ce que représente l’aire d’une salle de classe (quelques m2). Mesurer la longueur d’un tour de terrain de sport (m, dam). Estimer l’aire du terrain (m2, dam2). Mesurer la distance si on fait 5 tours (km).

Les activités de mesure proposées traditionnellement aux élèves ne sont pas réalisées dans des situations d’action (l’élève doit raisonner sur des situations représentées) et amènent trop rapidement à des problèmes d’opération sur les nombres.

Mesurage à partir d'un étalon.

Effectuer un mesurage avec des étalons imposés. Mesurer la contenance de divers récipients avec l’un des étalons (bouteille de 1 l, 1 dl).

Comparaison avec mesurage (par rapport à une unité donnée)

Comparaison avec mesurage (par rapport à plusieurs unités données)

Comprendre que pour des besoins de communication une unité de référence doit être choisie (nécessité d'une unité commune).

Proposer des situations réelles (émission – réception)

Établir des relations entre les unités usuelles

Ex. : paver un carré de 1 dm de côté avec des carrés d'aire 1 cm2 pour construire la connaissance de la relation entre le dm2 et le cm2.

Classer les aires du tangram par rapport à une surface donnée. -Superposition-Découpage-Quadrillage …

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Donner du sens à la grandeur...

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S'appuyer sur la manipulation d'objets pour percevoir les grandeurs. Distinguer une grandeur par rapport à une autre.

En manipulant faire distinguer la grandeur aire de la grandeur périmètre. Cette distinction s’opère d’abord, avant même que la mesure n’intervienne, par comparaison d’aires de surfaces planes par : - Superposition - Décomposition - Recomposition de celles-ci sans perte, ni chevauchement

Comparer (directement ou indirectement), ordonner des grandeurs

Comparer avant de mesurer: Il est utile de « comparer, sans devoir quantifier ». Pour la grandeur "aire", on peut comparer deux surfaces et voir celle qui est la plus étendue, qui prend le plus de place sur la feuille, essayer de faire rentrer une surface dans une autre... Les problèmes de comparaison doivent s’apparenter à ce que vivent les élèves au quotidien, afin d’illustrer de la meilleure manière qui soit les notions concernant les grandeurs.

Estimer et vérifier: Notre perception peut être trompée. Il faut toujours vérifier.

Passer par les instruments comme des fausses équerres par exemple, pour comprendre ce qu’est un angle.

Au cycle 3, la notion d’angle peut être abordée comme « l’ouverture » définie par deux demi-droites de même origine. Les élèves doivent comprendre que l’angle ne change pas lorsque l’on prolonge ces demi-droites alors que visuellement la portion de plan définie est différente.

Comparaison indirecte (sans mesurage) Transitivité : on peut déduire que le pichet C est plus lourd que le verre B sans pratiquer la dernière pesée.

Comparaison indirecte (sans mesurage mais avec outil intermédiaire)

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Progression autour de la grandeur aire

Suite

Etape 1 : Les premières résolutions s’appuient sur des manipulations qui permettent de distinguer l’aire d’autres caractéristiques attachées aux objets, comme le périmètre par exemple. Cette distinction s’opère d’abord, avant même que la mesure n’intervienne, par comparaison d’aires de surfaces planes par : - Superposition - Décomposition - Recomposition de celles-ci sans perte, ni chevauchement

Etape 2 : comparaison de surface plane sur fond de quadrillage Les carreaux ne sont pas là pour être dénombrés mais pour identifier des formes complémentaires ou égales.

Etape 3 : choix d’une surface de référence qui va servir d’étalon dont l’aire sera prise comme unité de base. Les élèves pourront donc établir des rapports entre cette unité et l’aire des surfaces planes. Ce n’est seulement qu’à cette étape que les unités d’aires conventionnelles sont introduites.

L’objectif est que les élèves comparent sans quantifier, sans mesurer la grandeur de chaque objet. Les élèves vont classer et ranger les objets, selon la grandeur choisie, ici l’aire. Des actions vont permettre d’effectuer ce travail. Pour ranger et classer les objets en fonction de leur aire, les élèves vont juxtaposer, superposer, découper, plier.

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Progression autour de la grandeur aire

Suite

1) Estimation perceptible (aborder le fait qu'un objet peut avoir plusieurs grandeurs)Consigne : « Quelle est la figure la plus petite ? Quelle est la figure la plus grande ? » les élèves cherchent à répondre à cette question sans que l’enseignant ne la précise davantage. Ils n’ont pas le droit de découper les rectangles à cette étape. Les élèves peuvent interpréter cette consigne de différentes manières, en comparant les longueurs, l’encombrement, le périmètre ou l’étendue (l’aire).Les comparaisons par estimation perceptive seront rejetées comme imprécises ainsi que celles de couples de dimensions. Pourront être retenues, les comparaisons de longueurs (les plus grands côtés), de périmètres (ou demi-périmètre), d’aires (par comparaison directe ou découpage-recomposition). On aboutira au constat que le rangement n’est pas le même selon le critère retenu et que par conséquent la consigne donnée n’était pas assez précise.

2) Isoler la grandeur « aire » et comprendre à quoi elle correspond(comparaison directe par superposition)« Audrey a le rectangle A, Bastien le B et Caroline le C. Quel enfant a le plus de papier ? Quel enfant a le moins de papier ? »Les rectangles pourront être effectivement découpés pour constater les inclusions. L’enseignant conclut l’activité en introduisant le mot «aire» en lien avec la quantité de papier. « Caroline a le moins de papier, le rectangle C a la plus petite aire ».

3)Comparaison indirectes par manipulation (Développement de la compréhension : superposition, décomposition, recomposition)

Quel est le motif qui permet de remplir entièrement la surface A sans qu'il nous reste du papier ?

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Progression autour de la grandeur aire

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4) Manipulation de figures géométriques et première utilisation d’un étalon de référenceConstruction de surfaces: « Dessine ou construis des surfaces qui ont pour aire le double de celle de ce carré .»

5) Introduction d’un quadrillage : mise en place d’un étalon « Vous devez comparer l’aire de chaque figure avec celle de la figure A » Les élèves repèrent les figures:- ayant la même aire - ayant une aire plus grande - ayant une aire plus petite Mesurer l’aire d’une figure avec plusieurs unités. Cela permet de comprendre que la mesure dépend de l’unité choisi.

Comment faire évoluer une situation ?

Dans la 1ère étape, l’absence de quadrillage présente un obstacle pour identifier les propriétés géométriques des figures ; on peut s’attendre à ce que les élèves n’associent que peu de surfaces ayant la même aire.

L’apport d’un fond quadrillé pour la 2ème étape permettra une vérification des éventuels résultats obtenus à l’étape 1, et fera apparaitre les propriétés géométriques des parties composantes de certaines figures

Les mailles du quadrillage apparaissent à l’intérieur des figures. Ceci devrait faciliter l’achèvement de la tâche de comparaison

Mettre les élèves en situation de dépasser la seule perception visuelle pour comparer des surfaces suivant leur aire, de différencier les notions d’aire et d’encombrement et de mettre en œuvre l’additivité des aires dans les opérations de découpage et de recomposition.

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Les figures se font vite et sont géométriquement parfaites. Plusieurs essais possibles. Le passage de l'outil physique à la représentation papier se fait très naturellement. Comme l'ardoise, possibilité de validation immédiate sur de courts exercices.

Un outil: le géoplan

Inscrire une figure dans une autre figure (ex. un triangle dans un rectangle). Trouver 4 figures différentes avec une aire définie (ex. 8 carrés). Trouver 3 figures différentes ayant un périmètre de 12. Trouver une figure ayant une aire de 4 et un périmètre de 10.

A partir d'une figure donnée, chercher une autre figure ayant la même aire, le même périmètre. Calculer à l'aide du géoplan les aires de quelques surfaces polygonales à partir de l'unité carré : - par décomposition

- par complémentarité

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- par découpage-recollage

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Quelle est la couleur qui occupe le plus d'espace ? Quelle fraction représente son aire par rapport à la totalité du géoplan ?

Solution

Géoplan numérique

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Le glisse-nombre

« Les conversions s'appuient sur les relations connues entre les unités usuelles ou sur le sens des préfixes. »« Pour permettre aux élèves de donner sens aux conversions techniques, on veillera à toujours rester dans des situations proches des besoins de la vie courante. Par exemple, on peut avoir besoin de convertir 3 km en m, mais plus rarement 350 km en m, et encore moins 25 km en mm ! »

Le calcul mental

Construire le tableau de numération en lien avec la numération

Avant de faire un travail de conversion, faire un travail de décodage d'écriture. Faire le lien avec du matériel. Au préalable, les élèves ont construit des objets référents. Manipuler cette mesure avec des objets. Dans ce cas positionner 2 bouteilles représentant les décilitres. Ensuite Matérialiser le litre et sa quantité (ici 1 litre) avec une bouteille (objet référent). Faire de même pour le centilitre. Les élèves peuvent voir ce que représente cette mesure avec des objets référents. On a rendu discontinu la grandeur qui était continue pour pouvoir lui associer un nombre. Verser ensuite le tout dans le seau et il y a bien dans le seau 12,5 dl. On a décomposé cette mesure avant de la recomposer.

Utiliser le phénomène de proportionnalité inverse

Les smarties sont plus petits que les « mignonettes » donc il me faut 10 fois plus de smarties ! Plus l'unité est petite plus il en faut pour faire la même chose !

Un tableau de référence

« Il est tout à fait pertinent de faire figurer les unités dans les calculs. »

Cela permet de renforcer le sens des opérations lors de la résolution de problème, en différenciant des opérations mathématiques qui paraitraient identiques sans les unités :

« plus petit » que le m (adaptable aux autres unités de mesure comme le litre) qui va avec le décimètre, centimètre et millimètre ( le son [i], la bouche petite) et les « plus grands » que le m , décamètre, hectomètre, kilomètre associés à la grande bouche (que l’on ouvre pour prononcer le [a] ou le [o].

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Donner du sens à la grandeur

Manipuler et donner du sens

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Donner du sens à la mesure

Mesurer et calculer

Des défis à réaliser 1/2

Exemples de progression

Défi 4: Problème Dudu

Défi 2: Quel périmètre ?

Défi 3: La machine à coder

Défi 1: La croix du bucheron

• aide 2

• aide 1

Suivant

• aide

• aide

Tu vas devoir découvrir un mot caché dans le rectangle ci-dessous. Pour cela il faudra que tu traces des segments de droite qui passeront l’un après l’autre par chacune des lettres composant ce mot. Des indications vont t’être données dans la deuxième feuille. Tu pourras utiliser soit des gabarits d’angles.

Choisissez un bâtiment à l'extérieur et trouvez un moyen de connaître sa mesure de longueur !

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D'autres défis à réaliser 2/2

Défi 5: Je veux 1décigramme !

Défi 6: Quel est le plus grand contenant?

Défi 7: Combien pèse mon sac ?

Retour

• aides

Défi 8: Trouve le segment !

Vous avez une feuille de format A4. Comment avoir un morceau de feuille pesant 1 gramme puis un autre pesant 1 décigramme ? Serez-vous capable de relever le défi ?

Vous avez devant vous 5 sacs et un cintre. Sur l'un des sacs est écrit la mesure de sa masse. Vous devez découvrir la masse du sac où est écrit un point d'interrogation. Serez-vous capable de relever le défi ?

Retrouvez parmi ces segments: - celui qui mesure 1kapla 2 décikaplas - celui qui mesure 2,4 k - celui qui mesure 600 mK

• Coup de pouce 1 : "Comment calcule-t-on le volume d'un cylindre ?"

• Coup de pouce 2 : "Comment calcule-t-on l'aire d'un disque ?"

• Coup de pouce 3 : "Comment calcule-t-on la longueur d'un cercle ?

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Comparer sans mesurage afin de construire le sens de la grandeur

Déterminer combien de fois une grandeur à mesurer « contient » une grandeur référente (l’unité).

Le tableau de conversion.Changer d’unités

Calculer

Les comparaisons sans mesurage peuvent se faire soit de manière directe « d’objet à objet » soit de manière indirecte en utilisant un objet intermédiaire (bande de papier, masse servant d’étalon, autre récipient, …) ou un instrument (comme par exemple la balance à Roberval ou à fléau pour les masses et le compas pour les longueurs).

Différentes phases :

• Comparaison à l’aide de rapports simples (2/3 fois plus long/lourd/…).
• Mesure par report et comptage d’unités élémentaires (notion d’unité c’est-à-dire « une grandeur arbitraire prise comme référence pour mesurer les grandeurs de la même espèce »).

• Mesure à l’aide d’instruments où on lit (passer de l’instrument où l’on compte à celui où l’on lit, interroger le statut du repère 0 sur différents instruments, utiliser des outils tronqués) et à l’aide d’instruments usuels.
• Constitution par les élèves d’un répertoire de mesures de référence que l’on enrichit au cours des cycles.
• Estimation et encadrement de ces mesures.
• Etude des caractéristiques communes entre le système de numération et le système métrique.

Le « tableau des nombres et unités de grandeurs » doit être un outil de cohérence et de continuité des apprentissages permettant aux élèves de faire des liens et de conforter les savoir–faire de la numération aux grandeurs et mesures et réciproquement. Il est construit progressivement. Les changements d’unités sont motivés par les besoins de la vie courante lors de la résolution de problèmes pour faire sens. Ils sont aussi travaillés en calcul mental et en ligne. L’utilisation mécanique et systématique des tableaux de conversions n’est pas la méthode privilégiée.

Le calcul sans formule : faire figurer les unités dans les calculs pour donner du sens aux opérations (ex : 25 cL + 330 mL = 250 mL + 330 mL = 580 mL) et exprimer le résultat du calcul avec l’unité adaptée en se servant de son répertoire de mesures de référence construit au cours des cycles. Le calcul à l’aide de formules : celles-ci sont construites là-aussi avec les élèves en passant dans un premier temps par des mots (Longueur x Largeur) avant de passer par des lettres (Lxl).