Álgebra Lineal 1

Introducción al Álgebra Lineal

Es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y, en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales..

¿Qué es el Álgebra Lineal?

Una introducción a ciertos elementos delálgebra lineal tales como:

1. Espacios y subespacios vectoriales
2. Transformaciones lineales
3. Espacios vectoriales con producto interior
4. Vectores propios
5. Valores propios

¿Qué veremos en este curso?

O también llamados espacios lineales

Espacios Vectoriales

Como ejemplo de espacios vectoriales podemos encontrar cualquier cuerpo, matrices, polinomios, funciones trigonométricas, etc.

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Un subespacio vectorial hereda las operaciones del espacio bien definidas, por lo cual también es un espacio vectorial.

Para que sea espacio vectorial, las operaciones antes mencionadas para el conjunto deben cumplir con 8 propiedades.

Es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (suma) y una operación externa (producto por un escalar).

¿QUÉ ES UN ESPACIO VECTORIAL?

También llamadas aplicaciones lineales

Transformaciones Lineales

Toda transformación lineal es una función, pero no toda función es una transformación lineal.

Toda transformación lineal posee un núcleo (kernel) y una imagen. Además, la dimensión del dominio se puede expresar en función de la dimensión de estas dos.

Para que una aplicación sea denominada lineal debe cumplir ciertos requisitos, los cuales se les conoce como "principio de superposición"

Es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de adición entre vectores y producto por escalar.

¿QUÉ ES UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL?

Espacios vectoriales con producto interior

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido.

Si a un espacio vectorial sobre el cuerpo R o C (real o complejo) dotado de un producto interior se denomina espacio prehilbertiano.

Para que una operación sea considerada un producto interior debe cumplir con ciertas condiciones.

También conocido como producto escalar o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual longitud (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.

¿QUÉ ES EL PRODUCTO INTERIOR?

También llamadas autovectores y autovalores

Vectores y valores propios

Los autovectores de una aplicación lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por la aplicación, dan lugar a un múltiplo de sí mismos.

Los autovalores poseen una multiplicidad algebraica y una multiplicidad geométrica.

Para poder encontrar los autovalores y autovectores se utiliza el "polinomio característico".

El escalar (múltiplo) del resultado anterior se conoce como autovalor. Puede que un mismo autovalor esté asociado a más de un autovector.

¿QUÉ SON LOS VECTORES Y VALORES PROPIOS?