Plan_3e_periode3

15

16

17

18

15

Factoriser une expression littérale

16

Connaître la trigonométrie

17

Utiliser la notion de fonction

18

Prouver ou réfuter un résultat général

Mathématiques 3e

Période 3

19

Utiliser la trigo pour calculer une longueur

20

Fonctions : image d'un nombre

21

Résoudre une équation

19

20

21

Compétences évaluées dans cette séquence : P4.G23 Mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriques P4.G24 Mener des raisonnements et s'initier à la démonstrations en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations

Compétences évaluées dans cette séquence : P4.N15 Calculer avec des nombres relatifs, des fractions ou des nombres décimaux P4.N30 Développer, factoriser, réduire des expressions algébriques dans des cas très simples P4.N31 Utiliser le calcul littéral pour traduire une propriété générale (par exemple la distributivité simple), pour démontrer un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture, pour modéliser une situation

Compétences évaluées dans cette séquence : P4.N15 Calculer avec des nombres relatifs, des fractions ou des nombres décimaux P4.N30 Développer, factoriser, réduire des expressions algébriques dans des cas très simples

Compétences évaluées dans cette séquence : P4.O40 Passer d'un mode de représentation d'une fonction à un autre P4.O41 Déterminer, à partir d'un mode de représentation, l'image ou l'antécédent d'un nombre par une fonction P4.O43 Modéliser un phénomène continu par une fonction P4.O45 Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions

Compétences évaluées dans cette séquence : P4.G23 Mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriques P4.G24 Mener des raisonnements et s'initier à la démonstrations en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations

Compétences évaluées dans cette séquence : P4.O40 Passer d'un mode de représentation d'une fonction à un autre P4.O41 Déterminer, à partir d'un mode de représentation, l'image ou l'antécédent d'un nombre par une fonction P4.O43 Modéliser un phénomène continu par une fonction P4.O45 Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions

Compétences évaluées dans cette séquence : P4.N30 Développer, factoriser, réduire des expressions algébriques dans des cas très simples P4.N31 Utiliser le calcul littéral pour traduire une propriété générale (par exemple la distributivité simple), pour démontrer un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture, pour modéliser une situation P4.N32 Mettre un problème en équation en vue de sa résolution P4.N33 Résoudre algébriquement des équations du premier degré ou s'y ramenant (équations produits), en particulier des équations du type x²=a

Maths 3e - Séquence 15

Factoriser une expression littérale

Définitions

Identité remarquable

Facteur commun

Méthode en vidéo (niveau 1)

Méthode en vidéo (niveau 2)

Méthode en vidéo (niveau 1)

Méthode en vidéo (niveau 2)

Définition : Développer une expression littérale, c'est transformer un produit en une somme ou une différence. Définition : Factoriser c'est transformer une somme ou une différence en un produit. Définition : Réduire une expression littérale, c'est l'écrire sous la forme d'une somme algébrique ayant le moins de termes possibles.

Pour tous nombres a et b, on a : a² - b² = (a - b)(a + b) mais aussi : a² + 2ab + b² = (a + b)² a² - 2ab + b² = (a - b)²

Pour tous nombres k, a et b, on a : ka + kb = k (a + b) et ka - kb = k (a - b)

Maths 3e - Séquence 16

Découvrir la trigonométrie

Rappels de vocabulaire

Découverte : figure animée

Relations trigonométriques

Méthode : écrire les formules de trigonométrie

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, on définit trois rapports de longueur : * le sinus de cet angle est égal au quotient : Côté opposé à cet angle aigu Hypoténuse * le cosinus de cet angle est égal au quotient : Côté adjacent à cet angle aigu Hypoténuse * la tangente de cet angle aigu est égal au quotient : Côté opposé à cet angle aigu Côté adjacent à cet angle aigu

Dans le triangle ABC rectangle en A, on peut écrire :

Vocabulaire du triangle rectangle

Dans un triangle rectangle le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse.

[AB] est le côté opposé à l'angle ACB

[AC] est le côté adjacent à l'angle ACB

[AC] est le côté opposé à l'angle ABC

[AB] est le côté adjacent à l'angle ABC

Le triangle ABC est rectangle en A : l'angle BÂC est un angle droit.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : la somme de leur mesure est égale à 90°.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : la somme de leur mesure est égale à 90°.

Séquence 17 - Les fonctions

Introduction

Introduction

Fonctions et calculs

Fonctions et graphiques

Définitions

01

02

03

04

Calculs

Tableaux

Graphiques

01

02

03

04

06

06

Vidéos

05

Définitions

05

Vidéos

Fonctions et tableaux

01 Introduction

HOME

Introduction

01

02

03

04

Calculs

Tableaux

Graphiques

Voici un programme de calcul.

06

Définitions

05

Vidéos

Programme f- Choisir un nombre- Prendre son carré- Retrancher 5

On peut résumer le passage de 4 à 11 sous la forme d’un schéma :

Si on choisit 4 comme nombre de départ, le programme donne 11 car 4² - 5 = 16 - 5 = 11.

Essayer le programme de calcul avec le magicien

02 Définitions

HOME

Introduction

01

02

03

04

Calculs

Tableaux

Graphiques

Subtitle here

Antécédents Image

x Fonction f(x)

06

Définitions

05

Vidéos

Définition :Une fonction c'est un processus qui prend un nombre de départ (qu'on appellera "antécédent") et lui associe un nombre final (qu'on appellera "image")

Notation : f : x f(x) se lit "f est la fonction qui, à x, associe le nombre f(x).

Soit f une fonction. Si f(a) = b, alors a est un antécédent de b par la fonction f. Remarque : Un nombre peut avoir plusieurs antécédents

Soit f une fonction. Si f(a) = b, alors b est l'image de a par la fonction f. Remarque : Un nombre n'a qu'une seule image par une fonction.

03 Calculs

HOME

Introduction

01

02

03

04

Calculs

Tableaux

Graphiques

06

Définitions

05

Vidéos

On remplace x par -5 dans l'expression de la fonction.

Soit la fonction f : x 3x² - 7x + 12.Quelle est l'image de -5 par cette fonction ?

f(-5) = 3 × (- 5)² – 7 × (- 5) + 12

On effectue les calculs en respectant les priorités.

f(-5) = 3 × 25 – 7 × (- 5) + 12f(-5) = 75 + 35 + 12f(-5) = 122

On conclut : l'image de -5 par la fonction f est 122.Cel se traduit par l'égalité f(-5) = 122.

On a ainsi déterminé l'image d'un nombre par une fonction définie par une formule.

Exemple :

04 Les tableaux

HOME

Introduction

01

02

03

04

Calculs

Tableaux

Graphiques

Dans un tableau de données, on a certains antécédents et les images qui leurs correspondent.

Un antécédent n'a qu'une seule image

On ne peut rien dire à propos des valeurs qui n'apparaissent pas dans le tableau

une ligne antécédents, une ligne images

L'unique image de -2 est 16..

On ne sait rien sur l'image de 4 et 41 a peut-être plusieurs antécédents

Les images de -3 et de 3 ne sont pas forcément les mêmes

Mais 16 a au moins deux antécédents: 2 et -2

Mais une image peut avoir plusieurs antécédents

Les images de nombres opposés ne sont ni forcément opposées ni forcément égales.

06

Définition

05

Vidéos

Les tableaux ne représentent pas forcément une situation de proportionnalité !

05 Représentation Graphique

HOME

Introduction

01

02

03

04

Calculs

Tableaux

Graphiques

Définition

L'image de 1 est 3

Les antécédents de 3 sont -2, -1 et 1

06

Définitions

05

Vidéos

S'entraîner avec GeoGebra

Axe des abscisses, on y lit les ANTECEDENTS axe des "x"

Axe des ordonnées, on y lit les IMAGES axe des f(x)

Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction f est l'ensemble des points de coordonnées (x; y). tel que y = f(x). « x » se lit donc sur l'axe des abscisses (horizontal) et y (ou f(x)) se lit sur l'axe des ordonnées (vertical). Dans certains cas les valeurs lues sont exactes mais généralement ce ne sont que des valeurs approchées.

Un nombre ne peut avoir qu'une seule image. Mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents. Autrement dit, la courbe représentant une fonction ne peut jamais « retourner en arrière ». Le graphique suivant ne peut pas représenter une fonction car le nombre 1 a ici trois images différentes.

06 Méthodes en vidéo

Introduction

01

02

03

04

Calculs

Tableaux

Graphiques

06

Définitions

05

Vidéos

HOME

Déterminer l'image ou un antécédent d'un nombre :

Par le calcul

Dans un tableau

Dans un graphique

Compléter un tableau de valeurs

Tracer la représentation graphique

Maths 3e - Séquence 18

Prouver ou réfuter un résultat général

Tester une égalité

Il faut toujours calculer séparément les deux membres de l'égalité pour vérifier si elle est vraie ou non.

Rappels

Montrer qu'un résultat est toujours vrai

Pour montrer qu'une égalité est toujours vraie, il faut prouver qu'elle est vraie quelle que soit la valeur de la variable qu'elle contient. Exemple : montrer que l'égalité 5(x +1)² = 5x² + 10x + 5 est toujours vraie consiste à montrer qu'elle est vraie quelle que soit la valeur de x.

Montrer qu'un résultat n'est pas toujours vrai

Pour montrer qu'une égalité n'est pas toujours vraie, il suffit de montrer qu'elle est fausse au moins dans un cas. Un simple contre-exemple suffit à démontrer qu'elle est fausse : on cherchera alors un cas pour lequel l'égalité n'est pas vraie.

Exemple : L'égalité 3(x + 2) = 18 est-elle vraie pour x = 4 ? On remplace x par 4 dans le membre de gauche et on le calcule. 3(4 + 2) = 3 × 6 = 18 Quand x = 4, le membre de gauche vaut 18, et le membre de droite vaut 18 aussi. Donc l'égalité est vraie pour x = 4.

Exemple : Prouver que la somme de deux nombres entiers consécutifs est un nombre impair. Etape 1 : on traduit l'énoncé On appelle N le premier nombre entier. Le nombre suivant s'écrira (N + 1). Leur somme s'écrira N + (N + 1). Etape 2 : On transforme l'expression On utilise toutes les propriétés (distributivité, réduction,...) pour simplifier l'écriture de l'expression obtenue et montrer qu'elle correspond au résultat attendu. N + (N + 1) = N + N + 1 = 2N + 1 Or, si N est un nombre entier, alors 2N est un nombre pair car multiple de 2. Le nombre 2N + 1 est donc le nombre qui suit un nombre pair, c'est donc un nombre impair. On a donc prouvé que la somme de deux entiers consécutifs est un nombre impair.

Simple distributivité : k(a + b) = ka + kb Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab = b² (a - b)² = a² - 2ab + b² (a + b)(a - b) = a² - b²

Exemple : Justin affirme que (a + b)² = a² + b². A-t-il raison ? On prend une valeur arbitraire de a et de b et on calcule séparément les deux membres de l'égalité. On prend a = 1 et b = 2 * gauche : (1 + 2)² = 3² = 9 * droite : 1² + 2² = 1 + 4 = 5 On compare les deux résultats : 5 ≠ 9 On a trouvé au moins un cas pour lequel l'égalité n'est pas vraie.On a donc prouvé que l'égalité n'est pas toujours vraie.

Maths 3e - Séquence 19

Utiliser la trigonométrie pour calculer une longueur (1)

ABC est un triangle rectangle en A.AC = 6,7 cm et = 27°.Calculer AB en cm en donnant un arrondi au dixième.

ÉNONCÉ

solutionrédigÉE

FIGUREA MAIN LEVÉE

B

A

C

6,7 cm

27°

On connaît :

On cherche :

PRÉALABLE

On peut utiliser :

1

Dans le triangle ABC rectangle en A :

Donc :

a la calculatrice, on saisit :6,7×tan(27) 3,413820512

Donc : AB ≈ 3,4 cm.

l'angle ACB et le côté [AC] adjacent à cet angle.

le côté [AB] opposé à l’angle ACB

la formule de la tangente de l’angle

Valeur exacte

Valeur approchée au dixième près par défaut.

Maths 3e - Séquence 19

Utiliser la trigonométrie pour calculer une longueur (2)

ABC est un triangle rectangle en A.AC = 6,7 cm et = 27°.Calculer BC en cm en donnant un arrondi au dixième.

ÉNONCÉ

solutionrédigÉE

FIGUREA MAIN LEVÉE

B

A

C

6,7 cm

27°

On connaît :

On cherche :

PRÉALABLE

On peut utiliser :

2

Dans le triangle ABC rectangle en A :

a la calculatrice, on saisit :6,7 : COS(27) 7,519585792

Donc : BC ≈ 7,5 cm.

Donc :

l'angle ACB et le côté [AC] adjacent à cet angle.

l'hypoténuse [BC]

la formule du cosinus de l’angle

Valeur exacte

Valeur approchée au dixième près par défaut.

Maths 3e - Séquence 21

Résoudre une équation

Vocabulaire

Méthode de résolution

Propriétés

Méthode en vidéo

Tout le cours sur mathsguyon.fr

Méthode expliquée par MistR Kuma

Exemple : 5x – 6 = 4 + 3x On va d’abord regrouper les inconnues dans un seul membre : 5x – 6 – 3x = 4 + 3x – 3x 2x – 6 = 4 On va ensuite regrouper les constantes dans l’autre membre : 2x – 6 + 6= 4 + 6 2x = 10 On divise par « le nombre de x » pour « isoler x » : x = 5 La solution de l’équation est 5. Preuve : Si x = 5, on a : 5x – 6 = 5 × 5 – 6 = 25 – 6 = 19 (membre de gauche) et 4 + 3x = 4 + 3 × 5 = 4 + 15 = 19 (membre de droite)

Propriétés : On ne change pas les solutions d'une équation si : - on développe, on réduit, on factorise chacun des membres de l'équation ; - on additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l'équation ; - on multiplie ou on divise les deux membres de l'équation par un même nombre non nul.

Maths 3e - Séquence 22

Utiliser la trigonométrie pour déterminer une mesure d'angle

ÉNONCÉ

solutionrédigÉE

FIGUREA MAIN LEVÉE

B

A

C

1,6 cm

?

On connaît :

On cherche :

PRÉALABLE

On peut utiliser :

Dans le triangle ABC rectangle en A :

a la calculatrice, on saisit :Arcsin(1,6:4,2) 22,39268781

Donc :

ABC est un triangle rectangle en A.AB = 1,6 cm et BC = 4,2 cm.Déterminer la mesure de l'angle arrondie au degré près.

4,2 cm

Méthode en vidéo

la longueur du côté [AB] opposé à cet angle et de l'hypoténuse [BC]

la mesure de l’angle ACB

la formule du sinus de l’angle

Valeur approchée au degré près