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Factoriser une expression littérale

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Connaître la trigonométrie

17

Utiliser la proportionnalité

18

Prouver ou réfuter un résultat général

Mathématiques 3e

Période 3

19

Utiliser la trigo pour calculer une longueur

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Manipuler des pourcentages

21

Utiliser la trigo pour déterminer un angle

19

20

21

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.G23 Mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriquesP4.G24 Mener des raisonnements et s'initier à la démonstrations en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.G23 Mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriquesP4.G24 Mener des raisonnements et s'initier à la démonstrations en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.N15 Calculer avec des nombres relatifs, des fractions ou des nombres décimauxP4.N30 Développer, factoriser, réduire des expressions algébriques dans des cas très simples

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.N15 Calculer avec des nombres relatifs, des fractions ou des nombres décimauxP4.N30 Développer, factoriser, réduire des expressions algébriques dans des cas très simplesP4.N31 Utiliser le calcul littéral pour traduire une propriété générale (par exemple la distributivité simple), pour démontrer un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture, pour modéliser une situation

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.O30 Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalitéP4.O31 Calculer une quatrième proportionnelleP4.O32Partager une quantité (par exemple une somme d'argent) en deux ou trois parts selon un ratio donnéP4.O33 Utiliser une formule liant deux grandeurs dans une situation de proportionnalité

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.O30 Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalitéP4.O31 Calculer une quatrième proportionnelleP4.O32 Partager une quantité (par exemple une somme d'argent) en deux ou trois parts selon un ratio donnéP4.O33 Utiliser une formule liant deux grandeurs dans une situation de proportionnalité P4.O34 Résoudre des problèmes utilisant la proportionnalité (pourcentages, échelles, agrandissement, réduction)

Compétences évaluées dans cette séquence :P4.G23 Mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriquesP4.G24 Mener des raisonnements et s'initier à la démonstrations en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations

Maths 3e - Séquence 15

Factoriser une expression littérale

Définitions

Identité remarquable

Facteur commun

Méthode en vidéo (niveau 1)

Méthode en vidéo (niveau 2)

Méthode en vidéo (niveau 1)

Méthode en vidéo (niveau 2)

Définition: Développerune expression littérale, c'est transformer un produit en une somme ou une différence.Définition: Factoriserc'est transformer une somme ou une différence en un produit.Définition :Réduireune expression littérale, c'est l'écrire sous la forme d'une somme algébrique ayant le moins de termes possibles.

Pour tous nombres a et b, on a :a² - b² = (a - b)(a + b)mais aussi :a² + 2ab + b² = (a + b)²a² - 2ab + b² = (a - b)²

Pour tous nombres k, a et b, on a :ka + kb = k (a + b)et ka - kb =k (a - b)

Maths 3e - Séquence 16

Découvrir la trigonométrie

Rappels de vocabulaire

Découverte : figure animée

Relations trigonométriques

Méthode : écrire les formules de trigonométrie

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné, on définit trois rapports de longueur :* le sinus de cet angle est égal au quotient :Côté opposé à cet angle aiguHypoténuse* le cosinus de cet angle est égal au quotient :Côté adjacent à cet angle aiguHypoténuse* latangente de cet angle aigu est égal au quotient :Côté opposé à cet angle aiguCôté adjacent à cet angle aigu

Dans le triangle ABC rectangle en A, on peut écrire :

Vocabulaire du triangle rectangle

Dans un triangle rectangle le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse.

[AB] est le côté opposé à l'angle ACB

[AC] est le côté adjacent à l'angle ACB

[AC] est le côté opposé à l'angle ABC

[AB] est le côté adjacent à l'angle ABC

Le triangle ABC est rectangle en A : l'angle BÂC est un angle droit.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : la somme de leur mesure est égale à 90°.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires : la somme de leur mesure est égale à 90°.

Applications

Maths 3e Séquence 17

Situations de proportionnalité

Définitions

Grandeurs proportionnelles

Coefficient deproportionnalité

Représentationgraphique

Produits en croix

Utiliser le coefficient

Règles sur les colonnes

Echelles

Grandeurs produits

Grandeurs quotients

Résoudre un problème

Définition: Une grandeur produit est une grandeur obtenue en effectuant le produit de deux grandeurs.Exemple : L'énergie (en Wh) s'exprime par le produit de deux grandeurs : la puissance de l'appareil électrique (en W) et la durée d'utilisation de cet appareil (en h). Un appareil de puissance 100 W utilisé pendant 3 h consomme ainsi une énergie égale à 300 Wh.

Définition :Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul.

Propriété :* Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l'origine du repère.* Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l'origine du repère, alors c'est une situation de proportionnalité.Exemple :

Définition :Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul.Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.Exemple :

Propriété: Une grandeur quotient est une grandeur obtenue en effectuant le quotient de deux grandeurs.Exemple : La vitesse moyenne d'un mobile est la distance parcourue pendant une unité de temps. Elle s'exprime en km/h par le quotient de deux grandeurs : la longueur du parcours (en km) et la durée de ce parcours (en h). Un véhicule roulant à une vitesse constante égale à 120 km/h parcourt ainsi 120 km en une heure.

Maths 3e - Séquence 18

Prouver ou réfuter un résultat général

Tester une égalité

Il faut toujours calculerséparémentles deux membres de l'égalité pour vérifier si elle est vraie ou non.

Rappels

Montrer qu'un résultat est toujours vrai

Pour montrer qu'une égalité est toujours vraie, il faut prouver qu'elle est vraie quelle que soit la valeur de la variable qu'elle contient.Exemple : montrer que l'égalité 5(x +1)² = 5x² + 10x + 5 est toujours vraie consiste à montrer qu'elle est vraie quelle que soit la valeur de x.

Montrer qu'un résultat n'est pas toujours vrai

Pour montrer qu'une égalité n'est pas toujours vraie, il suffit de montrer qu'elle est fausse au moins dans un cas.Un simple contre-exemple suffit à démontrer qu'elle est fausse : on cherchera alors un cas pour lequel l'égalité n'est pas vraie.

Exemple: L'égalité 3(x + 2) = 18 est-elle vraie pour x = 4 ?On remplace x par 4 dans le membre de gauche et on le calcule.3(4 + 2) = 3 × 6 = 18Quand x = 4, le membre de gauche vaut 18, et le membre de droite vaut 18 aussi.Donc l'égalité est vraie pour x = 4.

Exemple: Prouver que la somme de deux nombres entiers consécutifs est un nombre impair.Etape 1 :on traduit l'énoncéOn appelle N le premier nombre entier.Le nombre suivant s'écrira (N + 1).Leur somme s'écrira N + (N + 1).Etape 2 : On transforme l'expressionOn utilise toutes les propriétés (distributivité, réduction,...) pour simplifier l'écriture de l'expression obtenue et montrer qu'elle correspond au résultat attendu.N + (N + 1) = N + N + 1 = 2N + 1Or, si N est un nombre entier, alors 2N est un nombre pair car multiple de 2.Le nombre 2N + 1 est donc le nombre qui suit un nombre pair, c'est donc un nombre impair.On a donc prouvé que la somme de deux entiers consécutifs est un nombre impair.

Simple distributivité :k(a + b) = ka + kbDouble distributivité :(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bdIdentités remarquables :(a + b)² = a² + 2ab = b²(a - b)² = a² - 2ab + b²(a + b)(a - b) = a² - b²

Exemple: Justin affirme que (a + b)² = a² + b². A-t-il raison ?On prend une valeur arbitraire de a et de b et on calcule séparément les deux membres de l'égalité.On prend a = 1 et b = 2* gauche : (1 + 2)² = 3² = 9* droite : 1² + 2² = 1 + 4 = 5On compare les deux résultats : 5 ≠ 9On a trouvé au moins un cas pour lequel l'égalité n'est pas vraie.On a donc prouvé que l'égalité n'est pas toujours vraie.

Maths 3e - Séquence 19

Utiliser la trigonométrie pour calculer une longueur (1)

ABC est un triangle rectangle en A.AC = 6,7 cm et = 27°.Calculer AB en cm en donnant un arrondi au dixième.

ÉNONCÉ

solutionrédigÉE

FIGUREA MAIN LEVÉE

B

A

C

6,7 cm

27°

On connaît :

On cherche :

PRÉALABLE

On peut utiliser :

1

Dans le triangle ABC rectangle en A :

Donc :

a la calculatrice, on saisit :6,7×tan(27) 3,413820512

Donc : AB ≈ 3,4 cm.

l'angle ACB et le côté [AC] adjacent à cet angle.

le côté [AB] opposé à l’angle ACB

la formule de la tangente de l’angle

Valeur exacte

Valeur approchée au dixième près par défaut.

Maths 3e - Séquence 19

Utiliser la trigonométrie pour calculer une longueur (2)

ABC est un triangle rectangle en A.AC = 6,7 cm et = 27°.Calculer BC en cm en donnant un arrondi au dixième.

ÉNONCÉ

solutionrédigÉE

FIGUREA MAIN LEVÉE

B

A

C

6,7 cm

27°

On connaît :

On cherche :

PRÉALABLE

On peut utiliser :

2

Dans le triangle ABC rectangle en A :

a la calculatrice, on saisit :6,7 : COS(27) 7,519585792

Donc : BC ≈ 7,5 cm.

Donc :

l'angle ACB et le côté [AC] adjacent à cet angle.

l'hypoténuse [BC]

la formule du cosinus de l’angle

Valeur exacte

Valeur approchée au dixième près par défaut.

APPLIQUER UN POURCENTAGE

RETROUVER UNE GRANDEUR

CALCULER UN POURCENTAGE

AUGMENTATION

VIDÉO

RÉDUCTION

MATHS 3E SÉQUENCE 20

​APPLIQUER OU CALCULER UN POURCENTAGE

Exemple:Il y a 9,4 g de glucides dans une boîte de 410 g de lait concentré. Quel est le pourcentage de glucides dans ce lait ?On peut représenter la situation par un tableau de proportionnalité :Masse de glucides (en g)9,4?Masse totale (en g)410100Puis on calcule la quatrième proportionnelle : 9,4 × 10 : 410 = 2,29Conclusion : Dans cette boite de lait, il y a 2,29% de glucides.

Propriété: Diminuer un nombre de t % revient à le multiplier par (1 - t/100) .Exemple : L'effectif d'un club sportif de 350 membres diminue de 4%. Quel est son nouvel effectif ?Le prix est passé de x à (1 - 4/100)x , soit 0,96x.Donc0,96 × 350 = 336.Le nouvel effectif est de 336 membres.

Propriété: Augmenter un nombre de t % revient à le multiplier par (1 + t/100) .Exemple : Un article de 300 € augmente de 6%. Quel est son nouveau prix ?Le prix est passé de x à (1 + 6/100)x , soit 1,06x.Donc1,06 × 300 = 318.Le nouveau prix est 318 €.

Exemple:Dans une classe de 30 élèves de 3e, 60% pratiquent un sport.Combien d'élèves sont sportifs dans cette classe ?On peut représenter la situation par un tableau de proportionnalité :Nombre de sportifs60?Nombre total d'élèves10030Puis on calcule la quatrième proportionnelle : 30 × 60 : 100 = 18Conclusion : Dans cette classe de 30 élèves, il y a 18 sportifs.

Exemple:Une piscine a une superficie de 48 m². Elle représente 3% de l’aire du jardin.Quelle est l’aire du jardin ?On peut représenter la situation par un tableau de proportionnalité :Aire de la piscine (en m²)348Aire totale (en m²)100?Puis on calcule la quatrième proportionnelle : 100 × 48 : 3 = 1 600Conclusion : L'aire du jardin est de 1 600 m².

POURCENTAGES D'ÉVOLUTION

Maths 3e - Séquence 21

Utiliser la trigonométrie pour déterminer une mesure d'angle

ÉNONCÉ

solutionrédigÉE

FIGUREA MAIN LEVÉE

B

A

C

1,6 cm

?

On connaît :

On cherche :

PRÉALABLE

On peut utiliser :

Dans le triangle ABC rectangle en A :

a la calculatrice, on saisit :Arcsin(1,6:4,2) 22,39268781

Donc :

ABC est un triangle rectangle en A.AB = 1,6 cm et BC = 4,2 cm.Déterminer la mesure de l'angle arrondie au degré près.

4,2 cm

Méthode en vidéo

la longueur du côté [AB] opposé à cet angle et de l'hypoténuse [BC]

la mesure de l’angle ACB

la formule du sinus de l’angle

Valeur approchée au degré près