3-Ch1-Arithmétique

Chapitre 1

Les nombres

Les nombres décimaux

2

Arithmétique

1

Les nombres rationnels

3

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Arithmétique

1

Multiples et diviseurs

Nombres premiers

Décomposition en produits de facteurs premiers

Multiples de a : les nombres qui sont dans la table de a Multiples de 12 : 24 (12 x 2 ) ; 12 (12 x 1) ; 360 ( 12 x 30)… Un nombre possède une infinité de multiples Diviseurs de a : les nombres qui divisent a Diviseurs de 12 : 1 ; 12 (12 = 12 x 1) ; 3 ; 4 ( 12 = 3 x 4) ; 2 ; 6 ( 12 = 2 x 6) Un nombre possède un nombre limité de diviseurs Critères de divisibilité Un nombre est divisible par 2 lorsqu'il est pair Un nombre est divisible par 5 lorsqu'il se termine par 0 ou 5 Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table de 3 Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table de 9

Un nombre est premier lorsqu'il ne possède que deux diviseurs 1 et lui-même Pour montrer qu'un nombre est premier on utilise la méthode suivante :

Tout nombre entier peut être décomposé comme un produit de facteurs premiers Décomposons 126 : 126 : 2 = 63 2 est dans la décomposition 63 : 3 = 21 3 est dans la décomposition 21 : 3 = 7 3 est dans la décomposition 7 : 7 = 1 7 est dans la décomposition et on a terminé donc 126 = 2 x 3 x 3 x 7 Grâce à la décomposition en nombres premiers, on peut trouver la liste de tous les diviseurs d’un nombre. Pour 126 : 1 facteur : 2 ; 3 et 7 2 facteurs : 2x3=6 ; 3x3 = 9 ; 2x7 = 14 ; 3x7 = 21 3 facteurs : 2x3x3 = 18 ; 2x3x7 = 42 ; 3x3x7 = 63 4 facteurs : 2x3x3x7 = 126 Liste des diviseurs : 2 ; 3 ; 7 ; 6 ; 9 ; 14 ; 21 ; 18 ; 42 ; 63; 126 et 1

Arithmétique exercices

1

Multiples et diviseurs

Nombres premiers

Décomposition en produits de facteurs premiers

Exercice 1 : Écris 5 multiples de 36 et 3 diviseurs de 36 Exercice 2: 1245 est il divisible par 2? par 3? par 5? par 9?par 25? Justifie chaque réponse

Les nombres 587 et 459 sont ils premiers? Justifier votre réponse

Exercice 1: Décompose les nombres 548 et 1056 en produit de facteurs premiers Quel est le plus grand diviseur commun à 548 et 1056 ? Quel est le plus petit multiple commun à 548 et 1056? Exercice 2 Décompose en produit de facteurs premiers 412. Trouve tous les diviseurs de 412 grâce à la décomposition précédente.

Exercice 1 Voici 5 multiples de 36 : 72 (36x2) ; 360 ( 36 x 10) ; 180 ( 36 x 5 ) ; 108 ( 36 x 3 ) ; 3600 ( 36 x 100 ). Il existe une infinité de multiples Voici la liste de tous les diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36. Exercice 2 1245 est un nombre impair il n'est donc par divisible par 2. 1 + 2 + 4 + 5 = 12 ; 12 est dans la table de 3 donc 1245 est divisible par 3 mais pas par 9 car 12 n'est pas dans la table de 9 1245 se termine par un 5 donc il est divisible par 5 La division euclidienne de 1245 par n'a pas un reste égal à 0 donc 1245 n'est pas divisible par 25.

Pour 459 : 4+5+9 = 18 ; 459 est divisible par 9 donc ce n'est as un nombre premier Pour 587 : la racine carrée de 587 est environ égale à 24 , donc je regarde si 587 est divisible par un nombre premier inférieur à 24 soit : 2;3;5;7;11;13;17;19 et 23 D'après les critères de divisibilité 587 n'est pas divisible par 2;3 et 5. 587: 7=83,85 587 : 11 =53,36 587 : 13 = 45,15 587 : 17 = 35,52 587 : 19 = 30,89 587 : 23 = 25,52 587 n'est pas divisible par un nombre premier inférieur à 23 donc il est premier.

Exercice 1 548 : 2 = 274 ; 274 : 2 = 137 137 est un nombre premier donc 548 = 2 x 2 x 137 1056 : 2 = 528 ; 528 : 2 = 264 ; 264 : 2 = 132 ; 132 : 2 = 66 ; 6 : 2 = 33 ; 33 : 3 = 11 11 est un nombre premier donc 1056 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 11 Pour trouver le plus grand diviseur commun à 548 et 1056 j'effectue le produit des diviseurs premiers qu'ils ont en commun soit 2x2 = 4 Pour trouver le plus petit multiple commun à 548 et 1056 je dois effectuer le produit de tous les diviseurs de chacun des nombres sans répéter ceux qui sont communs soit : 2 x 2 x 137 x 2 x 2 x 2 x 3 x 11= 144 672 Exercice 2 1236 : 2 = 618 ; 618 : 2 = 309 ; 309 : 3 = 103 103 est un nombre premier donc 412 = 2 x 2 x 3 x 103 Les diviseurs de 412 sont donc 1 ; 2 ; 3 ; 103 ; 4(2x2) ; 206( 2x103) ; 6 ( 2x3) ; 309 (3x103) ; 12 (2x2x3) ; 412(2x2x103) ; 618 (2x3x103) et 1236

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Les nombres décimaux relatifs

2

Calculer avec des nombres relatifs

Les puissances de 10

Pour calculer avec des nombres relatifs on doit respecter les priorités opératoires suivantes :

• calculs situés entre parenthèses
• les puissances
• les multiplications et les divisions
• la somme algébriques

Exemples : A = - 5 + ( - 12) - ( - 4 ) - ( + 8 ) B = - 6 x 5 + 2 - ( - 4 + 5 x ( -2) ) A = - 5 - 12 + 4 - 8 B = - 30 + 2 - ( - 4 - 10 ) A = - 25 + 4 B = - 30 + 2 - ( -14) A = - 21 B = - 30 + 2 + 14 B = - 30 + 16 = - 14

Calcule les expressions suivantes en détaillant les étapes, puis vérifie avec la correction.

A = -5 - ( 4,6 - 2 x 3) - ( -9)

B = -8 x 6 + 4

C = 12 - 6 : 3

D = 72 : 8 x (- 4)

E = - 25 : 5 + 6 - 24,3 : 3

F = 5 x 12,6 - 36 : (-6)

symbole de correction

A = -5 - (4.6 -2 x 3 ) - ( - 9) A = -5 - ( 4.6 -6 ) + 9 A = -5 - ( - 1. 4 ) + 9 A = - 5 + 1 .4 +9 A = - 5 + 10.4 A = 5.4

B = -8 x 6 + 4 B = - 48 + 4 B = - 44

C = 12 - 6 : 3 C = 12 - 2 C = 10

D = 72 : 8 x (-4) D = 9 x (- 4) D = - 36

E = - 25 : 5 + 6 - 24.3 : 3 E = - 5 + 6 - 8.1 E = 1 - 8.1 E = - 7.1

F = 5 x 12,6 - 36 : ( -6) F = 63 + 6 F = 69

Les puissances de 10

2

Les nombres rationnels

3

Calculer avec des fractions

Fractions irréductibles

Les ratios